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2006학년도 9월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

수리“나”형 정답

1	⑤	2	④	3	②	4	①	5	①	6	④
7	②	8	④	9	②	10	①	11	③	12	③
13	③	14	④	15	③	16	①	17	④	18	⑤
19	⑤	20	②	21	⑤	22	243	23	81	24	8
25	40	26	10	27	13	28	16	29	20	30	32

해 설

1. 수리‘가’형 1번과 같음

2. 수리‘가’형 2번과 같음

3. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log _{2} `` {3} over {4} +2log _{2} `` sqrt {6} ``-`log _{2} ``9`][eqn: =log _{2} `` {3} over {4} +log _{2} ``6``-`log _{2} ``9`]

[eqn: =log _{2} `` LEFT ( {3} over {4} TIMES ``6÷9 RIGHT ) `][eqn: =log _{2} `` {1} over {2} `][eqn: =`-1`]

4. [출제의도] 역행렬을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: tan ^{2} theta =sec ^{2} theta -1= {1} over {cos ^{2} theta } -1=4]

한편 [eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이므로 [eqn: tan theta >0]

∴[eqn: tan theta =2]

따라서 구하는 역행렬은

[eqn: {pmatrix{1&tan theta ```#-tan theta &1}}^{-1}][eqn: =][eqn: {pmatrix{1&```2#-2&````1``} } ^{-1}][eqn: =][eqn: {1} over {5} pmatrix{``1&```-2#``2&````1``}]

5. 수리‘가’형 5번과 같음

6. 수리‘가’형 6번과 같음

7. [출제의도] 로그의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

밑의 조건에서 [eqn: LEFT | `x` RIGHT | >0], [eqn: LEFT | `x` RIGHT | != 1]

[eqn: THEREFORE ~x != 0], [eqn: `x` != ±1]   … ㉠

진수 조건에서 [eqn: (x+3)(5-x)`>`0`]

[eqn: THEREFORE `-3<x`<`5]      … ㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족하는 정수는 [eqn: -2], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]의 [eqn: 4]개이다.

8. [출제의도] 주어진 행렬의 관계식에서 역행렬이 존재하지 않는다는 사실을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

행렬 [eqn: A]의 역행렬 [eqn: A ^{-1} `]이 존재한다고 하자.

[eqn: A ^{2006} =O]의 양변에 [eqn: A ^{-1} `]을 계속 곱하면 [eqn: A=O`]가 되는데 이것은 모순이다.

따라서 행렬[eqn: A]의 역행렬은 존재하지 않는다.

∴[eqn: -1-xy=0]에서 [eqn: y``=`- {1} over {x} `]

9. [출제의도] 상용로그의 지표, 가수와 지수법칙을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ``log``25000=log(2.5 TIMES 10 ^{4} )][eqn: =4+log2.5]

[eqn: THEREFORE `m=4], [eqn: alpha =log2.5]

또한, [eqn: ``log``0.025=log(2.5 TIMES 10 ^{-2} )][eqn: =-2+log2.5]

[eqn: THEREFORE `n=-2], [eqn: beta =log2.5]

[eqn: THEREFORE ` {m ^{alpha }} over {LEFT ( n ^{2} RIGHT ) ^{beta }} = {4 ^{alpha }} over {LEFT { (-2) ^{2} RIGHT } ^{beta }} = {4 ^{alpha }} over {4 ^{beta }} `=`1`]

10. 수리‘가’형 10번과 같음

11. 수리‘가’형 11번과 같음

12. [출제의도] 거듭제곱근의 크기를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root {3} of {4} =4 ^{{1} over {3}}], [eqn: root {4} of {8} ``=`8 ^{{1} over {4}} `], [eqn: root {6} of {6} `=`6 ^{{1} over {6}}] 이므로

[eqn: LEFT ( root {3} of {4} RIGHT ) ^{12} = LEFT ( 4 ^{{1} over {3}} RIGHT ) ^{12} =4 ^{4} =256]

[eqn: LEFT ( ` root {4} of {8} ` RIGHT ) ^{12} `=` LEFT ( 8 ^{{1} over {4}} ` RIGHT ) ^{12} =8 ^{3} =512]

[eqn: LEFT ( root {6} of {6} RIGHT ) ^{12} `=` LEFT ( 6 ^{{1} over {6}} RIGHT ) ^{12} =6 ^{2} =36]

∴ [eqn: 1< root {6} of {6} < root {3} of {4} < root {4} of {8}]

[eqn: (`x`-`1)(x`-` root {3} of {4} `)>0`]  ∴ [eqn: x<1] 또는 [eqn: x>` root {3} of {4}]

[eqn: (`x`-` root {4} of {8} `)(x`-` root {6} of {6} `)<0`] ∴ [eqn: root {6} of {6} <x< root {4} of {8}]

이 때, 각각의 해집합을 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

∴ [eqn: A` CUP `B``=`][eqn: ` LEFT { x``|`x<1`~`또는``~x> root {6} of {6} ` RIGHT }]

13. 수리‘가’형 13번과 같음

14. 수리‘가’형 14번과 같음

15. 수리‘가’형 15번과 같음

16. [출제의도] 지수와 로그의 관계를 이용하여 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log`5]를 유리수라고 가정하자.

[eqn: 0<log`5<1]이므로 서로소인 두 자연수 [eqn: m,`n]에 대해

[eqn: log`5= {n} over {m}]([eqn: m>n])로 놓을 수 있다.

[eqn: log`5= {n} over {m}] [eqn: LRARROW] [eqn: 10 ^{{n} over {m}} =5]

양변을 [eqn: m]제곱하면 [eqn: 5 ^{m} =10 ^{n}]

양변을 [eqn: 5 ^{n}]으로 나누면 [eqn: 5 ^{m-n} =2 ^{n}]

이때 [eqn: m-n>0] 이므로 [eqn: 5 ^{m-n}]은 홀수이고 [eqn: 2 ^{n}]은 짝수가 되어 모순이다.

따라서 [eqn: log`5]는 무리수이다.

17. 수리‘가’형 17번과 같음

18. 수리‘가’형 18번과 같음

19. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (참)행렬 [eqn: pmatrix{1~2#2~4}]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: (2,``4)` IN `M]

ㄴ. (참)[eqn: (a,``b)` IN `M]이면 행렬 [eqn: pmatrix{1~a``#2~b``}]의 역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: b=2a]

이때 행렬 [eqn: pmatrix{```1&``````-a``#```2&````-b}]에서 [eqn: -b-(-2a)=-b+2a=0]이므로 역행렬이 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: (-a,``-b)` IN `M]

ㄷ. (참)[eqn: (a,`b)` IN `M], [eqn: (c,`d)` IN `M] 이면 [eqn: b=2a], [eqn: d=2c]

이때 행렬 [eqn: pmatrix{1&````a+c`#2&`````b+d`}]에서

[eqn: (b+d)-2(a+c)=(b-2a)+(d-2c)=0]이므로

역행렬이 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: (a+c,~b+d)` IN `M]

20. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실생활과 관련된 상황을 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root10 `=`10 ^{{1} over {2}}] , [eqn: root {3} of {10 ^{2}} `=`10 ^{{2} over {3}}] ,  [eqn: root {6} of {10 ^{5}} `=`10 ^{` {5} over {6}} `]

이므로 금속덩어리의 부피는 [eqn: 10 ^{` {1} over {2} + {2} over {3} + {5} over {6}} `=`100`]이다.

따라서 부피가 작은 덩어리의 부피는 [eqn: 25`]이므로

한 모서리의 길이는 [eqn: root {3} of {25}]이다.

21. [출제의도] 연립일차방정식과 행렬의 관계를 이용하여 실생활과 관련된 상황을 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

지난달의 전체 회원의 수는 [eqn: 160`]명이므로

[eqn: x+y=160]   … ㉠

이번 달의 회원의 수가 모두 [eqn: 7`]명이 감소하였으므로 [eqn: 0.05x-0.1y=-7]

[eqn: x-2y=-140]  … ㉡

연립방정식 ㉠, ㉡을 행렬로 나타내면

[eqn: pmatrix{1&1#1&-2``} LEFT ( matrix{`x``#y``} RIGHT ) `=` pmatrix{`160`#-140``} `]

[eqn: a=1`],[eqn: b=-2] 이므로 [eqn: a-b=3]

22. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log` _{3} `2006` TIMES `log` _{2006} ``N`` `=`` {log`2006} over {log`3} `` TIMES `` {log`N} over {log`2006} `=`` log` _{3} `N `]

이므로 [eqn: log` _{3} N``=``5]에서 [eqn: N=3 ^{5} =243]

23. [출제의도] 지수법칙과 로그의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {3} <3 ^{5}]이므로 [eqn: sqrt {3} CIRC 3 ^{5} ```=``log` _{sqrt {3}} ``3 ^{5} ``=10]

또 [eqn: 10>log81] 이므로 [eqn: 10 CIRC log``81``=``10` ^{log`81} =81]

24. [출제의도] 행렬의 성질과 행렬의 연산을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A+B`=` LEFT ( matrix{`1&```0``#0&``1} RIGHT )], [eqn: A+B`=`E`]에서 [eqn: B`=`E`-`A`] 이므로

[eqn: A ^{2} -B` ^{2} =`A ^{2} -(E-A) ^{2} `=`2A`-`E`=` pmatrix{````````11&```````16``#-4&-7``}]

[eqn: 2`A`= LEFT ( matrix{`12&```````````16``#-4&````-6``} RIGHT )] ∴ [eqn: A= LEFT ( matrix{`6&```8``#-2&```-3``} RIGHT )]

따라서 행렬 [eqn: A]의 [eqn: (1,~2)`]성분은 [eqn: 8]이다.

25. 수리‘가’형 25번과 같음

26. 수리‘가’형 26번과 같음

27. 수리‘가’형 27번과 같음

28. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계와 행렬의 곱셈을 관련지어 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta =2], [eqn: alpha beta =`-1] … ㉠

[eqn: AB=][eqn: pmatrix{alpha ^{2}&beta #0&alpha ^{2} `}][eqn: pmatrix{beta ^{2}&alpha #0&beta ^{2} `}`][eqn: =][eqn: pmatrix{alpha ^{2} beta ^{2}&```` alpha ^{3} + beta ^{3}#0`&`` alpha ^{2} beta ^{2} ``}]이고

[eqn: alpha ^{3} + beta ^{3} =][eqn: ( alpha + beta ) ^{3} -3 alpha beta ( alpha + beta )][eqn: =14] … ㉡

㉠, ㉡에 의해  [eqn: AB=][eqn: pmatrix{1&```14#0&```1`}]

따라서 [eqn: A`B`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 16]이다.

29. [출제의도] 이차함수의 그래프와 행렬의 대응을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

이차함수 [eqn: f(x)=2(x`-`1) ^{2} +2]의 그래프의 꼭지점의 좌표는 [eqn: (1,`2)]이고 [eqn: y]절편은 [eqn: 4]이므로 이에 대응하는 행렬[eqn: F`]는 [eqn: F`=` pmatrix{``1``&``2``#``2``&``4``}`]이다.

∴ [eqn: F`` ^{2} = pmatrix{``1``&2#``2``&``4``} ` pmatrix{``1``&2#``2``&``4``}`][eqn: = pmatrix{``5`&`10``#``10&20}]

행렬 [eqn: F`` ^{2}]은 이차함수 [eqn: g(x)]의 그래프에 대응되는 행렬이므로 꼭지점의 좌표는 [eqn: (5,`10)]이고 [eqn: y]절편은 [eqn: 20]임을 알 수 있다. 그리고 [eqn: g(0)`]는 그래프의 [eqn: y]절편과 같으므로 [eqn: g(0)`=20]이다.

30. 수리‘가’형 30번과 같음