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2015학년도 11월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

[가 형]

1	②	2	③	3	②	4	④	5	③
6	⑤	7	④	8	①	9	②	10	①
11	①	12	③	13	②	14	⑤	15	④
16	①	17	⑤	18	③	19	③	20	④
21	⑤	22	45	23	16	24	40	25	9
26	144	27	24	28	7	29	15	30	20

1. [출제의도] 지수방정식 계산하기

[eqn: 2 ^{2x+1} =2 ^{5}]이므로 [eqn: 2x+1=5]

따라서 [eqn: x=2]

2. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{5 TIMES 3 ^{n}} over {3 ^{n} +1}} = lim _{n` -> ` INF } {{5} over {1+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}} =5}]

3. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -f(1)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {2h} ` TIMES `2}]

[eqn: =2f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) `=`2` TIMES `2`=`4]

4. [출제의도] 호도법을 이용하여 계산하기

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

(부채꼴의 넓이)[eqn: = {1} over {2} r ^{2} ` TIMES `2=36]  [eqn: THEREFORE `r=6` LEFT ( r>0 RIGHT )]

따라서 (부채꼴의 호의 길이)[eqn: =6` TIMES `2`=`12]

5. [출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기

주어진 함수는 감소함수이므로

[eqn: x=2]일 때, 최댓값 [eqn: y=log _{{1} over {2}} 8=`-3]

6. [출제의도] 삼각함수의 미분 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =sinx+ LEFT ( x+ pi RIGHT ) cosx]

[eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =sin`0+ LEFT ( 0+ pi RIGHT ) cos`0= pi]

7. [출제의도] 다항함수의 극한 이해하기

주어진 조건에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 2]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +ax+b]라 하자.

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: 2-a+b=0] [eqn: THEREFORE `b=a-2]

[eqn: lim _{x` -> `-1} {{2x ^{2} +ax+a-2} over {x+1}}][eqn: = lim _{x` -> `-1} {{LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x+a-2 RIGHT )} over {x+1}}][eqn: = lim _{x` -> `-1} {` LEFT ( 2x+a-2 RIGHT )} `=`a-4`=3]   [eqn: THEREFORE `a=7], [eqn: b=5]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +7x+5]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =14]

8. [출제의도] 적분과 미분의 관계 이해하기

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면
[eqn: 0=1+a+1]  [eqn: THEREFORE `a=`-2]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -4x]

따라서 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =7]

9. [출제의도] 삼각방정식 이해하기

[eqn: 2cos ^{2} x+3sinx-3`=0`]에서

[eqn: 2 LEFT ( 1-sin ^{2} x RIGHT ) +3sinx-3=0]

[eqn: LEFT ( 2sinx-1 RIGHT ) LEFT ( sinx-1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `sinx= {1} over {2}] 또는 [eqn: sinx=1]

[eqn: x= {pi } over {6}] 또는 [eqn: x= {5} over {6} pi] 또는 [eqn: x= {pi } over {2}]

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: {3} over {2} pi`]

10. [출제의도] 함수의 극한 추론하기

두 점 [eqn: rm P], [eqn: rmQ]의 좌표가

[eqn: rm P LEFT ( it `t,``t ^{2} -t RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( it `t,`` sqrt {2t+1} -1 RIGHT )]이므로

[eqn: A` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} t LEFT | t ^{2} -t RIGHT |], [eqn: B` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} t LEFT | sqrt {2t+1} -1 RIGHT |]

[eqn: lim _{t` -> `0+} {{B` LEFT ( t RIGHT )} over {A` LEFT ( t RIGHT )}} `][eqn: =` lim _{t` -> `0+} {{{t} over {2} LEFT | sqrt {2t+1} -1 RIGHT |} over {{t} over {2} LEFT | t ^{2} -t RIGHT |}}]
[eqn: = lim _{t` -> `0+} {{sqrt {2t+1} -1} over {t LEFT ( 1-t RIGHT )}} `] ([eqn: BECAUSE `0<t`<1])
[eqn: = lim _{t` -> `0+} {{2t} over {t LEFT ( 1-t RIGHT ) LEFT ( sqrt {2t+1} +1 RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{t` -> `0+} {{2} over {LEFT ( 1-t RIGHT ) LEFT ( sqrt {2t+1} +1 RIGHT )}} =1]

11. [출제의도] 로그부등식 이해하기

진수의 조건에서 [eqn: x>0]이고 [eqn: log` _{2} `x>0]  [eqn: THEREFORE `x>1]

[eqn: log` _{4} LEFT ( log` _{2} `x RIGHT ) LEQ log _{`4} `4]

[eqn: `log _{`2} `x LEQ 4]  [eqn: THEREFORE `x LEQ 16]

[eqn: LEFT . A= LEFT { `x LEFT ∣ `1<x LEQ 16 _{{} _{}} RIGHT } RIGHT . RIGHT .]

[eqn: x ^{2} -5ax+4a ^{2} = LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-4a RIGHT ) <0]  [eqn: THEREFORE ``a<x<4a]

[eqn: LEFT . B= LEFT { `x LEFT ∣ `a`<`x`<`4a _{{} _{}} RIGHT } RIGHT . RIGHT .]

[eqn: A SMALLINTER B=B``]이면 [eqn: B SUBSET A]이므로

[eqn: a GEQ 1]이고 [eqn: 4a LEQ 16]  [eqn: THEREFORE `1 LEQ a LEQ 4]

자연수 [eqn: a]는 [eqn: 1],[eqn: 2],[eqn: 3],[eqn: 4]이므로 [eqn: 4]개

12. [출제의도] 로그함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: C _{c} = {0.5-0.3} over {log`6.4-log`3.2} = {0.2} over {log`2}]이므로

[eqn: {0.2} over {log`2} = {0.3-0.1} over {log`x-log`6.4} = {0.2} over {log` {x} over {6.4}}]

[eqn: log`` {x} over {6.4} =log`2], [eqn: {x} over {6.4} =2]

따라서 [eqn: x=12.8]

13. [출제의도] 정적분 이해하기

[eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]이므로

[eqn: int _{2} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx`+ int _{2} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}} =2 int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: =2 int _{0} ^{1} {x ^{3} dx}][eqn: =2 LEFT [ {1} over {4} x ^{4} RIGHT ] _{0} ^{1} = {1} over {2}]

14. [출제의도] 무한급수를 이용하여 추론하기

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {n} x]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

[eqn: y]

[eqn: rm`O]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

위 그림에서 [eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{2} =3], [eqn: a _{3} =4], [eqn: a _{4} =5], [eqn: cdots]

[eqn: THEREFORE `a _{n} =n+1]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2} over {a _{n} TIMES a _{n+2}} = sum _{n=1} ^{INF } {2} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+3 RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` sum _{k=1} ^{n} {2} over {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+3 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k+1} - {1} over {k+3} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { LEFT ( {1} over {2} - {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {4} - {1} over {6} RIGHT ) +` CDOTS ` RIGHT .}]

[eqn: LEFT . `+ LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {n+1} - {1} over {n+3} RIGHT ) ` RIGHT }]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {1} over {2} + {1} over {3} - {1} over {n+2} - {1} over {n+3} RIGHT ) `=`} {5} over {6}]

15. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +2x ^{2} +a]라 하자.

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( `t,``f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]에서의

접선의 기울기는 [eqn: f` prime LEFT ( t RIGHT ) =4t ^{3} +4t=8]

[eqn: 4 LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( t ^{2} +t+2 RIGHT ) =0]  [eqn: THEREFORE `t=1]

접점의 좌표가 [eqn: LEFT ( `1,``3+a RIGHT )]

접선의 방정식은 [eqn: y=8x-5+a]이므로

[eqn: -5+a=`2]

따라서 [eqn: a=7]

16. [출제의도] 구분구적법을 이용하여 추론하기

구간 [eqn: LEFT [ 0,``2 RIGHT ]]를 [eqn: n]등분하면 [eqn: k]번째 구간의 오른쪽 끝점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {2k} over {n}]

왼쪽에서 [eqn: k]번째 직사각형의 가로의 길이는 [eqn: {2} over {n}],

세로의 길이는 [eqn: g LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) =2 LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) - {1} over {2} LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: S _{k} = {2} over {n} LEFT ( {4k} over {n} - {2k ^{2}} over {n ^{2}} RIGHT ) `= {8k} over {n ^{2}} `-` {BOX{` {4} over {n ^{3}}}} ``k ^{2}]

[eqn: THEREFORE `p LEFT ( n RIGHT ) = {4} over {n ^{3}}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} S _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {8k} over {n ^{2}} - {4k ^{2}} over {n ^{3}} RIGHT )] [eqn: = {8} over {n ^{2}} TIMES {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} - {4} over {n ^{3}} TIMES {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6}]  [eqn: = {4 LEFT ( n+1 RIGHT )} over {n} -` {BOX{{2 LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {3n ^{2}}}}]

[eqn: THEREFORE `q LEFT ( n RIGHT ) = {2 LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {3n ^{2}}]

따라서 [eqn: p LEFT ( 2 RIGHT ) TIMES q LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =` {4} over {2 ^{3}} TIMES ` {2 TIMES 4 TIMES 7} over {3 TIMES 3 ^{2}}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {56} over {27} = {28} over {27}]

17. [출제의도] 함수의 연속성 추론하기

ㄱ. [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =`-f LEFT ( 1 RIGHT ) =`-1]  [eqn: therefore`](참)

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `1+} {g(x)} `=` lim _{x` -> `1+} {f(x)} `=`1] [eqn: therefore`](참)

ㄷ. 구간 [eqn: LEFT ( -3`,``2 RIGHT )]의 [eqn: x=`-2], [eqn: -1], [eqn: 1]을 제외한 점에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 연속이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]도 연속이다.

ⅰ) [eqn: x=`-2]일 때, [eqn: g LEFT ( -2 RIGHT ) =f LEFT ( -2 RIGHT ) =1]이고
[eqn: lim _{x` -> `-2+`} {g LEFT ( x RIGHT )} =` lim _{x` -> `-2+`} {f LEFT ( x RIGHT )} =1]
[eqn: lim _{x` -> `-2-`} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `-2-`} {f LEFT ( x RIGHT )} =0]  [eqn: therefore`]불연속

ⅱ) [eqn: x=`-1]일 때, [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) =`-f LEFT ( -1 RIGHT ) =0]이고
[eqn: lim _{x` -> `-`1+`} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `-1+`} {LEFT { -f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} =0]
[eqn: lim _{x` -> `-1-`} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `-1-`} {f LEFT ( x RIGHT )} =0]  [eqn: therefore`]연속

ⅲ) [eqn: x=1]일 때, [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =`-f LEFT ( 1 RIGHT ) =`-1]이고
[eqn: lim _{x` -> `1+`} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =1]
[eqn: lim _{x` -> `1-`} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `1-`} {LEFT { -f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} =`-1] [eqn: therefore`]불연속

불연속인 점은 [eqn: 2]개다. [eqn: therefore`](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[참고]

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: rmO]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: x]

[eqn: -3]

[eqn: -1]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

18. [출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

그림 [eqn: R _{n}]에서 새로 그려진 [eqn: 6`]개의 원의 넓이의 합을 [eqn: a _{n}]이라 하자.

정육각형 [eqn: H _{1}]의 한 변의 길이가 [eqn: 6]이므로 그림 [eqn: R _{1}]의
원의 반지름의 길이는 [eqn: 1]이고 [eqn: a _{1} =6 pi]이다.

정육각형 [eqn: H _{n}]의 가장 긴 대각선들이 만나는 점을 [eqn: rmO]라
하자.

정육각형 [eqn: H _{n}]의 한 꼭짓점을 [eqn: rmA _{itn}]이라 하고, 정육각형 [eqn: H _{n}]의 변 중 점 [eqn: rmA _{itn}]을 끝점으로 하는 한 변을

삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 [eqn: C _{it n rm }], 중심을 [eqn: rm O _{it n rm}]이라 하자.

정육각형 [eqn: H _{n+1}]과 원 [eqn: C _{it n rm }]이 만나는 점을 [eqn: rmA _{itn+1}]이라 하고, 정육각형 [eqn: H _{n+1}]의 각 변을 삼등분하는 점을

지름의 양 끝점으로 하는 원 중 선분 [eqn: rmOA _{itn}]과 만나는 원을 [eqn: C _{it n rm +1 it}], 중심을 [eqn: rmO _{itn+1}]이라 하자.

두 원 [eqn: C _{n}], [eqn: C _{n+1}]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r _{n}], [eqn: r _{n+1}]이라 하자.

다음은 그림 [eqn: R _{n+1}]의 일부이다.

[eqn: rm O _{it n rm}]

[eqn: r _{it n rm}]

[eqn: rm A _{it n rm}]

[eqn: r _{it n rm +1}]

[eqn: rm O _{it n rm +1}]

[eqn: rm A _{it n rm +1}]

[eqn: rm O]

[eqn: C _{it n rm}]

[eqn: C _{it n rm +1}]

삼각형 [eqn: rm OA _{it n rm} O _{it n rm}]은 [eqn: ANGLE rm OO _{it n rm} A _{it n rm} it =90 DEG], [eqn: ANGLE rm OA _{it n rm} O _{it n rm} it =60 DEG]인 직각삼각형이고, [eqn: {bar{rm O _{it n rm} A _{it n rm} it}} =3 it r _{n}], [eqn: {bar{rm OO _{it n rm} it}} =3 sqrt {3} r _{n}]이다.

삼각형 [eqn: rm OA _{it n+1 rm} O _{it n+1 rm}]은 [eqn: ANGLE rm OO _{it n+1 rm} A _{it n rm +1} it =90 DEG],
[eqn: ANGLE rm OA _{it n+1 rm} O _{it n rm +1} it =60 DEG]인 직각삼각형이고,
[eqn: {bar{rm OA _{it n+1 rm} it}} = LEFT ( 3 sqrt {3} -1 RIGHT ) r _{n}]

[eqn: {bar{rm O _{it n+1 rm} A _{it n+1 rm} it}} = {3 sqrt {3} -1} over {2} r _{n}]이다.

[eqn: r _{n+1} = {1} over {3} {bar{rm O it rm _{it n+1} ` rm A it _{it n+1}}} = {3 sqrt {3} -1} over {6} r _{n}]

그러므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 6pi]이고 공비가
[eqn: LEFT ( {3 sqrt {3} -1} over {6} RIGHT ) ^{2} = {14-3 sqrt {3}} over {18}]인 등비수열이다.

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`S _{n} = {6 pi } over {1- {14-3 sqrt {3}} over {18}} = {108} over {11} LEFT ( 3 sqrt {3} -4 RIGHT ) pi }]

따라서 [eqn: k= {108} over {11}], [eqn: m=4]이고 [eqn: 11k+m=112]

19. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

ⅰ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ g LEFT ( x RIGHT )]일 때
[eqn: x ^{2} -6x+10 GEQ x]
[eqn: x LEQ 2] 또는 [eqn: x GEQ 5]
[eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]이므로
[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | +f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )} over {2} =f LEFT ( x RIGHT )]

ⅱ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <g LEFT ( x RIGHT )]일 때
[eqn: x ^{2} -6x+10<x]
[eqn: 2<x<5]
[eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =`-f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )]이므로
[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | +f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )} over {2} =g LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: THEREFORE `h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x ^{2} -6x+10 _{{} _{{} _{}}}&`````` LEFT ( x` LEQ `2````또는````x GEQ 5 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}#```````````````````x ^{{} ^{{} ^{}}}&``````` LEFT ( 2<x<5 RIGHT ) ^{{} ^{{} ^{}}}}}]

구하는 넓이는

[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT ( x ^{2} -6x+10 RIGHT ) dx} + int _{2} ^{4} {xdx} `]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -3x ^{2} +10x RIGHT ] _{0} ^{2} `+` LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{2} ^{4} = {50} over {3}]

20. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: h` prime LEFT ( x RIGHT ) =f` prime LEFT ( x RIGHT ) +2]

[eqn: h` prime LEFT ( alpha RIGHT ) =f` prime LEFT ( alpha RIGHT ) +2>0]  [eqn: therefore](참)

ㄴ. 구간 [eqn: LEFT ( `0,`` alpha RIGHT )]에서 [eqn: -2<f` prime LEFT ( x RIGHT ) <0]
[eqn: 0<h` prime LEFT ( x RIGHT ) <2]이므로 함수 [eqn: h(x)]는 증가한다.
[eqn: therefore](거짓)

ㄷ. [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) +2 TIMES 0=0]
[eqn: h` prime LEFT ( x RIGHT ) =f` prime LEFT ( x RIGHT ) +2=0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값을 [eqn: beta]라 하자. 함수 [eqn: h(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: beta `]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]
[eqn: h` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: rm`O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: beta]

[eqn: h LEFT ( beta RIGHT )]

[eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]

방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. [eqn: therefore](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

21. [출제의도] 로그함수의 극한 문제해결하기

두 곡선 [eqn: y=ln LEFT ( x+1 RIGHT )], [eqn: y=e ^{x} -1]은 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이고, 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]는 기울기가 [eqn: -1]인 직선 위의 점이므로 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

두 점 [eqn: rm P( it `a,``b)], [eqn: rm Q( it `b,``a)]에 대하여

선분 [eqn: rm PQ]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하면 [eqn: rm M LEFT ( it ` {a+b} over {2} ,~ {a+b} over {2} RIGHT )]

[eqn: {bar{rm PM it}} = {sqrt {2}} over {2} LEFT ( a-b RIGHT )] [eqn: LEFT ( BECAUSE `a>b RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `S`(a)= {pi } over {2} LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2}]

[eqn: {1} over {2} {bar{rm OM it}} = {sqrt {2}} over {4} LEFT ( a+b RIGHT )]

[eqn: THEREFORE T`(a)= {pi } over {8} LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2}]

[eqn: 4T`(a)-S`(a)][eqn: =2 pi ab]
[eqn: =2 pi a ln(a+1)]

따라서 [eqn: lim _{a` -> `0+} {{4T` LEFT ( a RIGHT ) -S` LEFT ( a RIGHT )} over {pi a ^{2}}} `= lim _{a` -> `0+} {{2ln LEFT ( a+1 RIGHT )} over {a}} =2]

22. [출제의도] 다항함수의 미분법 이해하기

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =8x-3]

따라서 [eqn: f` prime LEFT ( 6 RIGHT ) =45]

23. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기

[eqn: 2sin LEFT ( theta - {pi } over {3} RIGHT ) + sqrt {3} `cos theta]

[eqn: =2 LEFT ( sin theta `cos {pi } over {3} -cos theta `sin {pi } over {3} RIGHT ) + sqrt {3} `cos theta]

[eqn: =sin theta - sqrt {3} `cos theta + sqrt {3} `cos theta]

[eqn: =sin theta]

따라서 [eqn: p= {4} over {5}]이고 [eqn: 20`p=16]

24. [출제의도] 지수함수의 미분법 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =5e ^{x} + LEFT ( 5x+3 RIGHT ) e ^{x}]
[eqn: = LEFT ( 5x+8 RIGHT ) e ^{x}]

따라서 [eqn: a=5], [eqn: b=8]이고 [eqn: ab=40]

25. [출제의도] 함수의 연속성 이해하기

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` -> `3} {{x LEFT ( x ^{2} +a RIGHT )} over {x-3}} =b]

[eqn: lim _{x` -> `3} {LEFT ( x-3 RIGHT ) =0}]이므로 [eqn: lim _{x` -> `3} {`x LEFT ( x ^{2} +a RIGHT ) =0}]
[eqn: therefore a=`-9]

[eqn: lim _{x` -> `3} {{x LEFT ( x ^{2} -9 RIGHT )} over {x-3}} = lim _{x` -> `3} {{x LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )} over {x-3}}]

[eqn: = lim _{x` -> `3} {`x LEFT ( x+3 RIGHT )} `=18]

[eqn: therefore b=18]

따라서 [eqn: a+b=9]

26. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( na _{n} - {6n ^{2} +1} over {n+2} RIGHT )]이 수렴하므로
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( na _{n} - {6n ^{2} +1} over {n+2} RIGHT ) =0}]

[eqn: na _{n} - {6n ^{2} +1} over {n+2} =b _{n}]이라 하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`b _{n}} =0]

[eqn: a _{n} = {b _{n}} over {n} + {6n ^{2} +1} over {n LEFT ( n+2 RIGHT )}]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n}} = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { {b _{n}} over {n} + {6n ^{2} +1} over {n LEFT ( n+2 RIGHT )} RIGHT }} =6]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 2a _{n} RIGHT )} ^{2} =144]

27. [출제의도] 삼각함수의 그래프 추론하기

곡선 [eqn: y=4sin {1} over {4} LEFT ( x- pi RIGHT )]와 직선 [eqn: y=2]가

만나는 점을 구하면

[eqn: 4sin {1} over {4} LEFT ( x- pi RIGHT ) =2]에서

[eqn: - {pi } over {4} LEQ {x- pi } over {4} LEQ {9} over {4} pi]이므로

[eqn: {x- pi } over {4}]의 값은 [eqn: {pi } over {6}], [eqn: {5} over {6} pi], [eqn: {13`} over {6} pi]

[eqn: x= {5} over {3} pi] 또는 [eqn: x= {13} over {3} pi] 또는 [eqn: x= {29} over {3} pi]

그러므로 만나는 점은

[eqn: LEFT ( ` {5} over {3} pi ,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( ` {13} over {3} pi ,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( ` {29} over {3} pi ,``2 RIGHT )]

함수 [eqn: y=4sin {1} over {4} LEFT ( x- pi RIGHT )]의 치역이 [eqn: LEFT { y` LEFT ∣ -4 LEQ y LEQ 4 _{{} _{}} RIGHT } RIGHT .] 점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: y=2] 사이의 거리를 [eqn: h]라 하면

삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이 [eqn: S= {1} over {2} TIMES {bar{rm AB it}} TIMES h]에서

[eqn: {bar{rm AB it}}]의 최댓값은 [eqn: 8pi]이고 [eqn: 0<h LEQ 6]

[eqn: S]의 최댓값은 [eqn: {1} over {2} TIMES 8pi TIMES 6=24 pi]

따라서 [eqn: k=24]

28. [출제의도] 다항함수의 적분법을 활용하여 문제해결하기

시각 [eqn: t=6]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치가 원점이 되려면

[eqn: int _{0} ^{6} {v LEFT ( t RIGHT )} dt=0]이다.

[eqn: int _{0} ^{6} {v LEFT ( t RIGHT )} dt][eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT ( -3t ^{2} RIGHT )} dt+ int _{2} ^{6} {LEFT { a LEFT ( t-2 RIGHT ) -12 RIGHT }} dt]
[eqn: = LEFT [ -t ^{3} RIGHT ] _{0} ^{2} + LEFT [ {1} over {2} at ^{2} -2at-12t RIGHT ] _{2} ^{6}]
[eqn: =8a-56=0]

따라서 [eqn: a=7]

29. [출제의도] 삼각함수의 극한 문제해결하기

그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABD]의 내부의 반원의 중심을 [eqn: rmO _{1}], 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하고, 삼각형 [eqn: rm ADC]의 내부의 반원의 중심을 [eqn: rm O _{2}], 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하자.
두 반원이 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]와 접하는 점을 각각 [eqn: rmH _{1}], [eqn: rmH _{2}]라 하자.

[eqn: rmO _{1}]

[eqn: rm D]

[eqn: rm O _{2}]

[eqn: rmC]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: rm H _{1}]

[eqn: rm H _{2}]

[eqn: 2]

[eqn: theta]

[eqn: theta]

삼각형 [eqn: rm ADC]에서

[eqn: {bar{rm AH _{2} it}} = {bar{rm AD it}} =2sin theta], [eqn: {bar{rm CH _{2} it}} =2 LEFT ( 1-sin theta RIGHT )]이므로

[eqn: R=2`tan theta LEFT ( 1-sin theta RIGHT )]

[eqn: THEREFORE][eqn: T` LEFT ( theta RIGHT ) =2 pi LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} `tan ^{2} theta]

삼각형 [eqn: rmABD]에서

[eqn: {bar{rm AH _{1} it}} = {bar{rm AD it}} =2sin theta], [eqn: {bar{rm AB it}} =2`tan theta],

[eqn: {bar{rm BH _{1} it}} =2 LEFT ( tan theta -sin theta RIGHT )]

[eqn: ANGLE rm BO _{1} H _{1} it = theta]이므로

[eqn: r= {2 LEFT ( tan theta -sin theta RIGHT )} over {tan theta } =2 LEFT ( 1-cos theta RIGHT )]

[eqn: THEREFORE][eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) =2 pi LEFT ( 1-cos theta RIGHT ) ^{2}]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES T` LEFT ( theta RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {{2 pi LEFT ( 1-cos theta RIGHT ) ^{2}} over {theta ^{2} TIMES 2 pi LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} `tan ^{2} theta }}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {{LEFT ( 1-cos theta RIGHT ) ^{2} ` LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) ^{2}} over {theta ^{2} LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} `tan ^{2} theta ` LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) ^{2}}}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {LEFT { {sin ^{4} theta } over {theta ^{4}} TIMES {theta ^{2}} over {tan ^{2} theta } TIMES {1} over {LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} LEFT ( 1+cos theta RIGHT ) ^{2}} RIGHT }}]

[eqn: =1` TIMES `1` TIMES ` {1} over {4} = {1} over {4}]

따라서 [eqn: 60alpha=15]

30. [출제의도] 정적분 문제해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` -> `1-} {LEFT ( 3x ^{2} +ax+b RIGHT )} = lim _{x` -> `1+} {2x}]

[eqn: a+b=`-1]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) +g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( 3x ^{2} +ax+b RIGHT )} dx+ int _{1} ^{2} {2xdx}]
[eqn: = LEFT [ x ^{3} + {1} over {2} ax ^{2} +bx RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{2} `]
[eqn: =` {1} over {2} a+b+4= {7} over {2}]

[eqn: THEREFORE `a=`-1], [eqn: b=0]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = int _{t} ^{t+1} {f LEFT ( x RIGHT )} dx]에서

ⅰ) [eqn: t<0]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{t} ^{t+1} {LEFT ( 3x ^{2} -x RIGHT )} dx= LEFT [ x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{t} ^{t+1}]
[eqn: =3t ^{2} +2t+ {1} over {2}]

ⅱ) [eqn: 0 LEQ t<1]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{t} ^{1} {LEFT ( 3x ^{2} -x RIGHT )} dx+ int _{1} ^{t+1} {2x} dx]
[eqn: = LEFT [ x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{t} ^{1} + LEFT [ x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{t+1}]
[eqn: =`-t ^{3} + {3} over {2} t ^{2} +2t+ {1} over {2}]

ⅲ) [eqn: t GEQ 1]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = int _{t} ^{t+1} {2x} dx= LEFT [ x ^{2} RIGHT ] _{t} ^{t+1} =2t+1]

[eqn: therefore][eqn: `g LEFT ( t RIGHT ) = {cases{```````````````3t ^{2} +2t+ {1} over {2 _{{} _{}}} `````````````````&LEFT ( t<0 RIGHT ) _{{} _{}}#-t ^{3} + {3} over {2} t ^{2} +2t+ {1} over {2 _{{} _{}}} ``````&LEFT ( 0 LEQ t<1 RIGHT ) _{{} _{}}#``````````````````````````2t+1```````` ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} `` _{{} _{}} ``````````````````&LEFT ( t GEQ 1 RIGHT ) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}]
[eqn: g` prime LEFT ( t RIGHT ) = {cases{`````````````````6t+2 _{{} _{{} _{}}} ``````````````````&LEFT ( t<0 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}#`-3t ^{2} +3t+2``` ^{{} ^{}} ` _{{} _{{} _{}}} ```&LEFT ( 0<t<1 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{}}#`````````````````````````2 ^{{} ^{{} ^{}}} ` _{{} _{{} _{}}} ````````````````````````&LEFT ( t>1 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}}}]

[eqn: g` prime LEFT ( t RIGHT ) =0]인 [eqn: t]의 값은 [eqn: - {1} over {3}]이다.

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - {1} over {3}]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g` prime LEFT ( t RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=`- {1} over {3}]에서 최솟값을 가지므로

따라서 [eqn: g LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) = {1} over {6}]이고 [eqn: 120k=20]

[나 형]

1	④	2	①	3	③	4	②	5	⑤
6	④	7	②	8	⑤	9	③	10	④
11	①	12	①	13	⑤	14	②	15	①
16	④	17	⑤	18	③	19	③	20	③
21	②	22	45	23	15	24	20	25	9
26	8	27	216	28	26	29	300	30	30

1. [출제의도] 집합의 연산을 활용하여 계산하기

[eqn: A CUP B= LEFT { `1,``2,``3,``4 RIGHT }]이므로 모든 원소의 합은 [eqn: 10]

2. [출제의도] 로그의 성질을 활용하여 계산하기

[eqn: log` _{6} `2+log _{`6} `3=log _{`6} `6=1]

3. [가형 2번과 동일]

4. [출제의도] 등비중항 이해하기

[eqn: a _{2} TIMES a _{4} = LEFT ( a _{3} RIGHT ) ^{2} =64]

모든 항이 양수이므로 [eqn: a _{3} =8]

5. [출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기

유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x+2} +a]의 그래프의 점근선의

방정식은 [eqn: x=`-2], [eqn: y=3]이므로

[eqn: a=3], [eqn: b=`-2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a-b=5]

6. [출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( 2x+5 RIGHT ) dx}]

[eqn: =x ^{2} +5x+C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =C=1]
[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +5x+1]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =15]

7. [출제의도] 명제의 대우 이해하기

주어진 명제가 참이므로

대우 명제 ‘[eqn: x=3]이면 [eqn: x ^{2} -ax+9=0]이다.’가 참이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 9-3a+9=0]

따라서 [eqn: a=6]

8. [출제의도] 등비급수의 수렴과 발산 이해하기

등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {x-4} over {3} RIGHT ) ^{n}]이 수렴하려면

[eqn: -1< {x-4} over {3} <1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 1<x<7]

[eqn: 1<x<7]을 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]

따라서 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 5]

9. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x]가 [eqn: x=t ^{3} -4t ^{2} -3t+4]
일 때 시각 [eqn: t]에서 점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: v]라 하면
[eqn: v= {dx} over {dt} =3t ^{2} -8t-3]

점 [eqn: rmP]가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는
[eqn: 0]이므로

[eqn: 3t ^{2} -8t-3=0]

[eqn: LEFT ( 3t+1 RIGHT ) LEFT ( t-3 RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: t=3] ([eqn: BECAUSE `t>0])

10. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =4x+5]

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 4+h RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT )} over {3h}} = {1} over {3} f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =7]

11. [출제의도] 수열의 합 이해하기

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의

일반항 [eqn: a _{n} =2 ^{n-1}]이다.

[eqn: a _{2k-1} =2 ^{2k-2} =4 ^{k-1}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{2k-1} = sum _{k=1} ^{5} 4 ^{k-1} = {1 TIMES LEFT ( 4 ^{5} -1 RIGHT )} over {4-1} =341]

12. [출제의도] 지수를 활용하여 문제해결하기

두 비행기 [eqn: A], [eqn: B`]의 필요마력을 각각 [eqn: P _{it A rm}] , [eqn: P _{it B rm}]

날개의 넓이를 각각 [eqn: S _{A}] , [eqn: S _{B}]라 하자.

[eqn: P _{it A rm } = {1} over {150} it kC` it LEFT ( V _{A} RIGHT ) ^{3} it S _{it A}]이고, [eqn: S _{B} =3S _{A}]이므로

[eqn: P _{it B rm } = {1} over {150} it k it C` LEFT ( V _{B} RIGHT ) ^{3} it S _{B} = {1} over {150} kC` it LEFT ( it V _{B} RIGHT ) ^{3} LEFT ( 3S _{A} RIGHT ) it]

[eqn: P _{it B rm} = sqrt { 3} P _{it A rm}]이므로

[eqn: {P _{A}} over {P _{B}} = {1} over {sqrt {3}} = {LEFT ( V _{A} RIGHT ) ^{3} S _{A}} over {LEFT ( V _{B} RIGHT ) ^{3} LEFT ( 3S _{A} RIGHT )} = {1} over {3} LEFT ( {V _{A}} over {V _{B}} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT ( {V _{it A}} over {V _{it B}} RIGHT ) ^{3} =3 ^{{1} over {2}}]

따라서 [eqn: {V _{it A}} over {V _{it B}} =3 ^{{1} over {6}}]

13. [출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =3]

14. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `2-} {f LEFT ( x RIGHT ) =3}]

[eqn: 1-x=t]라 하면
[eqn: lim _{x` -> `2-} {f LEFT ( 1-x RIGHT )} = lim _{t` -> `-1+} {f LEFT ( t RIGHT )} =`-1]

따라서 [eqn: lim _{x` -> `2-} {f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( 1-x RIGHT )} =3 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) =`-3]

15. [출제의도] 무리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 함수 [eqn: y= sqrt {x+4} +1]의 그래프는
함수 [eqn: y= sqrt {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -4]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이고
두 점 [eqn: rm A LEFT ( `0,``3 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `-4,``1 RIGHT )]을 지난다.
직선 [eqn: y=`- {1} over {4} x]는 원점 [eqn: rm O]와 점 [eqn: rm B]를 지난다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -4]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: y= sqrt {x+4} +1]

[eqn: y=`- {1} over {4} x]

[eqn: THEREFORE] [eqn: TRIANGLE rm OAB= {1} over {2} TIMES 3 TIMES 4=6]

16. [출제의도] 수학적 귀납법을 활용하여 추론하기

(1) [eqn: n=2]일 때, (*)에서

(좌변)[eqn: =a _{1} + {1} over {1} + {1} over {2} =1+ {1} over {1} + {1} over {2} = {BOX{```` {5} over {2} ````}}]

(우변)[eqn: =2a _{2} =2 TIMES LEFT ( 1+ {1} over {4} RIGHT ) = {BOX{```` {5} over {2} ````}}]

(좌변)[eqn: =](우변)이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m] ([eqn: m GEQ 2])일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m-1} + sum _{i=1} ^{m} {1} over {i} =ma _{m}]

이다.

[eqn: n=m+1]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m} + sum _{i=1} ^{m+1} {1} over {i}]

[eqn: =a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{m-1} +a _{m} + sum _{i=1} ^{m} {1} over {i} + {1} over {m+1}]

[eqn: =ma _{m} +a _{m} + {1} over {m+1}]

[eqn: = {BOX{````` LEFT ( m+1 RIGHT ) _{`} ^{`} `````}} ` TIMES a _{m} + {1} over {m+1}]

[eqn: = LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT { a _{m+1} - {1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2}} RIGHT } + {1} over {m+1}]

[eqn: = LEFT ( m+1 RIGHT ) a _{m+1}]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(1), (2)에 의하여

[eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: p= {5} over {2}], [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) =m+1]

따라서 [eqn: p TIMES f LEFT ( 3 RIGHT ) =10]

17. [출제의도] 필요조건과 충분조건을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: p`:`a ^{2} +b ^{2} =0````` LRARROW `````][eqn: a=0`], [eqn: `b=0]
[eqn: q`:`a=b]
[eqn: THEREFORE] [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다. (참)

ㄴ. [eqn: p`:`ab<0````` LRARROW `````]([eqn: a>0], [eqn: b<0]) 또는
([eqn: a<0], [eqn: b>0])
[eqn: q`:`a<0] 또는 [eqn: b<0````` LRARROW `````]([eqn: a>0], [eqn: b<0]) 또는
([eqn: a<0], [eqn: b>0]) 또는 ([eqn: a<0], [eqn: b<0])
[eqn: THEREFORE] [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다. (참)

ㄷ. [eqn: p`:`a ^{3} -b ^{3} = LEFT ( a-b RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +ab+b ^{2} RIGHT ) =0]에서

[eqn: a-b=0] 또는 [eqn: a ^{2} +ab+b ^{2} =0]

[eqn: a=b]

[eqn: q`:`a ^{2} -b ^{2} = LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( a-b RIGHT ) =0]이므로

[eqn: a=b] 또는 [eqn: a=`-b]
[eqn: THEREFORE] [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. [출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n ^{2}]과 곡선 [eqn: y= sqrt {x+n}]이 만나는
두 점은 [eqn: LEFT ( `-n,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `n-1,`` sqrt {2n-1} RIGHT )]이므로

두 점 사이의 거리 [eqn: a _{n} = sqrt {4n ^{2} -2n}]이고

원의 지름의 길이 [eqn: b _{n} =2n]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( b _{n} -a _{n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 2n- sqrt {4n ^{2} -2n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{LEFT ( 2n- sqrt {4n ^{2} -2n} RIGHT ) LEFT ( 2n+ sqrt {4n ^{2} -2n} RIGHT )} over {2n+ sqrt {4n ^{2} -2n}}}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{2n} over {2n+ sqrt {4n ^{2} -2n}}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{2} over {2+ sqrt {4 - 2overn}} `= 1over2]

19. [출제의도] 역함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3+a], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =4+a]이고

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수가 존재하므로 일대일대응이다.
그러므로 [eqn: a=`-1]

역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =3], [eqn: g LEFT ( 3 RIGHT ) =4], [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =2]이므로

[eqn: g ^{3} LEFT ( x RIGHT ) =g ^{6} LEFT ( x RIGHT ) =g ^{9} LEFT ( x RIGHT ) =x]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: g ^{10} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( g ^{9} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )],

[eqn: g ^{11} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( g ^{10} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =g(g LEFT ( x RIGHT ) )=g ^{2} LEFT ( x RIGHT )]

따라서 [eqn: a+g ^{10} LEFT ( 2 RIGHT ) +g ^{11} LEFT ( 2 RIGHT ) =a+g LEFT ( 2 RIGHT ) +g ^{2} LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: =`-1+3+4=6]

20. [가형 18번과 동일]

21. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

주어진 그림을 꼭짓점 [eqn: rmB]를 원점으로, 직선 [eqn: rmBC]를 [eqn: x]축,
직선 [eqn: rmBA]를 [eqn: y]축으로 하는 좌표평면 위에 나타내면
다음과 같다.

[eqn: y=a LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: rm B]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm F]

[eqn: rm P]

[eqn: rm C]

[eqn: rm Q]

[eqn: 2]

직선 [eqn: rmAF]의 방정식은 [eqn: y=`- {1} over {2} x+4]

포물선 [eqn: y=a LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}] ([eqn: a>0])은 점 [eqn: rm A(`0,``4)]를 지나므로
[eqn: 4=a TIMES LEFT ( 0-2 RIGHT ) ^{2}], [eqn: a=1]

포물선 [eqn: y= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]과 직선 [eqn: y=`- {1} over {2} x+4]가
만나는 점의 [eqn: x]의 좌표는 [eqn: x=0], [eqn: x= 7 over2]

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t`` LEFT ( 0<t< {7} over {2} RIGHT )]라 하면
점 [eqn: rm P LEFT ( it `t,``- {1} over {2} it t+4 RIGHT )], 점 [eqn: rm Q LEFT ( ` it t,`` it LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} RIGHT )]이고
삼각형 [eqn: rm AQP]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]라 하면

[eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} TIMES t TIMES LEFT { - {1} over {2} t+4- LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} RIGHT } =`- {1} over {4} LEFT ( 2t ^{3} -7t ^{2} RIGHT )]

[eqn: S`` prime LEFT ( t RIGHT ) =`- {1} over {4} LEFT ( 6t ^{2} -14t RIGHT ) =`- {1} over {2} t LEFT ( 3t-7 RIGHT )]

[eqn: S`` prime LEFT ( t RIGHT ) =0]에서 [eqn: t=0] 또는 [eqn: t= 7 over3]

[eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: cdots]	[eqn: 7 over3]	[eqn: cdots]	[eqn: LEFT ( {7} over {2} RIGHT )]
[eqn: S`` prime LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]		↗	[eqn: S`` LEFT ( {7} over {3} RIGHT )]	↘

따라서 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t= 7 over 3]에서 극대이면서 최대이므로
[eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]의 최댓값은
[eqn: - {1} over {4} times LEFT { 2 TIMES LEFT ( {7} over {3} RIGHT ) ^{3} -7 TIMES LEFT ( {7} over {3} RIGHT ) ^{2} RIGHT } `= {343} over {108}]

22. [가형 22번과 동일]

23. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: a _{5} =S _{5} -S _{4} =55-40=15]

24. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `2} {{x ^{2} +x-6} over {sqrt {x+2} -2}}][eqn: = lim _{x` -> `2} {{LEFT ( x ^{2} +x-6 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+2} +2 RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {x+2} -2 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+2} +2 RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{x` -> `2} {{LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+2} +2 RIGHT )} over {x-2}}]

[eqn: = LEFT ( 2+3 RIGHT ) LEFT ( sqrt {2+2} +2 RIGHT )]

[eqn: =20]

25. [가형 25번과 동일]

26. [출제의도] 집합의 개념 이해하기

[eqn: X= LEFT { `2,``3,``4,``5,``6,``7,``8,``9,``a+1,``a+3,``a+5 RIGHT }]이므로

[eqn: n LEFT ( X` RIGHT ) =10]이 되기 위해서는

([eqn: a+3<2], [eqn: a+5 GEQ 2])
또는 ([eqn: a+1 LEQ 9], [eqn: a+3>9])

[eqn: THEREFORE] [eqn: -3 LEQ a<`-1] 또는 [eqn: 6<a LEQ8]

그러므로 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 7], [eqn: 8]

따라서 자연수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 8]

27. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 2 ^{a} =3 ^{b}]에서 양변에 [eqn: 2 ^{b}]을 곱하면

[eqn: 2 ^{a} times2 ^{b} =3 ^{b} times2 ^{b}]

[eqn: 2 ^{a+b} =6 ^{b}]

[eqn: a+b= {4} over {3} ab]이므로 [eqn: 2 ^{{4} over {3} ab} =6 ^{b}]

[eqn: 2 ^{{4} over {3} a} =6], [eqn: 2 ^{a} =6 ^{{3} over {4}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 8 ^{a} TIMES 3 ^{b} = LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{3} TIMES 2 ^{a} = LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{4} =216]

28. [출제의도] 등차수열을 활용하여 문제해결하기

주어진 이차방정식의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha_n] , [eqn: beta_n]
이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha _{n} + beta _{n} =a _{n} +a _{n+2} =2a _{n+1}] , [eqn: alpha_n beta_n =`-a_n+1]

[eqn: sum_n=1^10 {left( alpha_n +1 right) left(beta_n +1 right) }][eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( alpha _{n} beta _{n} + alpha _{n} + beta _{n} +1 RIGHT )]                         [eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( -a _{n+1} +2a _{n+1} +1 RIGHT )]
[eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( a _{n+1} +1 RIGHT ) =180]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{2} +a _{3} +a _{4} +` CDOTS `+a _{11} +10=180] [eqn: CDOTS CDOTS㉠]

[eqn: ㉠]의 양변에 [eqn: a_1 `]을 더하면
[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +` CDOTS `+a _{11} +10=a _{1} +180]
[eqn: {11 TIMES LEFT ( a _{1} +a _{11} RIGHT )} over {2} = {11 TIMES LEFT ( 6+a _{11} RIGHT )} over {2} =6+170]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{11} =26]

29. [출제의도] 수열의 합 추론하기

함수 [eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]의 그래프는 함수 [eqn: y= sqrt {x} `]의
그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -n ^{2}]만큼 평행이동한 것이고,
함수 [eqn: y=`- sqrt {x} +n]의 그래프는 함수 [eqn: y=`- sqrt {x} `]의
그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동한 것이므로
두 함수의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 내부
또는 그 경계는 <그림1>과 같다.

[eqn: -n ^{2}]

[eqn: n ^{2}]

[eqn: n]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y=`- sqrt {x} +n]

[eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]

[eqn: y]

<그림1>

[eqn: -n ^{2}]

[eqn: n ^{2}]

[eqn: n]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y=`- sqrt {x} +n]

[eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]

[eqn: y]

[eqn: ㉠]

[eqn: ㉡]

[eqn: ㉢]

<그림2>

이 때, 함수 [eqn: y=`- sqrt {x} `+n]의 그래프는
함수 [eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한
후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: n ^{2}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼
평행이동한 것이므로 <그림2>와 같이
함수 [eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인
영역 [eqn: ㉠]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는

함수 [eqn: y=`- sqrt {x} `+n]의 그래프와 두 직선 [eqn: x=n ^{2}],
[eqn: y=n`]으로 둘러싸인 영역 [eqn: ㉢]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가
모두 정수인 점의 개수와 같다.

그러므로 영역 [eqn: ㉠]과 영역 [eqn: ㉡]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가
모두 정수인 점의 개수는 영역 [eqn: ㉡]과 영역 [eqn: ㉢]의 [eqn: x]좌표와
[eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.

[eqn: x]축 위의 정수인 점은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: CDOTS], [eqn: n ^{2}] 이므로 [eqn: LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )]개

[eqn: y]축 위의 정수인 점은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: cdots], [eqn: n] 이므로 [eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )]개

[eqn: therefore] [eqn: a _{n} = LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( n +1 RIGHT ) =n ^{3} +n ^{2} +n+1]

따라서
[eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} = sum _{n=1} ^{5} LEFT ( n ^{3} +n ^{2} +n+1 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( {5 TIMES 6} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {5 TIMES 6 TIMES 11} over {6} RIGHT ) + LEFT ( {5 TIMES 6} over {2} RIGHT ) +5]

[eqn: =300]

[다른 풀이]

<그림1>에서 [eqn: y]의 값에 대한 점의 개수는 아래의
표와 같다.

[eqn: n]	[eqn: y=0]	[eqn: y=1]	[eqn: y=2]	[eqn: y=3]	[eqn: y=4]	[eqn: y=5]	합
[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 1]					[eqn: 4]
[eqn: 2]	[eqn: 9]	[eqn: 5]	[eqn: 1]				[eqn: 15]
[eqn: 3]	[eqn: 19]	[eqn: 13]	[eqn: 7]	[eqn: 1]			[eqn: 40]
[eqn: 4]	[eqn: 33]	[eqn: 25]	[eqn: 17]	[eqn: 9]	[eqn: 1]		[eqn: 85]
[eqn: 5]	[eqn: 51]	[eqn: 41]	[eqn: 31]	[eqn: 21]	[eqn: 11]	[eqn: 1]	[eqn: 156]

[eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} =4+15+40+85+156=300]

30. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

(가)에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0], [eqn: x=6]에서 불연속이므로

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값은 [eqn: 0], 극댓값은 [eqn: 6]이고

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

[eqn: 6]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

(나)에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```f LEFT ( x RIGHT ) _{{} _{`}} ````````` LEFT ( x<0,``x>6 RIGHT )#`2f LEFT ( x RIGHT ) ` _{{} _{`}} `````` LEFT ( x=0,``x=6 RIGHT )#`3f LEFT ( x RIGHT ) ``````` LEFT ( 0<x<6 RIGHT )}}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는 모든 실수에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` -> `0} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) g LEFT ( 0 RIGHT )}], [eqn: lim _{x` -> `6} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 6 RIGHT ) g LEFT ( 6 RIGHT )}]

그러므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =0]이다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은
<그림1> 또는 <그림2> 중 하나이다.

[eqn: y=ax LEFT ( x-6 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: 6]

[eqn: y]

[eqn: 6]

<그림1>

[eqn: y=ax ^{2} LEFT ( x-6 RIGHT )]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: 6]

[eqn: y]

[eqn: 6]

<그림2>

이때 (다)에서 [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) f LEFT ( 7 RIGHT ) <0]이므로
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 <그림2>와 같다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} LEFT ( x-6 RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3ax LEFT ( x-4 RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=4]이므로
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=4]에서 극댓값을 갖는다.

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =`-32a=6], [eqn: a=`- {3} over {16}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =`- {3} over {16} x ^{2} LEFT ( x-6 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( -4 RIGHT ) =`- {3} over {16} TIMES LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT ( -4-6 RIGHT ) =30]

[지구 과학Ⅰ]

1	④	2	②	3	④	4	⑤	5	⑤
6	①	7	④	8	②	9	⑤	10	⑤
11	①	12	②	13	③	14	①	15	②
16	④	17	②	18	③	19	③	20	④

1. [출제의도] 생명 가능 지대 이해하기

ㄱ. 중심별로부터 생명 가능 지대까지의 거리가 A보다 B에서 더 먼 것으로 보아 광도는 B가 A보다 크다. ㄴ, ㄷ. 생명 가능 지대는 액체 상태의 물이 존재할 수 있는 영역에 해당한다. ㉡은 중심별로부터의 거리가 생명 가능 지대보다 더 멀고 ㉢은 생명 가능 지대에 위치하므로 행성의 평균 표면 온도는 ㉢이 ㉡보다 높다.

2. [출제의도] 판 경계의 특징 이해하기

ㄱ. A는 해령으로 맨틀 대류의 상승부에 위치한다. ㄴ. A에서는 판이 생성되고 해구인 B에서는 판이 소멸되므로 A에서 B로 갈수록 해양 지각의 나이는 많아진다. ㄷ. 판의 경계에서는 지진이 많이 발생한다. B는 판의 수렴 경계이고 C는 판의 경계가 아니므로 지진은 B에서 더 활발하게 일어난다.

3. [출제의도] 지하 자원의 생성과 개발 과정 이해하기

ㄱ. 고령토는 금속의 성질을 띠지 않으므로 비금속 광물이다. ㄴ. 보크사이트는 고령토의 화학적 풍화에 의해 생성되므로 보크사이트 광상은 퇴적 광상에 해당한다. ㄷ. 보크사이트에서 금속인 알루미늄을 얻기 위해서는 제련 과정이 필요하다.

4. [출제의도] 친환경 에너지 이해하기

A는 풍력 발전 장비, B는 태양광 발전 장비이다. ㄱ. A는 바람에 의한 운동 에너지를 전기 에너지로 전환시킨다. ㄴ. B는 태양광을 이용하므로 밤에는 발전할 수 없다. ㄷ. A와 B는 재생 가능한 에너지인 바람과 태양광을 각각 이용한다.

5. [출제의도] 태풍의 진로 이해하기

ㄱ. A는 25°N을 통과할 때 무역풍의 영향을 받아 북서쪽으로 이동하였다. ㄴ. B가 30°N을 통과할 때 제주 지방은 태풍 진행 방향의 왼쪽에 위치했으므로 안전 반원에 속했다. ㄷ. (나)에서 풍향은 시계 방향(북동 → 남동 → 남서)으로 변했다. 태풍 진행 방향의 오른쪽에 위치한 지역에서는 풍향이 시계 방향으로 변하므로 (나)의 태풍은 A이다.

6. [출제의도] 사면의 안정도 이해하기

ㄱ. 안식각은 사면에서 구성 물질이 이동하지 않는 최대각을 의미하므로 B의 안식각이 가장 크고 C가 가장 작다. ㄴ. 모래가 물로 포화되면 모래 사이의 공극이 물로 채워져 마찰력이 감소하므로 안식각이 작아진다. ㄷ. (가)에서 모래의 양을 2배 늘려도 안식각은 변하지 않는다.

7. [출제의도] 용암의 종류에 따른 화산의 특징 이해하기

ㄱ. (가)는 (나)에 비해 화산체의 [eqn: LEFT ( {높이} over {너비} RIGHT )]가 크므로  경사가 더 급하다. ㄴ. (가) 화산체의 경사가 급한 것은 분출 당시 용암의 점성이 크고 유동성이 작기 때문이다. ㄷ. (가)는 (나)에 비하여 화산 분출물 중 용암이 차지하는 비율이 낮고 화산 가스와 화산 쇄설물의 비율이 높다.

8. [출제의도] 풍화 작용 이해하기

ㄱ. 나무 쐐기는 물에 불어 부피가 증가한다. ㄴ. 암석이 쪼개지면 물이나 공기와 접하는 표면적이 증가한다. ㄷ. 암석을 떼어 내는 과정에서 암석의 성분 변화가 없으므로 이 방법은 기계적 풍화 작용의 원리를 이용한 것이다.

9. [출제의도] 정체 전선의 특징 이해하기

ㄱ, ㄴ. A는 북쪽의 찬 기단과 남쪽의 따뜻한 기단이 만나 형성된 정체 전선이다. 정체 전선의 남쪽에 있던 따뜻한 공기가 전선 북쪽의 찬 공기 위로 상승하여 비구름을 형성하므로 강수량도 정체 전선인 A의 북쪽이 남쪽보다 많다. ㄷ. 전선의 남쪽에 있는 북태평양 기단의 세력이 강해지면 정체 전선은 북상하게 된다.

10. [출제의도] 아열대 순환 이해하기

ㄱ. A의 해류는 저위도에서 고위도로 흐르는 쿠로시오 해류이다. ㄴ. B의 해류는 편서풍에 의해 형성된 북태평양 해류로서 서에서 동으로 흐른다. ㄷ. C의 수온이 동일 위도에 위치한 A에 비해 낮고, C에서 아열대 순환의 방향이 고위도 → 저위도 방향이므로 C에 흐르는 해류는 한류이다.

11. [출제의도] 한반도의 지질 명소 이해하기

ㄱ. 해식 절벽은 파도 등에 의한 해수의 침식 작용으로 형성된 지형이다. ㄴ. (나)는 정단층으로 장력에 의하여 형성되었다. ㄷ. 주상 절리는 용암이 지표에서 급격히 식어 생성되었다.

12. [출제의도] 기층의 안정도와 대기 오염 이해하기

ㄱ. (가)는 한낮의 기온 분포로 태양 복사 에너지에 의해 지표가 가열되어 지표면 부근에서 기온이 가장 높고 고도가 높아질수록 기온이 하강한다. ㄴ. (나)는 새벽의 기온 분포로 상층이 하층보다 기온이 높아 기층이 안정하기 때문에 연직 방향으로 혼합이 잘 일어나지 않는다. ㄷ. 광화학 스모그는 자외선이 강한 낮에 잘 일어나므로 (가)일 때 잘 발생한다.

13. [출제의도] 엘니뇨와 라니냐 이해하기

ㄱ. 엘니뇨는 적도 부근 동태평양의 수온이 평상시 보다 높아지는 현상이므로 동태평양과 서태평양의 수온 차가 작은 A는 엘니뇨 시기이다. ㄴ. 동태평양에서의 용승은 평상시보다 엘니뇨 시기에 약하고 라니냐 시기에 강하다. ㄷ. 엘니뇨 시기에는 무역풍과 남적도 해류가 약하고, 동태평양과 서태평양의 수온차가 작으므로 동서 방향의 해수면 높이 차이는 라니냐 시기보다 작다.

14. [출제의도] 수질 오염 이해하기

ㄱ. BOD가 낮고 DO가 높을수록 수질이 좋은 물이다. ㄴ. 이 강의 하류로 갈수록 BOD가 높으므로 오염 물질의 농도가 높다. ㄷ. 이 강은 상류가 하류보다 BOD가 더 낮기 때문에 상류의 DO가 하류보다 높을 것이다.

15. [출제의도] 기후 변화의 외적 요인 이해하기

ㄱ. 우리나라는 지구가 A에 위치할 때 태양의 고도가 낮아 겨울철이고, B에 위치할 때 태양의 고도가 높아 여름철이다. ㄴ. 천구의 북극은 지구의 자전축을 연장하여 북쪽 하늘과 만나는 점이다. 따라서 세차 운동으로 지구의 자전축이 회전하면 13000년 후에는 천구의 북극 주변에 현재의 북극성이 위치하지 않게 된다. ㄷ. 13000년 후에 북반구는 지구가 근일점에 위치할 때 여름철이므로 현재보다 여름의 평균 기온이 높고, 원일점에 위치할 때 겨울철이므로 현재보다 겨울의 평균 기온이 낮다. 따라서 북반구에서 기온의 연교차는 13000년 후가 현재보다 더 클 것이다.

16. [출제의도] 천체의 위치와 관측되는 현상 이해하기

①, ② 달과 태양의 적경 차이가 12h이기 때문에 달의 위상은 망이며 자정에 남중한다. ③ 태양은 적경이 6h인 하지점에 있으므로 이날은 밤의 길이가 낮의 길이보다 짧다. ④ 태양의 적위가 달보다 크므로 남중 고도는 태양이 달보다 높다. ⑤ 처녀자리는 적경이 약 13h ~ 14h이므로 자정 무렵 서쪽 하늘에서 관측된다.

17. [출제의도] 일주 운동과 지구의 자전 이해하기

ㄱ. 천구 북극의 고도가 30°이므로 이 지역의 위도는 30°N이다. ㄴ. 카펠라는 적위선을 따라 일주 운동을 하여 몇 시간 후 지므로 출몰성이다. ㄷ. 북두칠성은 시계 반대 방향으로 일주 운동하므로 1시간 후 고도는 현재보다 높다.

18. [출제의도] 우주관 이해하기

(가)는 프톨레마이오스의 지구 중심설, (나)는 태양 중심설이다. ㄱ. (가)에서는 주전원을 도입하여 금성의 역행 현상을 설명하였다. ㄴ. (나)에서 내행성인 금성은 태양으로부터 일정한 각도를 벗어나지 않게 되므로 저녁이나 새벽에만 관측할 수 있다. ㄷ. (가)에서는 금성의 주전원 중심이 항상 지구와 태양을 잇는 직선상에 위치하므로 보름달에 가까운 위상을 설명하지 못한다.

19. [출제의도] 케플러 법칙 이해하기

ㄱ. A, B는 태양과의 거리가 시간에 따라 변하므로 두 행성의 공전 궤도는 모두 타원이다. ㄴ. 케플러 제3법칙에 따르면 공전 궤도 장반경이 큰 A의 공전 주기가 B보다 더 길다. ㄷ. A와 태양과의 거리는 ㉠ 시기가 ㉡ 시기보다 멀기 때문에 공전 속도는 ㉠ 시기가 더 느리다.

20. [출제의도] 태양의 활동 이해하기

ㄱ. (가)는 태양의 활동이 약한 흑점 수의 극소기에 촬영한 사진이다. ㄴ. A는 흑점 주변에서 나타나는 폭발로 고에너지 입자가 방출되어 밝게 보인다. ㄷ. 지구에서 오로라는 흑점 수의 극대기인 (나) 시기에 활발하게 발생한다.