2004학년도 9월 고2

전국연합학력평가 정답 및 해설 (1～4교시)

로그인/회원가입 필요없는 학습자료 무료제공 사이트

레전드스터디 닷컴 http://LegendStudy.com

• 2교시 수리 영역 •

로그인/회원가입 필요없는 학습자료 무료제공 사이트

레전드스터디 닷컴 http://LegendStudy.com

“가형” 정답

1	⑤	2	②	3	①	4	④	5	①
6	③	7	②	8	①	9	②	10	⑤
11	⑤	12	⑤	13	②	14	⑤	15	①
16	④	17	④	18	③	19	③	20	③
21	④	22	21	23	49	24	58	25	123
26	24	27	14	28	34	29	12	30	918

해 설

1. [출제의도] 무리수의 연산을 하여 식의 값을 구할 수 있다.

[eqn: a + b = 2`],[eqn: ab = -2`]이므로

[eqn: a^ 2`+`b^2`-`ab`=`(a`+`b`)^2`-`3`ab`=` 10`]

2. [출제의도] 행렬의 덧셈과 곱셈, 상수배를 할 수 있다.

[eqn: AB+2E= pmatrix{````1&0#-1&``1`} pmatrix{1&`````2#3&-1`} +2 pmatrix{1&```0#0&```1`}]

[eqn: = pmatrix{3&````````2#2&-1`}][eqn: = pmatrix{a&```2#2&``b`}]

따라서, [eqn: a=3,``b=-1]이므로 [eqn: a `+`b= 2`]

3. [출제의도] 무한등비수열의 수렴 조건을 알 수 있다.

수열 [eqn: LEFT { (x-2)^n RIGHT }]의 공비는 [eqn: x-2]이므로

[eqn: -1 `<` x-2 `≦` 1]	∴[eqn: 1 `<` x `≦` 3`]

4. [출제의도] 무리식의 극한값을 계산할 수 있다.

(주어진식)[eqn: = lim_n->inf {( root{n^2 + 3n}-n ) ( root{n^2 + 3n}+n ) }over {root{n^2 + 3n}+n }]

[eqn: =`lim_n->inf {3n }over {root{n^2`+`3n}`+`n` }`]

[eqn: =`lim_n->inf`{3}over{root{1+ 3over n}`+1 }}`=`3over2``]

5. [출제의도] 로그의 밑과 진수의 조건을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

로그의 밑은 [eqn: 1 ``]이 아닌 양수이므로

[eqn: (`x-2`)^2`` != `1,~(`x-2`)^2``>`0 `]

∴[eqn: x ` != 1`,~ x` != 2`,~ x` != 3 `] … ㉠

로그의 진수는 양수이므로

[eqn: -x^2 `+` x `+` 12 `>` 0 `]에서 [eqn: x^2`-`x`-`12`<` 0`]

∴[eqn: -3 `<` x `<` 4 `] … ㉡

[eqn: ㉠,㉡ ``]에서 정수[eqn: x ``]의 값은 [eqn: -2`],[eqn: -1`],[eqn: 0`]이다.

6. [출제의도] 등비중항을 이용하여 등비수열 문제를 풀 수 있다.

다항식 [eqn: x^2 `+` a`x `+` a`]를 [eqn: x `-` 2 `],[eqn: x `],[eqn: x `+`1 `]로 나눈 나머지는 각각

[eqn: p `=` 3`a `+` 4 `], [eqn: q `=` a`], [eqn: r `=` 1`]

이 때, 세 수 [eqn: p`],[eqn: q`],[eqn: r`]가 등비수열을 이루므로

[eqn: q^2 `=` p`r`], 즉 [eqn: a^2 `=` (` 3`a `+` 4 `) cdot 1 `]

∴[eqn: a^2 `-` 3`a `-` 4 `=` 0 `]

따라서, 근과 계수와의 관계에서 [eqn: a`]의 값들의 합은 [eqn: 3`]이다.

7. [출제의도] 무한급수의 수렴과 발산을 조사할 수 있다.

첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 부분합을 [eqn: S_n`]이라 하면

ㄱ.[eqn: lim _ { n -> inf } n over { 2`n + 1 } `=` 1 over 2 `]이므로 [eqn: sum _ { n = 1 } ^ inf n over { 2`n + 1 } `]은 발산

ㄴ.[eqn: S_n = sum _ { k = 1 } ^ n ` 1 over { k`(`k`+`1`) } = sum _ { k = 1 } ^ n ` left( 1 over k - 1 over { k + 1 } right)`]

[eqn: = 1 - 1 over {n`+`1} `]    ∴[eqn: lim _ { n `->` inf } ` S_n `=` 1 `](수렴)

ㄷ.[eqn: S_n = sum _ { k = 1 } ^ n 1 over { root k + root { k + 1 } } = sum _ { k = 1 } ^ n ( - root k + root {k+1} )`]

[eqn: = root n+1 - 1 `]     ∴[eqn: lim _ { n `->` inf } ` S_n `=` inf`](발산)

8. [출제의도] 등차수열의 합을 구할 수 있다.

등차수열[eqn: left{a_n right} `]의 첫째항을 [eqn: a``(a`＞`0)`], 공차를 [eqn: d``]라 하면, [eqn: S``]는 첫째항 [eqn: a``], 공차 [eqn: 2d`], 항의 개수가 [eqn: 11`]인 등차수열의 합이고, [eqn: T``]는 첫째항 [eqn: a`+`d`], 공차 [eqn: 2d`], 항의 개수가 [eqn: 10`]인 등차수열의 합이다.

[eqn: S`=`a_1`+`a_3`+`cdots`+`a_21`=`{11 left(2a`+`20d right)}over2]

[eqn: T`=`a_2`+`a_4`+`cdots`+`a_20`=``{10(2a`+`20d)}over2]

따라서, [eqn: S````:``T`=`11``:``10`]

9. [출제의도] 행렬의 성질을 알 수 있다.

[eqn: (A+B)(A-B) = A^2 -AB+BA-B^2 `][eqn: =` A^2 `-` B^2 `]이면 [eqn: AB=BA`]이다.

ㄱ.[eqn: AB +BA =O`]이면 [eqn: AB=-BA`]

ㄴ.[eqn: (AB)`^2 =A`^2 B`^2 `]이면 [eqn: A(BA)B=A(AB)B`]

에서 [eqn: A^-1`],[eqn: B^-1`]이 존재하므로 [eqn: AB=BA`]

ㄷ. (반례)[eqn: A`=` B `=` E`]일 때, [eqn: AB=BA`]이지만

[eqn: A+B not= E`]

따라서, 필요충분조건은 ㄴ 뿐이다.

10. [출제의도] 부분집합의 개수를 구할 수 있다.

주어진 조건을 만족하는 순서쌍

[eqn: (phi`,`LEFT { 1,2,3,4,5RIGHT }`)`,][eqn: (`LEFT { 1RIGHT },`LEFT { 2,3,4,5RIGHT }) `], ⋯,

[eqn: (`LEFT { 1,2,3,4,5RIGHT }`,phi`)`]

의 개수는 [eqn: U`]의 부분집합[eqn: A`]의 개수와 같으므로 32개이다.

11. [출제의도] 수열의 합을 구할 수 있다.

[eqn: a_2 + a_1 = b_2 -b_1]

[eqn: a_3 + a_2 = b_3 -b_2]

⋮

[eqn: a_10 + a_9 = b_10 -b_9]

위의 식을 변끼리 더하면

[eqn: 2 ( a _1 + a _2 + cdots + a _10 ) - a _1 - a _10 = b _ 10 - b_1]

∴[eqn: a _1 + a _2 + cdots + a _10 = 1 over 2 left( a_1 - b _1 + a_10 + b _ 10 right) = 15`]

12. [출제의도] 등비수열의 합을 구할 수 있다.

등비수열[eqn: left{` a_n `right}`]의 첫째항이 [eqn: 1`], 공비가 [eqn: r`]이므로, [eqn: S _ 20 `=` 4`S_10`]에서 [eqn: { 1 `-` r^ 20 } over { 1 `-` r } `=` 4 cdot { 1 `-` r^10 } over { 1 `-` r } `]

[eqn: (` 1 - r^10 `) `(` 1 + r^10 `) = 4 (` 1 - r^10 `) `]

[eqn: 1 `+` r^10 `=` 4 `]    ∴[eqn: r^10 `=` 3 `]

[eqn: S_40 = { 1 - r^40 } over { 1 - r } = { ( 1 - r^ 10 )`( 1 + r^ 10 )`( 1 + r^ 20 ) } over { 1 - r } `]

[eqn: = S_10 `(` 1 + 3 `)`(` 1 + 9 `) = 40`S_10`]

13. [출제의도] 순서도에서 인쇄되는 값을 구할 수 있다.

주어진 순서도에서 [eqn: N`],[eqn: k`]의 값을 차례대로 적으면 다음과 같다.

[eqn: N`]	26	13	14	7	8	4	2	1
[eqn: k`]	1	2	3	4	5	6	7	8

14. [출제의도] 약수와 배수를 이용하여 완성형의 문제를 해결할 수 있다.

[eqn: m over n ``]이 소수점 아래 셋째 자리까지의 유한소수이므로, 배를 하면 정수가 된다.

[eqn: 10^3 ``]

[eqn: n ``]은 [eqn: 10^3 `=`2^3 CDOT 5^3`]의 약수이므로, 소인수분해하면 [eqn: 2^ alpha CDOT 5^ beta ``(` alpha =0,1,2,3,``` beta =0,1,2,3)] 과 같다.

15. [출제의도] 수열의 합의 공식을 이용하여 완성형의 문제를 풀 수 있다.

ⅱ)[eqn: k `=` 2`]일 때,

[eqn: { 2`n `(` 2`n + 1 `) } over 2 `=` 1 over 6 ` n `(` n + 1 `)`(` 2`n + 1 `)`]에서

[eqn: 6 `=` n `+` 1 `]    ∴[eqn: n `=]

[eqn: 5`]

ⅲ)[eqn: k `≧` 3`]일 때,

[eqn: { 2`n `(` 2`n `+` 1 `) } over 2 `≧` left{ { n `(` n + 1 `) } over 2 right}^2 `]

∴ [eqn: 4 `(` 2`n `+` 1 `) } `≧`]

[eqn: n `(` n `+` 1 `)^2`]

이 때, [eqn: 8 `(` n + 1 `) = 4 cdot (` 2`n + 2 `) `>` 4 `(` 2`n + 1 `) } `]에서

[eqn: 8 `(` n + 1 `) `>` n`(`n`+`1`)^2 `]

∴ [eqn: 8 `][eqn: n `(` n `+` 1 `) `>` n^2 `]

>

16. [출제의도] 기울기의 정의를 알고 관련된 문제를 해결할 수 있다.

[eqn: b over a]는 원점과 점 [eqn: ( a`, b )]를 잇는 직선의 기울기이므로, 오른쪽 그림과 같이 [eqn: b over a]의 최대값 [eqn: M]과 최소값 [eqn: m]은 점[eqn: ( a`, b )]가 각각 점[eqn: \P`]와 점[eqn: \Q`]에 위치할 때이다.

∴[eqn: theta _1 - theta _2 = angle \POQ = pi over 3]

17. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수를 이용하여 중점의 좌표를 구할 수 있다.

[eqn: log25`=`1+alpha```(0`<`alpha`<`1)]라 하면

[eqn: log 1over25 `=` -log25`=`-2 `+` (` 1 - alpha `)`]

따라서, 점[eqn: \A]의 좌표는 [eqn: (1,`alpha)], 점[eqn: \B`]의 좌표는

[eqn: (-2,``1-alpha)]이므로, 두 점 [eqn: \A,`\B]의 중점의

좌표는 [eqn: left( - 1over2 , ` 1over2 right)]이다.

18. [출제의도] 외적상황을 수열로 나타내어 항의 값을 구할 수 있다.

12초 후 공의 이동거리는 [eqn: 4 times 12 = 48 `](㎝)이다.

두 막대에 적혀 있는 숫자를 차례로

[eqn: left( 1 over 1 right) , `` left( 2 over 1 , 1 over 2 right) ,`` left( 3 over 1 , 2 over 2 , 1 over 3 right) , `` cdots]

와 같은 군수열로 표현하면 구하고자 하는 공의 위치는 이 수열의 제[eqn: 48`]항에 해당한다.

한편, 제[eqn: 9`]군까지의 항의 개수가 [eqn: { 9 cdot 10 } over 2 = 45](개)이므로, 제[eqn: 48`]항은 제[eqn: 10`]군의 제[eqn: 3`]항이다.

따라서, [eqn: 12`]초 후 공의 위치에 해당하는 항은 [eqn: 8 over 3]이고 이에 대응되는 그림은 ③번이다.

19. [출제의도] 수열의 관계식을 구하고 수열의 극한값을 구할 수 있다.

[eqn: n`]번 시행 후 남아 있는 기름의 양을 [eqn: a_n ``(l`)``]라 하면, [eqn: a_n `=` 1over2 a_n-1 `+` 100`]([eqn: a_0 = 1000`])에서

[eqn: a_n`-`200`=``1over2 (a_n-1 `-` 200`)`]

[eqn: a_n`-`200`=`(a_0`-`200) left( 1over2 right)^n`]

∴[eqn: a_n`=200+``800 left( 1over2 right)^n`]

따라서, [eqn: lim_n->inf a_n`=`200``]

20. [출제의도] 지수법칙과 로그의 성질을 이용하여 외적인 상황을 해결할 수 있다.

집의 수는 [eqn: 7`], 고양이의 수는 [eqn: 7^2`], 쥐의 수는 [eqn: 7^3`],

밀알의 수는 [eqn: 7^4`]에서 [eqn: a`=`7^2 cdot 7^4 `=`7^6`]이므로

[eqn: log_7 `a`=`log_7 `7^6`=`6]

21. [출제의도] 로그의 성질을 알고 행렬의 곱셈을 할 수 있다.

[eqn: 2`]사분면의 위치에 있는 수가 [eqn: 2`]와 [eqn: 16`]일 때 대응되는 행렬을 각각 [eqn: A,` B`]라 하면

[eqn: A = pmatrix{log_2 2&log_2 16 # log_2 4& log_2 8}`= pmatrix{1 &4 ` # 2&3 `}`]

[eqn: B = pmatrix{log_16 16&log_16 8 # log_16 2& log_16 4} = pmatrix{ 1 & 3 OVER 4 # 1 over 4 & 1 over 2}`]

따라서, 행렬[eqn: AB= pmatrix{ 2 & 11 over 4 # 11 over 4 & 3 } `]의 모든 성분의 합은 [eqn: 21 over 2 `]이다.

22. [출제의도] 절대값을 포함한 부등식을 풀 수 있다.

[eqn: |`` x `-` 2004 ``| `≦` 10 `]에서

[eqn: -10 `≦` x `-` 2004 `≦` 10 `]

∴[eqn: 1994 `≦` x `≦` 2014`]

따라서, 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 21`](개)이다.

23. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 차례로 하여 [eqn: A^n`]을 추론할 수 있다.

[eqn: A^2 =AA`][eqn: = pmatrix { `1 & 0 `# 2 & 1 `} pmatrix { `1 & 0 `# 2 & 1 `}= pmatrix {1& 0`# 4 & 1 `}`]

[eqn: A^3 =A^2 A`][eqn: = pmatrix {1& 0 `# 4 & 1 `}pmatrix {` 1 & 0 `# 2 & 1 `}= pmatrix { 1& 0`# 6 & 1 `}]

[eqn: VDOTS]

∴[eqn: A ^{n} `= pmatrix{1&`0`#``2n&``1`}]

[eqn: A^n`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 100`]이므로

[eqn: 2n+2 `=`100]	[eqn: therefore`` n``=`49`]

24. [출제의도] 등차수열의 일반항을 이용하여 항의 값을 구할 수 있다.

등차수열[eqn: left{` a_n `right}`]의 첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]라 하면, [eqn: a_n `=` a `+` (` n `-` 1 `)`d `]이므로

[eqn: cases { a_2 `=` a `+` d `=` 4 # a_6 `=` a `+` 5`d `=` 16 }`]    ∴[eqn: a `=` 1 `],[eqn: d `=` 3 `]

∴[eqn: a_20`=` 1 `+` (` 20 `-` 1 `) × 3 `=` 58`]

25. [출제의도] 최소공배수의 성질을 이용하여 수열의 항의 값을 구할 수 있다.

[eqn: 2`],[eqn: 5`]의 최소공배수가 [eqn: 10`]이고, 수열[eqn: left{` a_n `right}`]은

[eqn: 1`],[eqn: 3`],[eqn: 7`],[eqn: 9`],[eqn: 11`],[eqn: 13`],[eqn: 17`],[eqn: 19`],…이므로

[eqn: 1`]에서 [eqn: 10`]까지의 자연수 중 [eqn: 4`]개,

[eqn: 11`]에서 [eqn: 20`]까지의 자연수 중 [eqn: 4`]개,

…

로 이루어진 수열임을 알 수 있다.

따라서, [eqn: 50 `=` 4 cdot 12 `+` 2 `]에서

[eqn: a_50 `=` 10 cdot 12 `+` 3 `=` 123`]

26. [출제의도] 두 함수의 그래프의 교점의 개수를 구하여 행렬로 나타낼 수 있다.

ⅰ)[eqn: i=1,```j=1`]일 때,

직선은 [eqn: y= 1 over 2pi x`]이므로 교점의 개수는 4개

ⅱ)[eqn: i=1`,``j=2] 또는 [eqn: i=2`,``j=1]일 때,

직선은 [eqn: y= 1 over 3pi x`]이므로 교점의 개수는 6개

ⅲ)[eqn: i=2,```j=2`]일 때,

직선은 [eqn: y= 1 over 4pi x`]이므로 교점의 개수는 8개

따라서, 구하는 행렬은 [eqn: pmatrix { 4 & 6 ``# 6 & 8`` } `]이다.

27. [출제의도] 평균과 표준편차를 구할 수 있다.

(평균)[eqn: = { 4 + 7 + 11 + 13 + 15 } over 5 = 10 `]

(분산)[eqn: = { (-6)^2 + (-3)^2 + 1^2 + 3^2 + 5^2 } over 5 = 16 `]

(표준편차)[eqn: = root 16 = 4`]

28. [출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있다.

[eqn: P` left( 1 over 2 right) - P _n left( 1 over 2 right) `=` left( 1 over 2 right)^n+1 + left( 1 over 2 right)^n+2 + ~cdots `]

[eqn: = { ~~left( 1 over 2 right)^n+1 } over { 1 - 1 over 2 } = 1 over 2^n `]

[eqn: 1 over 2^n < 1 over {10^10} `]의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: - n `log 2 `<` -10],   [eqn: n `>` 10 over log2 = 33. 2]×××

따라서, 자연수 [eqn: n]의 최소값은 [eqn: 34`]이다.

29. [출제의도] 수열의 관계식에서 각 항의 값을 유추할 수 있다.

[eqn: a_1`=`1over2`]

[eqn: a_2``=`1over{1`-`a_1}=`1over{1`-`1over2}`=`2`]

[eqn: a_3``=`1over{1`-`a_2}=`1over{1`-`2}`=`-1`]

[eqn: a_4``=`1over{1`-`a_3}=`1over{1`-`(-1)}`=`1over2`]

⋮

따라서, 수열[eqn: left{a_n right}`]은 [eqn: 1over2 `,``2`,``-1`]이 반복된다.

[eqn: a_1`+`a_2`+`a_3`=`1over2 `+`2`+` (-1)`=`3over2`]이고

[eqn: 6`=`3over2 × 4`]이므로 [eqn: k`=`3×4`=`12`]

30. [출제의도] 로그를 이용하여 외적인 문제 상황을 해결할 수 있다.

빛의 투과도가 [eqn: alpha`]일 때 흡광도가 [eqn: 0.316]이므로, 관계식에 의해 [eqn: 0.316 `=`log 1over alpha`]이 성립한다.

따라서 투과도가 [eqn: alpha over 4]일 때의 흡광도[eqn: \A]는

[eqn: \A`=`log 4over alpha `=`2log2 + log{1over alpha}]

[eqn: `=`2times0.301 + 0.316 `=`0.918]

‘나’형 정답

1	⑤	2	②	3	①	4	②	5	①
6	⑤	7	④	8	③	9	②	10	⑤
11	④	12	②	13	①	14	⑤	15	③
16	④	17	④	18	①	19	③	20	③
21	④	22	21	23	49	24	13	25	23
26	24	27	14	28	12	29	124	30	918

해 설

1～2. ‘가’형과 같음.

3. [출제의도] 역행렬을 구하고 행렬의 곱셈을 할 수 있다.

[eqn: AB^ -1 `][eqn: = left ( matrix { ~~1 & 2`` # -2 & 4 ``} right ) left ( matrix { `````1 & 0`` # -2 & 1`` } right )``][eqn: = left ( matrix { `-3 & `2`` #```-10 & 4 ``} right )`]

4. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 두 수의 크기를 비교할 수 있다.

ㄱ.[eqn: LEFT ( sqrt{2} RIGHT )^{2`sqrt{2}} = left{ LEFT ( sqrt{2} RIGHT )`^2` right}^sqrt{2} `=`2^sqrt{2}` neq ` LEFT ( 2`sqrt{2} RIGHT )^sqrt{2} `]

ㄴ.[eqn: LEFT ( sqrt{3} RIGHT )^{3`sqrt{3}} `=`left{ LEFT ( sqrt{3} RIGHT )`^3 right}^sqrt{3} `=` LEFT ( 3`sqrt{3} RIGHT )^sqrt{3}`]

ㄷ.[eqn: LEFT ( sqrt{5} RIGHT )^{5`sqrt{5}}`=`left{ LEFT ( sqrt{5} RIGHT )`^5 right}^sqrt{5}`=`LEFT (25 sqrt{5} RIGHT )^{sqrt{5}}` neq ` LEFT ( 5`sqrt{5```} RIGHT )^sqrt{5``} ``]

따라서 옳은 것은 ㄴ 뿐이다. [eqn: ``]

5. ‘가’형과 같음.

6. [출제의도] 거듭제곱근의 뜻을 알고 그 값을 구할 수 있다.

①[eqn: `^4 sqrt 81 `=` sqrt 9 `=`3]	∴거짓

②[eqn: `^3 SQRT {-64 } `=` `^3 SQRT {(-4)^3 } `=`-4]	∴거짓

③[eqn: 16]의 네 제곱근은 [eqn: +- 2`,`` +- 2`i `]이다.	∴거짓

④[eqn: sqrt{(-3)^2}`=`9]의 제곱근은 [eqn: +-3]이다.	∴거짓

⑤[eqn: (-1)^3 = -1`]이므로 [eqn: -1]은 [eqn: -1]의 세 제곱근

중 하나이다.	∴참

7. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용하여 행렬의 성분의 합을 구할 수 있다.

[eqn: α+β=-2`,``αβ=-1`]이고

[eqn: M`^2 = pmatrix{ ~~α & ~1 # -1 & ~β } pmatrix{ ~~α & ~1 # -1 & ~β }= pmatrix { col { α^2 -1 #-α-β } col { ~α+β` # ~β^2 -1` } }`] 　따라서, [eqn: M`^2 `]의 모든 성분의 합은 [eqn: α^2 + β`^2 -2`=4`]

8. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

[eqn: 2^x ``` LEFT ( 단,` x`` in` LEFT { 2`,`3`,`cdots`,`8RIGHT } RIGHT ) ``]을 (가)에 쓸 수 있는 수라 하자. 가로의 곱과 세로의 곱을 곱하면

[eqn: 2^2 CDOT 2^3 CDOT 2^4 cdot 2^5 CDOT 2^6 CDOT 2^7 CDOT 2^8 CDOT 2^x `=` 2^{35+x} ``]

[eqn: 2^{35+x} ``]는 완전제곱수이므로 [eqn: x ``]는 홀수이다.

i) [eqn: x`=`3 ``]인 경우

세로의 곱은 [eqn: LEFT (2^35+3`RIGHT)^{1over2}=``2^19 ``]이지만, (가)에 [eqn: 2^3 ``]

을 쓰면 위, 아래 칸의 곱이 [eqn: 2^16 ``]이 되지 못하므로 성립하지 않는다.

ii) [eqn: x`=`5 ``]일 경우

세로의 곱은 [eqn: LEFT (2^35+5`RIGHT)^{1over2}=``2^20 ``]이고, 이 경우는 (가)의 위, 아래 칸에 [eqn: 2^7 ``]과 [eqn: 2^8 ``]을 쓰면 된다.

iii) [eqn: x`=`7 ``]일 경우

세로의 곱은 [eqn: LEFT (2^35+7`RIGHT)^{1over2}=``2^21 ``]이고, 이 경우는 (가)의 위, 아래 칸에 [eqn: 2^6 ``]과 [eqn: 2^8 ``]을 쓰면 된다.

따라서, i), ii), iii)에서 [eqn: 2^5`` CDOT ``2^7`=`2^12 ``]

9～10. ‘가’형과 같음.

11. [출제의도] 방정식의 근과 로그의 성질을 이용하여 주어진 식의 값을 구할 수 있다.

[eqn: x^2 `+` x `+` 1 `=` 0 `]의 두 근이 [eqn: omega],[eqn: bar omega `]이므로

[eqn: omega + bar omega `=`-1], [eqn: omega cdot {bar omega} `=`1]

[eqn: \A=1-omega- bar omega + omega bar omega = 1- (omega+ bar omega `) + omega bar omega =3]

∴ [eqn: 2^{log_2 rmA } `=` 2^{log_2 ``3 } `=`3]

12. [출제의도] 제시된 문제의 규칙에 따라 조건을 만족하는 행렬을 추론할 수 있다.

오른쪽 그림에서와 같이 정사각형 내부의 임의의 점[eqn: \P`]에 대하여 [eqn: a` =` ps``], [eqn: b` = `rs``],

[eqn: c` = ` pq``], [eqn: d`=` qr``]이므로

점[eqn: \P`]에 대응하는 행렬[eqn: A`]는 [eqn: A = pmatrix{`ps` & `rs``` # ` pq` & `qr```}`]이다.

이 때, [eqn: ps cdot qr - pq cdot rs `=` 0`]이므로 행렬[eqn: A`]의 역행렬은 존재하지 않는다.

따라서, 정사각형 내부의 모든 점[eqn: \P`]에 대응하는 행렬[eqn: A`]의 역행렬은 존재하지 않으므로 ㄴ만 참이다.

13. [출제의도] 행렬과 역행렬의 관계를 이용하여 완성형의 증명을 할 수 있다.

[eqn: A^-1 = 1 over {ad-bc} pmatrix{d&-b#-c&a }]에 대응하는 유리함수를 [eqn: g`(`x`)`]라 하면

[eqn: g(x)`=` {{1} over {ad-bc} LEFT ( dx-b RIGHT )} over {{1} over {ad-bc} LEFT ( -cx+a RIGHT )} = {dx-b} over {-cx+a}]

[eqn: f`(g(x))`=` {a~ LEFT ( {dx-b} over {-cx+a}_{} RIGHT ) `+`b} over {c~ LEFT ( {dx-b}^{} over {-cx+a} ``RIGHT ) `+`d}]

[eqn: `=` {(ad - bc )x } over {ad- bc } =`` x]

또한, [eqn: g`(f`(x))`=``x``]이므로 [eqn: g(x)]는 함수[eqn: f`(x)`]의

역함수이다.

14. ‘가’형과 같음.

15. [출제의도] 두 점이 서로 다른 영역에 속하는 조건을 알 수 있다.

[eqn: f`(x,`y)`=`|`` x-k ``| - y + 1`]라 하면,

[eqn: f`(0,`3`) cdot f`(2,`1) `<`0]이어야 한다.

[eqn: (`|`` k ``|` -2`)` |`` 2-k ``| `<` 0`]

[eqn: |`` 2-k ``| `≧`0]이므로 [eqn: |`` k ``|` -2`<`0]    ∴[eqn: |`` k ``| `<`2`]

따라서 정수 [eqn: k`]는 [eqn: -1,``0,``1]이다.

16～17. ‘가’형과 같음.

18. [출제의도] 삼각함수의 값을 구할 수 있다.

변[eqn: \AB`]위에[eqn: bar \AD = bar \CD = x `]가

되도록 점[eqn: \D`]를 잡으면

[eqn: bar \DB = 1 - x `],[eqn: angle \CDB = 70^\o `]

이므로,[eqn: △ \BCD`]에서

[eqn: a^2 + ( 1 - x )^2 = x^2 `]

∴[eqn: x = { 1 + a^2 } over 2 `], [eqn: 1 `-` x `=` { 1 `-` a^2 } over 2 `]

따라서, [eqn: tan 70^\o = a over { 1 - x } = { 2`a } over { 1 - a^2 } `]

19. [출제의도] 상용로그를 이용하여 외적인 문제상황을 해결할 수 있다.

[eqn: 1 ``]달 후 사용요금은 [eqn: 20000 LEFT ( 1+0.03 RIGHT ) ``]

[eqn: 2 ``]달 후 사용요금은 [eqn: 20000 LEFT ( 1+0.03 RIGHT )^2 ``]

⋮

[eqn: 9 ``]달 후 사용요금은 [eqn: 20000 LEFT ( 1+0.03 RIGHT )^9 ``]

상용로그표에서 비례부분을 이용하여 계산하면

[eqn: log1.03^9`=`9log1.03`]

[eqn: `=`0.1152 `]

[eqn: `=`log1.304 ``]

[eqn: 1.03^9`=`1.304 `]이므로,

[eqn: 20000` TIMES `1.304`=`26080`](원)

20～23. ‘가’형과 같음.

24. [출제의도] 행렬을 이용하여 연립방정식을 풀 수 있다.

[eqn: pmatrix{a& 3a + 1`` # 4&a -1 }` pmatrix{x`` # y }`= `` pmatrix{0`` # 0 }]의 해가 무수히 많으므로

[eqn: a(a-1) - 4(3a + 1 ) = 0`]   ∴[eqn: a^2 -13 a - 4 `=` 0`]

근과 계수와의 관계에서 [eqn: a`]의 값들의 합은 [eqn: 13`]

25. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않는 조건을 알 수 있다.

행렬[eqn: pmatrix{a&b`#c&1`} `]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: a-bc` = 0`]    ∴[eqn: a `=` b`c`]

즉, [eqn: b`]와 [eqn: c`]는 [eqn: a`]의 약수이므로, [eqn: 10`]보다 작은 자연수 [eqn: a,`b`,`c`]를 구하면

ⅰ)[eqn: a=`1]일 때	⇨ [eqn: 1`](개)

ⅱ)[eqn: a=`2],[eqn: 3`],[eqn: 5`],[eqn: 7`]일 때	⇨ [eqn: 2 × 4 = 8`](개)

ⅲ)[eqn: a=`4],[eqn: 9`]일 때	⇨ [eqn: 3 × 2 = 6 `](개)

ⅳ)[eqn: a= 6 `],[eqn: 8`]일 때	⇨ [eqn: 4 × 2 = 8 `](개)

따라서 구하는 세 자리 자연수의 개수는

[eqn: 1 + 8 + 6 + 8 = 23`](개)

26～27. ‘가’형과 같음.

28. [출제의도] 이차함수의 성질을 이용하여 방정식의 근을 구할 수 있다.

[eqn: △ \ABC`]와[eqn: △ \ACD`]의 높이는 같고, 넓이의 비가 [eqn: 1``:``2`]이므로, 두 밑변의 비 [eqn: rmbarAB```:``barCD`=`1~:~2`]

[eqn: {rmA}(-a`,``a^2 `)`(a`＞`0)`]라 하면,[eqn: {rmC}(2a`,``4a^2`)`]이고

[eqn: {rmbarAC}`=`root{(3a)^2 `+`(3a^2 )^2 }`=`6root5`]

양변을 제곱하여 정리하면, [eqn: a^4`+`a^2`-`20`=`0`]

[eqn: (a^2 +5)(a^2 -4)`=`0`]    ∴[eqn: a`=`2`]

따라서,[eqn: \B`(2`,`4)`],[eqn: \C(4`,`16`)`]이므로 사다리꼴

[eqn: rmABCD`]의 높이는 [eqn: 12`]이다.

29. [출제의도] 수학 외적상황을 행렬로 나타낼 수 있다.

[eqn: x+y=90`] … ㉠

[eqn: {123x+132y}over90 =128]에서 [eqn: 123x+132y = 90 times128] … ㉡

연립방정식 ㉠, ㉡을 행렬로 나타내면

[eqn: PMATRIX { { 1}& { 1}# 123& 132`` }left ( matrix {`x`` # y``} right ) `=` 90 pmatrix { `1` # 128} `]

따라서 [eqn: a=1`],[eqn: b=123`]    ∴ [eqn: a+b= 124]

30. ‘가’형과 같음.