수학 영역 (가형)

고 2

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수학 영역 (가형)

고 2

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2017학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수학 영역 (가형)

5지 선다형(1 ~ 21)

1. 전체집합 [eqn: U``]의 두 부분집합 [eqn: A= LEFT { `1,``2,``5,``7 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 3,``5,``7 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: A SMALLINTER B``]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

2. [eqn: log _{``6} `2+log _{``6} `3`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12

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3. [eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT ( `x ^{2} -3x+5 `RIGHT )} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4. [eqn: sum _{k=1} ^{30} a _{k} =5`], [eqn: sum _{k=1} ^{30} b _{k} =20`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{30} LEFT ( a _{k} +2b _{k} RIGHT ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: 25]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 35]	④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 45]

5. 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{2} =2`], [eqn: a_3 = 4`]일 때, [eqn: a _{6} `]의 값은?	[3점]

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

6. 정의역이 [eqn: LEFT {` x` LEFT | `-3 LEQ x LEQ 5 ` RIGHT } `` RIGHT .]인 무리함수 [eqn: y`= sqrt {x+4} +5`]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

7. 함수 [eqn: y=f ( x ) `]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO`]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: y=f ( x )]

[eqn: lim _{x` -> `0-} {} f(x) `+ lim _{x `-> `1+} {} f(x)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

8. 전체집합 [eqn: U`= LEFT {` x`□`x는````10``이하의```자연수 RIGHT } `]의 두 부분집합 [eqn: A,``B`]에 대하여 [eqn: A`= LEFT { `2,```3,```5,``6` RIGHT } `]일 때, [eqn: A SMALLINTER B`= EMPTYSET `]을 만족시키는 집합 [eqn: B`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 32]	④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 128]

9. 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가

[eqn: p`:`1 LEQ x LEQ 3`] 또는 [eqn: x GEQ 5`],

[eqn: q`:`x GEQ alpha ``]

일 때, [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 [eqn: alpha `]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

10. 유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {2x+5} over {x+3} `]의 역함수 [eqn: y`=f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는
점 [eqn: (`p``,``q`)`]에 대하여 대칭이다. [eqn: p-q`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

11. 집합 [eqn: X= LEFT { -2,`-1,`3 RIGHT } `]에 대하여 함수 [eqn: f`:`X`` -> `X``]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {cases{ ``ax ^{2} +bx-2`_{`}_{`}_{`}````````&`` LEFT ( x<0 RIGHT )_{`}_{`}# ````````````````````````3&`` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT ) `}} `]

이다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 항등함수가 되도록 하는 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

12. 수강생이 [eqn: 35`]명인 어느 학원에서 모든 수강생을 대상으로 세 종류의 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]의 취득 여부를 조사하였다. 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]를 취득한 수강생이 각각 [eqn: 21`]명, [eqn: 18`]명, [eqn: 15`]명이고, 어느 자격증도 취득하지 못한 수강생이 [eqn: 3`]명이다. 이 학원의 수강생 중에서 세 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]를 모두 취득한 수강생이 없을 때, 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`] 중에서 두 종류의 자격증만 취득한 수강생의 수는? [3점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 22`]	③ [eqn: 23]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

13. 폭약에 의한 수중 폭발이 일어나면 폭발 지점에서 가스버블이 생긴다. 수면으로부터 폭발 지점까지의 깊이가 [eqn: D`(rm m)`]인 지점에서 무게가 [eqn: W` (rm kg)`]인 폭약이 폭발했을 때의 가스버블의 최대반경을 [eqn: R`][eqn: (rmm)`]라고 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: R=k` LEFT ( {W} over {D+10} RIGHT ) ^{{1} over {3}} `](단, [eqn: k`]는 양의 상수이다.)

수면으로부터 깊이가 [eqn: d(rm m)`]인 지점에서 무게가 [eqn: 160` rm kg`]인 폭약이 폭발했을 때의 가스버블의 최대반경을 [eqn: R _{ `1} rm (m)`]이라 하고, 같은 폭발 지점에서 무게가 [eqn: p (rm kg)`]인 폭약이 폭발했을 때의 가스버블의 최대반경을 [eqn: R _{`2} ( rm m)`]라 하자.

[eqn: {R _{`1}} over {R _{`2}} = 2`]일 때, [eqn: p`]의 값은? (단, 폭약의 종류는 같다.) [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 24]

14. 그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x=n ^{2} `]이 곡선 [eqn: y= sqrt {x} `]와 만나는 점을 [eqn: rm A _{itn} `], [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm B _{it n rm} `]이라 하고,
직선 [eqn: x= LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} `]이 곡선 [eqn: y= sqrt {x} `]와 만나는 점을 [eqn: rm A _{it n rm +1} `], [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm B _{it n rm +1} `]이라 하자. 사각형 [eqn: rm A _{it n rm} B _{it n rm} B _{it n+1 rm} A _{it n+1 rm} `]의 넓이를 [eqn: S` _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} S _{n} `]의 값은? [4점]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B _{it n rm}]

[eqn: rm A _{it n rm +1}]

[eqn: rm B _{it n+1 rm}]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x`=`n ^{2} `]

[eqn: x`=` LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: y= sqrt {x} `]

[eqn: x]

① [eqn: 885]	② [eqn: 890]	③ [eqn: 895]	④ [eqn: 900]	⑤ [eqn: 905]

15. 세 집합

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: A= LEFT {` 1,``2,``3` RIGHT } `], [eqn: B`= LEFT { `4,``5,``6`RIGHT } `], [eqn: C`= LEFT {` 7,``8,``9` RIGHT } `]

에 대하여 두 함수 [eqn: f:`A` -> `B``]와 [eqn: g:`B`` -> `C``]가 일대일 대응이다. 함수 [eqn: LEFT ( `g` CIRC f` RIGHT ) ^{-1`} :`C`` -> `A]가 그림과 같고 [eqn: f(1)=4`], [eqn: g LEFT ( 6 RIGHT ) =9`]일 때, [eqn: f(2)+g(5)`]의 값은? [4점]

[eqn: C`]

[eqn: A`]

[eqn: 7]

[eqn: 8]

[eqn: 9]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3`]

[eqn: LEFT (` g CIRC f` RIGHT ) ^{-1}]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

16. 그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y= 2x^2``]위의 점 [eqn: rm P it (`n,``2n ^{2`} )`]을 지나고 선분 [eqn: rm { OP`}]에 수직인 직선 [eqn: l``]이 [eqn: y``]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q`]라고 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} ( {bar{rm OP it}} - {bar{rmOQ}} )`` it]의 값은? (단, [eqn: rm { O`}]는 원점이다.) [4점]

[eqn: y=2x ^{2}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: rmP (` it n,`` 2n^2 `)]

[eqn: l]

[eqn: rmQ]

① [eqn: - {1} over {6}]	② [eqn: - {1} over {5} ``]	③ [eqn: - {1} over {4} ``]	④ [eqn: - {1} over {3}]	⑤ [eqn: - {1} over {2} ``]

17. 두 집합 [eqn: A`=` LEFT {` 3,``4 RIGHT }], [eqn: B= LEFT {` -9,`-3,``3,``9 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: X`]를
[eqn: X=` LEFT { x`□`x ^{a} =b,```a IN A,``b` IN `B`,``x`는``실수` RIGHT } `]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?                                                            [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: root {3} of {-9} ` IN `X`] ㄴ. 집합 [eqn: X`]의 원소의 개수는 [eqn: 8`]이다. ㄷ. 집합 [eqn: X`]의 원소 중 양수인 모든 원소의 곱은 [eqn: root {4} of {3 ^{7}} `]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} RIGHT } `]의 일반항은 [eqn: a _{n} = {1} over {n} `]일 때, 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a _{k} `a _{k+1} RIGHT ) ^{2} ``= sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( a _{n+1} -1 RIGHT ) `] [eqn: cdots cdots](*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정의 일부이다.

<증명>

(i) [eqn: n=1`]일 때,

(좌변)[eqn: = {BOX{````` LEFT ( 가 RIGHT ) ^{`} `````}}][eqn: =](우변)이므로 (*)이 성립한다.

(ii) [eqn: n=m` LEFT ( m GEQ 1 RIGHT ) `]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} `a _{k+1} RIGHT ) ^{2} = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( a _{m+1} -1 RIGHT ) `]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( a _{k} ``a _{k+1} RIGHT ) ^{2} = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} ``a _{k+1} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a _{m+1`} a _{m+2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( a _{m+1} -1 RIGHT ) `+ LEFT ( a _{m+1} a _{m+2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ({1} over {m+1} -1 RIGHT ) `+ LEFT { {1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )} RIGHT } ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} + sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( a _{k+1} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( {1} over {m+1} -1- {BOX{````` LEFT ( 나 RIGHT ) ^{`} `````}} ` RIGHT )]

[eqn: VDOTS]

따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여  모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p`], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) `]이라 할 때, [eqn: {p} over {f(14)} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 60]	② [eqn: 62]	③ [eqn: 64]	④ [eqn: 66]	⑤ [eqn: 68]

19. 자연수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: a _{k} = lim _{n -> INF } {{2 TIMES LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n+1} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n}} over {LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{2n} + LEFT ( {k} over {10} RIGHT ) ^{n} +1}} `]

이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

20. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형 [eqn: rm `ABCD`]의 내부에 지름의 양 끝점이 각각 변 [eqn: rmBC`], 변 [eqn: rmCD`]위에 있고, 지름이 선분 [eqn: rmBD``]와 평행한 반원을 내접하게 그린다. 이 반원의 중심을 [eqn: rm O _{1} `]이라 하고 반원이 두 변 [eqn: rm AB`], [eqn: rm AD`]와 만나는 점을 각각 [eqn: ` rm `P _{1} `], [eqn: rm `Q _{1} `]이라 하자. 중심이 [eqn: rm `A], 반지름이 선분 [eqn: rm `AP _{1} `], 중심각이 [eqn: ANGLE rm P _{1} AQ _{1`} `]인 부채꼴의 내부와 이 반원의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{1} `]이라 하자.
그림 [eqn: R` _{1} `]에 있는 점 [eqn: rm `O _{1} `]에서 두 변 [eqn: rm BC], [eqn: rm CD] 위에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm `B _{1} `], [eqn: rm D _{1} `]이라 하고 네 점 [eqn: rm `O _{1} `], [eqn: rm `B _{1} `], [eqn: rm `C`], [eqn: rm D _{1} `]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm `O _{1} B _{1} CD _{1} `]을 그린다. 정사각형 [eqn: rm `O _{1} B _{1} CD _{1} `]에 그림 [eqn: R` _{1} `]을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{2} `]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n} `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} S _{n} =` LEFT ( `p sqrt {2} -q` RIGHT ) LEFT ( pi -2 RIGHT ) `]이다.        두 유리수 [eqn: p`], [eqn: q`]에 대하여 [eqn: p+q`]의 값은? [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmB]

[eqn: rmP_1]

[eqn: rmQ_1]

[eqn: rm O _{1}]

[eqn: R _{``1}]

[eqn: rmA]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmB]

[eqn: rmP_1]

[eqn: rmQ_1]

[eqn: rmQ_2]

[eqn: rmO_1]

[eqn: rmO_2]

[eqn: rmD_1]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rmP_2]

[eqn: R _{``2}]

[eqn: CDOTS]

[eqn: CDOTS]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

21. 좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 연립부등식

[eqn: x` GEQ `0`], [eqn: y` GEQ `0`], [eqn: y` LEQ ` {- {1} over {2} x+ {n} over {2} `}]
의 영역의 점 중에서 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{20} a _{n} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 945]	② [eqn: 946]	③ [eqn: 947]	④ [eqn: 948]	⑤ [eqn: 949]

[eqn: y=`- {1} over {2} x+ {n} over {2}]

[eqn: {n} over {2}]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: n]

단답형(22 ~ 30)

22. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`2x+3`]에 대하여 [eqn: LEFT (` f CIRC f` RIGHT ) LEFT ( `2` RIGHT ) `]의 값을 구하시오.                                                            [3점]

23. [eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( sqrt {n ^{2} +8n+10} -n RIGHT ) `}]의 값을 구하시오. [3점]

24. 수열 [eqn: left {a_n right }`]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^inf (` a_n - 5) = 2`]일 때, [eqn: lim _n->inf (`2a_n +3)`]의 값을 구하시오. [3점]

25. [eqn: a>1`]일 때, [eqn: 9a+ {1} over {a-1} `]의 최솟값을 구하시오. [3점]

26. [eqn: 1`]이 아닌 두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: x`=`log _{2} a`], [eqn: y`=`log _{2} b`]라 하면 [eqn: x ^{2} -4xy+y ^{2} `=`0`]이 성립한다. [eqn: log _{8} a ^{{1} over {y}} +log _{8} b ^{{1} over {x}} `]의 값을 [eqn: k`]라 할 때,  [eqn: 27 k `]의 값을 구하시오. [4점]

27. 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c``]에 대하여 [eqn: 3 ^{a} =`4 ^{b} =`5 ^{c} `]이고 [eqn: ac=2`]일 때, [eqn: 4 ^{ab+bc} `]의 값을 구하시오. [4점]

28. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: lim _{x`-> `a} {{f LEFT ( x RIGHT ) -5x} over {x ^{2} -4}} `]의 값이 존재한다.

(나) [eqn: lim _{x `-> ` INF } {LEFT ( sqrt {f LEFT ( x RIGHT )} -3x+1 RIGHT )} `]의 값이 존재한다.

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

29. 일반항이 [eqn: a _{n} =2n+1`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여         집합 [eqn: A _{k} `]([eqn: k=1,``2,``3,` CDOTS `])는 [eqn: A _{1} = LEFT {` 3,``5,``7,``9,``11 RIGHT } `]이고

다음 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 [eqn: A _{k} `]는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 항들 중 [eqn: LEFT ( 2k+3 RIGHT ) `]개의 연속한 항들을 원소로 하는 집합이다.

(나) 집합 [eqn: A _{k+1} `]의 가장 작은 원소는 집합 [eqn: A _{k} `]의 가장 작은 원소보다 크다.

(다) [eqn: n(A _{k} -A _{k+1} )=3`]

예를 들어 [eqn: A _{2} = LEFT {` 9,``11,``13,` CDOTS `,``21 RIGHT } `]이다. [eqn: A _{15} ` SMALLINTER A _{p} = EMPTYSET `]을 만족하는 [eqn: 15`]보다 큰 자연수 [eqn: p`]의 최솟값을 구하시오. [4점]

30. 실수 [eqn: t`]에 대하여 정의역이 [eqn: LEFT { `x``|``8 LEQ x LEQ 10` RIGHT } ``]인 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=x ^{2} -18x+2 LEFT | x-t RIGHT | +80]
의 최솟값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `= lim _{n` -> ` INF } {{1} over {1+ LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2n}} } `]이라   할 때, 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t=a`]에서 불연속이 되는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.