수학 영역(가형)

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2017학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

5지선다형

1. 두 다항식 [eqn: A=3x ^{2} -2x+1], [eqn: B=x ^{2} -x-3`]에 대하여 [eqn: A-B``]를 간단히 하면? [2점]

① [eqn: x ^{2} +1]	② [eqn: x ^{2} +4`]	③ [eqn: 2x ^{2} -x-3]

④ [eqn: 2x ^{2} -x+1]	⑤ [eqn: 2x ^{2} -x+4]

2. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 2,```4,```6,```8 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `x` LEFT | `x`는````6`의````양의````약수 RIGHT } ` RIGHT .]에 대하여 집합 [eqn: A{cap}B``]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

3. [eqn: 8 ^{{2} over {3}} TIMES 27 ^{- {1} over {3}} `]의 값은? [2점]

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12

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① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

4. 다항식 [eqn: 2x ^{3} +6x ^{2} +3`]을 [eqn: x+1`]로 나누었을 때의 나머지는?

[3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 19]

5. 첫째항이 [eqn: 1`]인 수열 [eqn: left{a _{n} right}`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

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[eqn: a _{n+1} =2n`a _{n} -1]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{4} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

6. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( 0,```4 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 2,```3 RIGHT ) `]에 대하여 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 2:1`]로 외분하는 점과 원점 사이의 거리는? [3점]

① [eqn: 2 sqrt {3}]	② [eqn: sqrt {14}]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 3 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {5}]

7. 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax+b`]의 그래프는 직선 [eqn: x=2`]에 대하여 대칭이다. [eqn: 0 LEQ x LEQ 3`]에서 함수 [eqn: f left(x right)`]의 최댓값이 [eqn: 8`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

8. 유리함수 [eqn: y= {3x+b} over {x+a} `]의 그래프가 점 [eqn: left(2,```1right)`]을 지나고,
점 [eqn: left(-2,```c right)`]에 대하여 대칭일 때, [eqn: a+b+c`]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

9. 삼차방정식 [eqn: 2x ^{3} +x ^{2} +2x+3=0`]의 한 허근을 [eqn: alpha`]라 할 때, [eqn: 4 alpha ^{2} -2 alpha +7`]의 값은? [3점]

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① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

10. 좌표평면에서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax+a ^{2} +a-3`]의 그래프의 꼭짓점이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -2y-57=0`]의 내부에 있도록 하는
정수 [eqn: a`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

11. 함수 [eqn: y= sqrt {a ^{`} LEFT ( 6-x RIGHT )} `][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT ) `]의 그래프와 함수 [eqn: y= sqrt {x} `]의 그래프가 만나는 점을 [eqn: rmA`]라 하자. 원점 [eqn: rmO`]와 점 [eqn: rm B it left(6,```0right)`]에 대하여 삼각형 [eqn: rmAOB`]의 넓이가 [eqn: 6`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12. 좌표평면에서 방정식 [eqn: 2 LEFT | x RIGHT | -y-10=0`]이 나타내는 도형과
이 도형을 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한 도형으로 둘러싸인 부분은 사각형이다. 이 사각형의 네 변에 모두 접하는 원의 넓이는?

[3점]

① [eqn: 16pi]	② [eqn: 18pi]	③ [eqn: 20pi]	④ [eqn: 22pi]	⑤ [eqn: 24pi]

13. 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건

[eqn: p:`3 LEFT | x-2 RIGHT | <9-2x],

[eqn: q:`a<x<b]

에 대하여 [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건일 때, [eqn: b-a`]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 실수이다.) [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

14. 세 다항식 [eqn: f left(x right)=x ^{2} +x], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x-1], [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} + LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} = LEFT ( 2x ^{2} -x-1 RIGHT ) h LEFT ( x RIGHT ) `]

가 [eqn: x`]에 대한 항등식일 때, [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 나머지는? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

15. 어느 학급 학생 [eqn: 30`]명을 대상으로 두 봉사 활동 [eqn: rm A], [eqn: rmB`]에 대한 신청을 받았다. 봉사 활동 [eqn: rmA`]를 신청한 학생 수와 봉사 활동 [eqn: rmB`]를 신청한 학생 수의 합이 [eqn: 36`]일 때, 봉사 활동 [eqn: rm A], [eqn: rmB`]를 모두 신청한 학생 수의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m`]이라 하자. [eqn: M+m`]의 값은? [4점]

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

봉사 활동 [eqn: rmA]	봉사 활동 [eqn: rmB]

16. 자연수 [eqn: N``]을 음이 아닌 정수 [eqn: m`]과 홀수 [eqn: p`]에 대하여

[eqn: N`=2 ^{m} TIMES p`]

로 나타낼 때, [eqn: f LEFT ( N` RIGHT ) =m`]이라 하자.

예를 들어, [eqn: 40=2 ^{3} TIMES 5`]이므로 [eqn: f LEFT ( 40 RIGHT ) =3`]이다.

다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: f LEFT ( 3 ^{2n-1} +1 RIGHT ) =2`] …… (*)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,

[eqn: 3 ^{1} +1=2 ^{2} times1`]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 ^{1} +1 RIGHT ) =2`]이다.

따라서 [eqn: n=1`]일 때 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k`]일 때 (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: f LEFT ( 3 ^{2k-1} +1 RIGHT ) =2`]

음이 아닌 정수 [eqn: m`]과 홀수 [eqn: p`]에 대하여

[eqn: 3 ^{2k-1} +1=2 ^{m} TIMES p`]

로 나타낼 수 있으므로

[eqn: 3 ^{2k-1} +1= {BOX{~(가) _{`}^{`} ~}} ` TIMES `p`]

이다.

[eqn: 3 ^{2 LEFT ( k+1 RIGHT ) -1} +1][eqn: =9 TIMES 3 ^{2k-1} +1]
[eqn: =2 ^{2} TIMES LEFT ( `` {BOX{~ ^{`} (나) _{`} ~}} `` RIGHT )]

이고, [eqn: p`]는 홀수이므로 [eqn: {BOX{~ _{`} (나) ^{`} ~}} `]도 홀수이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 3 ^{2(k+1)-1} +1 RIGHT ) =2`]이다.

그러므로 [eqn: n=k+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: f LEFT ( 3 ^{2n-1} +1 RIGHT ) =2]이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g LEFT ( p RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: a+g LEFT ( 7 RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 65]	② [eqn: 67]	③ [eqn: 69]	④ [eqn: 71]	⑤ [eqn: 73]

17. 좌표평면에서 원 [eqn: x ^{2} + left(y-1right) ^{2} =9`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동한 원을 [eqn: C``]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 원 [eqn: C``]의 반지름의 길이가 [eqn: 3`]이다. ㄴ. 원 [eqn: C``]가 [eqn: x`]축에 접하도록 하는 실수 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 1`]개이다. ㄷ. [eqn: m!=0`]일 때, 직선 [eqn: y= {n+1} over {m} x`]는 원 [eqn: C``]의 넓이를 이등분한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 첫째항이 [eqn: 2`]인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n} `]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{4} `]의 값은? [4점]

(가) [eqn: S _{12} -S _{2} =4S _{10} `]

(나) [eqn: S _{12} <S _{10}]

① [eqn: -24]	② [eqn: -16]	③ [eqn: -8]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 24]

19. 그림과 같이 좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A it left (0,```6right)], [eqn: rm B it left(18,```0right)`]과 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: rm C it left(a,```b right)`]가 [eqn: rm {bar{AC}} = {bar{BC}} `]를 만족시킨다.
두 선분 [eqn: rm AC], [eqn: rm BC`]를 [eqn: 1:3`]으로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ`]라
할 때, 삼각형 [eqn: rm CPQ`]의 무게중심을 [eqn: rm G`]라 하자.
선분 [eqn: rm CG`]의 길이가 [eqn: sqrt {10} `]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? [4점]

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

20. 자연수 [eqn: m`]에 대하여 함수 [eqn: f(m)`]을 다음과 같이 정의한다.

[eqn: f LEFT ( m RIGHT ) = {cases{``log` _{2} `m _{{}_{`}} ~ LEFT ( m`은````홀수 RIGHT )#``log` _{4} `m ^{{}^{`}} ~ LEFT ( m`은````짝수 RIGHT )}}]

[eqn: f left(m right)`]의 값이 유리수인 것을 작은 수부터 크기순으로 나열하여 만든 수열을 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a _{1} =0], [eqn: a _{2} = {1} over {2} `]이다.
[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} >50`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은? [4점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

21. 집합 [eqn: S= LEFT { LEFT ( a,```b RIGHT ) ` LEFT | `a`와````b`는````정수 RIGHT } ` RIGHT .]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B``]를

[eqn: A= LEFT { left(a,```b right)`left|`어떤````실수````x`에````대하여````x ^{2} +2bx-a ^{2} +6b LEQ 0` RIGHT }],

[eqn: B`= LEFT { left(a,```b right)`left|`모든````실수````x`에````대하여````x ^{2} +2ax-b ^{2} +6a`>0` RIGHT }]

이라 할 때, 집합 [eqn: A SMALLINTER B``]의 원소의 개수는? [4점]

① [eqn: 23]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 19]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 15]

단답형

22. [eqn: log` _{2} `3times{log` _{3} `32`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 이차방정식 [eqn: 3x ^{2} -16x+1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta`]라 할 때, [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } `]의 값을 구하시오. [3점]

24. 첫째항이 [eqn: 2`]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { 3a _{n+1} -a _{n} RIGHT } `]은 공차가 [eqn: 6`]인 등차수열이다. [eqn: a _{10} `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +1`]에 대하여
[eqn: LEFT ( f ^{`-1} CIRC f CIRC f ^{`-1} RIGHT ) LEFT ( a RIGHT ) =3`]을 만족시키는 실수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

[3점]

26. 어느 회사에서 비누와 치약으로 이루어진 두 종류의 선물 세트 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 만든다고 한다. 세트 [eqn: rmA]와 세트 [eqn: rmB]를 각각 한 개 만드는 데 필요한 비누와 치약의 개수 및 세트 [eqn: rmA]와 세트 [eqn: rmB]의 한 개당 판매 이익은 표와 같다.

구분	비누(개)	치약(개)	판매 이익(원)
세트 [eqn: rmA]	[eqn: 6]	[eqn: 4]	[eqn: 2000]
세트 [eqn: rmB]	[eqn: 3]	[eqn: 6]	[eqn: 1600]

이 회사에서 세트 [eqn: rmA]와 세트 [eqn: rmB]를 만드는 데 하루에 비누와 치약을 각각 [eqn: 750]개, [eqn: 900]개까지 사용할 수 있다. 하루에 만든 세트 [eqn: rmA]와 세트 [eqn: rmB]를 판매하여 얻을 수 있는 판매 이익의 최댓값은 [eqn: M``](원)이다. [eqn: {M} over {10000} `]의 값을 구하시오. [4점]

27. 두 수[eqn: sqrt {2m}], [eqn: root {3} of {3m} `]이 모두 자연수가 되도록 하는
자연수 [eqn: m`]의 최솟값을 구하시오. [4점]

28. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6,```7 RIGHT } `]에 대하여 함수 [eqn: f:`X``` -> ```X``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 [eqn: X``]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1} `], [eqn: x _{2} `]에 대하여
[eqn: x _{1} != x _{2} `]이면 [eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) != f LEFT ( x _{2} RIGHT ) `]이다.

(나) [eqn: 1 LEQ x LEQ 3`]일 때, [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -2x`]이다.

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

29. 그림과 같이 좌표평면에 점 [eqn: left(-1,```1right)`]을 지나는 서로 다른
두 직선 [eqn: l], [eqn: m`]이 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x=n`]이
두 직선 [eqn: l], [eqn: m`]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A _{it n rm}], [eqn: rm B _{it n rm} `]이라 하자.
사각형 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn} rmB _{itn+1} rmA _{itn+1} `]의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} S _{2k-1} =115`]이다. [eqn: sum _{k=1} ^{10} S _{2k} `]의 값을 구하시오. [4점]

30. 일차함수 [eqn: f left(x right)`]와 이차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: g left(x right)`]에 대하여 두 함수
[eqn: h _{1} LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )], [eqn: h _{2} left (x right)=f left(x right)-g left(x right)`]
가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: y=h _{1} left(x right)`]의 그래프는 [eqn: x`]축에 접한다.

(나) 함수 [eqn: y=h _{1} left(x right)`]의 그래프와 함수 [eqn: y=h _{2} left(x right)`]의 그래프는 오직 한 점 [eqn: LEFT ( 1,```9 RIGHT ) `]에서 만난다.

(다) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 부등식
[eqn: h _{1} LEFT ( x RIGHT ) GEQ h _{1} LEFT ( alpha RIGHT )], [eqn: h _{2} left(x right) LEQ h _{2} left( beta right)`]
가 성립할 때, [eqn: alpha>beta`]이다. (단, [eqn: alpha], [eqn: beta`]는 상수이다.)

[eqn: f LEFT ( beta RIGHT ) times{g LEFT ( alpha RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.