2016학년도 수시모집 논술전형 논술고사 출제 영역 및 모범답안

시험유형	인문․사회계	자연계	의학계
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1. 출제의도 및 문제해설

[출제의도]

2016학년도 수시모집 자연계 논술전형 문항은 수학적 기초지식, 문제해결 능력, 계산능력을 측정할 뿐만 아니라, 개념의 확실한 이해정도를 평가하고 새로운 문제에 대하여도 개념과 지식을 확대 적용하여 응용하는 능력을 측정하고, 또한 이 과정에서 제시된 조건들로부터 논리적인 분석 및 추론을 통하여 주어진 문제를 해결할 수 있는 통합적 사고능력을 평가하고자 하였다.

[문제해설]

본 문항은 고등학교 교육과정의 내분점의 정의, 수열, 미분, 삼각함수, 수열의 극한, 함수의 극한, 공간좌표, 벡터의 내적 등에 관한 단원과 연계하여 출제하였으며 문항별 분석은 다음과 같다.

[문항 1]

본 문항은 고등학교 교육과정의 내분점의 정의, 함수의 극한, 미분 등에 관한 단원과 연계하여 출제하였으며 문항별 분석은 다음과 같다.

[1-1]

제시문(나)에 기술된 좌표평면 위의 두 점을 잇는 선분의 내분점의 좌표를 이용하여 아래로 볼록한 함수의 그래프의 개념을 설명하는 제시문(가)를 부등식으로 구체적이고 엄밀하게 표현할 수 있는지를 평가한다.

[1-2]

아래로 볼록한 함수가 만족시키는 문제 1-1의 부등식과 세 점 사이의 평균변화율의 관계, 그리고 제시문(다)로부터 도출되는 부등식을 논리적으로 증명해내는 능력을 평가한다. 이 부등식으로부터 미분가능하고 아래로 볼록한 함수의 최솟값을 구하는 하나의 방법으로 제시될 수 있다.

[문항 2]

본 문항은 고등학교 교육과정중 수열과 점화관계에 대한 문항이며, 그 중 패턴이나 규칙성의 개념을 자연 현상에 적용하는 모델링을 제시하고, 주어진 모델에서 나타나는 패턴이나 규칙성을 타당하게 추론하여 그 결과를 귀납적으로 표현할 수 있는 능력을 알아보고자 하였다.

[2-1]

제시문에서 주어진 모델에서 나타나는 규칙성을 타당하게 추론하고, 구체적으로 주어진 항에 대한 값을 규칙성을 반복 이용하여 구할 수 있는지를 평가한다.

[2-2]

문항 [2-1]에서 추론한 규칙성을 이용하여 규칙성에서 나타난 2개의 수열 사이의 관계를 이해하고, 두 수열의 관계를 표현할 수 있는지를 평가한다.

[문항 3]

본 문항은 고등학교 교육과정의 공간좌표, 벡터의 내적, 삼각함수 등에 관한 단원과 연계하여 출제하였으며 문항별 분석은 다음과 같다.

[3-1]

공간좌표에 대한 이해를 바탕으로 제시문 (나)에서 제시한 구 위의 두 점 사이의 사이각의 정의를 이해하고 문제에서 제시한 상황에 맞는 점을 구할 수 있는 능력을 평가한다.

[3-2]

본 문항에서는 좌표축을 중심으로 회전하는 운동의 매개변수 방정식을 구하고 제시문 (가)에서 제시한 내적의 정의로부터 사이각의 기하학적 의미를 파악하고 그 크기를 구하는 방법을 이해하고, 삼각함수 방정식을 풀이하여 문제를 해결할 수 있는 능력을 평가한다.

2. 종합평가기준

문항	문항정보 필수항목
	교과 목명	평가 영역	평가내용	적용교육과정	난이도	배점
1-1	수학Ⅱ	도함수의 활용	볼록함수의 성질을 증명하기	07개정 교육과정	하	10
	수학	직선의 내분점
1-2	수학Ⅱ	도함수의 활용	볼록함수의 성질을 증명하기	07개정 교육과정	중	20
2-1	수학Ⅰ	수열	규칙성을 이용한 수열의 항 계산하기	07개정 교육과정	중	15
2-2	수학Ⅰ	수열	규칙성을 이용한 수열의 점화관계 추론하기	07개정 교육과정	중	20
3-1	기하와벡터	벡터	제시문을 이용하여 구면상의 좌표를 구하기	07개정 교육과정	하	10
3-2	기하와벡터	벡터	벡터의 내적을 이용하여 조건에 따른 코사인 값 계산하기	07개정 교육과정	상	25

모 범 답 안

【문항 1】

1-1.

(i) [eqn: t=0],1 일 때, [eqn: f(p) le f(p)], [eqn: f(q) le f(q)]이므로 성립한다.

(ii) [eqn: 0<t < 1] 일 때, 편의상 임의의 두 점 [eqn: p,`q] 가 [eqn: p<q] 라고 하자.

제시문(나) (좌표평면에서의 내분점의 관계)에 의하여 좌표평면 위의 두 점 [eqn: (p,`f(p))], [eqn: (q,`f(q))]를 잇는 선분을 [eqn: t : 1-t] 로 내분하는 점의 좌표는 [eqn: ((1-t)p + tq,`` (1-t)f(p)+ tf(q))]  이다.

따라서 제시문(가) (또는 아래로 볼록하다는 정의 또는 개념)에 의하여

[eqn: f((1-t)p+ tq) le (1-t)f(p)+ tf(q)]

가 성립한다.

1-2.

[eqn: p,`q]가 임의의 두 점이므로 [eqn: p<q]라고 가정하자. 그리고 [eqn: g(x)={f(x)-f(p)} over {x-p}] 라 하자.

먼저 [eqn: x ne p]인 임의의 [eqn: x in (a,`q)]에 대하여

[eqn: g(x)={f(x)-f(p)} over {x-p} le {f(q)-f(p)} over q-p}]              (식1)

임을 보이자.

(i) [eqn: p <x <q] 일 때, [eqn: g(x) le {f(q)-f(p)} over q-p}] 가 성립함을 보이자.

[eqn: t={x-p} over {q-p}] 라 하면 [eqn: 0<t={x-p} over {q-p} <1], [eqn: 0< 1- {x-p} over {q-p} <1]

이고 문제1.1의 부등식에 의하여

[eqn: f(x) LEQ left( 1- {x-p} over {q-p} RIGHT )f(p)+ left( {x-p} over {q-p} RIGHT ) f(q) = f(p) + (x-p) {f(q)-f(p)} over{q-p}]

이다. 따라서 [eqn: x-p >0] 이므로 [eqn: g(x) le {f(q)-f(p)} over q-p}] 이다.

(ii) [eqn: a<x<p] 일 때, [eqn: g(x) le {f(q)-f(p)} over q-p}] 또한 성립함을 보이자.

[eqn: x <p <q]에 대하여 [eqn: t={p-x} over {q-x}] 라 하면 [eqn: 0<t<1]이고 (i)과 같은 계산과정을 반복하면,

[eqn: {f(p)-f(x)} over {p-x} le {f(q)-f(p)} over q-p}]  이 성립되어 [eqn: g(x) le {f(q)-f(p)} over q-p}] 이다.

(i) (ii)에 의해 (식1)이 성립한다.

함수 [eqn: f(x)]가 열린구간 [eqn: (a,`b)]에서 미분가능함으로 제시문(다)와 (식1)에 의하여 극한값

[eqn: lim _{ x->p} {g(x)} = f'(p) le {f(q)-f(p)} over q-p}]  이다.

그러므로 [eqn: f(q) ge f(p) + f'(p)(q-p)]  가 성립한다.

【문항 2】

2-1.

[eqn: A _{1} =1`]이고, [[eqn: n`]단계]의 세포 가 [규칙 1]에 의하여

[eqn: a```]

[[eqn: n+1`]단계]에서 그 개수가 3배로 분열되므로 [eqn: A _{n} =3 ^{n-1} `]이다.

또, [eqn: B _{n+1} `]을 구하기 위해

[[eqn: n+1`]단계]에서의

① 세포  는

[eqn: b```]

[[eqn: n`]단계]에서의  가 성장하여 새롭게 나타나는  와 …………

[eqn: a```]

[eqn: b```]

가 성장하여 새롭게 나타나는   ……………

[eqn: c```]

[eqn: b```]

② 세포  는

[eqn: c```]

[[eqn: n`]단계]에서의  가 바뀌어 나타나는  …………………………

[eqn: b```]

[eqn: c```]

③ 세포  는

[eqn: bold{d} ```]

[[eqn: n`]단계]에서의  가 성장하여 새롭게 나타나는  와 …………

[eqn: c```]

[eqn: bold{d} ```]

가 바뀌지 않고 그대로 있는  ………………

[eqn: bold{d} ```]

[eqn: bold{d} ```]

이므로 [eqn: B _{n+1} =`][eqn: +][eqn: +][eqn: +][eqn: +] 이다.

[eqn: =] [eqn: 2A _{n} `], [eqn: +][eqn: +] [eqn: =] [eqn: B _{n} `]이고,  [eqn: =] [[eqn: n-1`]단계]에서의  의 개수 [eqn: =] [eqn: B _{n-1} -B _{n-2} `] 이므로

[eqn: b```]

[eqn: B _{n+1} =B _{n} +2A _{n} +B _{n-1} -B _{n-2} `][eqn: (n` GEQ `3)] ………… (*)

임을 알 수 있다.

따라서 [eqn: B _{1} =0,`B _{2} =2,`B _{3} =8`]을 식 (*)에 차례로 적용하여 구하면

[eqn: B _{6} =270`]이다.

2-2.

[eqn: 2A _{n} =B _{n+1} -B _{n} -B _{n-1} +B _{n-2} `][eqn: (n` GEQ `3)]에서 [eqn: n`]이 짝수일 때의 관계식을 구하기 위해

[방법 1]

[eqn: n=2k-1`]([eqn: k`]는 자연수)일 때

[eqn: 2A _{2k-1} & =B _{2k} -B _{2k-1} -B _{2k-2} +B _{2k-3} `]이고 [eqn: 2A _{1}&=B _{2} -B _{1}]이므로

[eqn: k`]에 차례로 [eqn: 2,`3,`4,` CDOTS ,`k`]를 대입하면

[eqn: {cases{~2A _{2k-1}&=B _{2k} -B _{2k-1} -B _{2k-2} +B _{2k-3}#~2A _{2k-3}&=B _{2k-2} -B _{2k-3} -B _{2k-4} +B _{2k-5}#~&~~~~ VDOTS ~~~~~~~~#~2A _{3}&=B _{4} -B _{3} -B _{2} +B _{1}}}]

⇒ [eqn: B _{2k} =B _{2k-1} +2A _{2k-1} +2A _{2k-3} +` CDOTS `+2A _{1} `] ……… (**) 이다.

[eqn: A _{n} =3 ^{n-1} `]이므로 식 (**)에 대입하여 정리하면

[eqn: B _{2k} &=B _{2k-1} +2(3 ^{2k-2} +3 ^{2k-4} +` CDOTS `+3 ^{2} +1)#&=B _{2k-1} + {1} over {4} (3 ^{2k} -1)`]

이고,

같은 방법으로 [eqn: n=2k`]([eqn: k`]는 자연수)일 때는

[eqn: B _{2k+1} =B _{2k} + {3} over {4} (3 ^{2k} -1)`]이다.

[방법 2]

[eqn: n=2k`]([eqn: k`]는 자연수)일 때

[eqn: 2A _{2k}&=B _{2k+1} -B _{2k} -B _{2k-1} +B _{2k-2}`]이고 [eqn: 2A _{2} & =B _{3} -B _{2}]이므로

[eqn: k`]에 차례로 [eqn: 2,`3,` CDOTS ,`k`]를 대입하면

[eqn: {cases{~2A _{2k}&=B _{2k+1} -B _{2k} -B _{2k-1} +B _{2k-2}#~2A _{2k-2}&=B _{2k-1} -B _{2k-2} -B _{2k-3} +B _{2k-4}#~&~~~~ VDOTS ~~~~~~~~#~2A _{4}&=B _{5} -B _{4} -B _{3} +B _{2}}}]

⇒ [eqn: B _{2k+1} =B _{2k} +2A _{2k} +2A _{2k-2} +` CDOTS `+2A _{2} `] ……… (**) 이다.

[eqn: A _{n} =3 ^{n-1} `]이므로 식 (**)에 대입하여 정리하면

[eqn: B _{2k+1} &=B _{2k} +2(3 ^{2k-1} +3 ^{2k-3} +` CDOTS `+3 ^{3} +3)#&=B _{2k} + {3} over {4} (3 ^{2k} -1)`]

이고,

같은 방법으로 [eqn: n=2k-1`]([eqn: k`]는 자연수)일 때는

[eqn: B _{2k} =B _{2k-1} + {1} over {4} (3 ^{2k} -1)`]이다.

[방법 1] 또는 [방법 2]에 의하여

그러므로

[eqn: B _{2k+2} & =B _{2k+1} + {1} over {4} (3 ^{2k+2} -1)## & = LEFT ( B _{2k} + {3} over {4} (3 ^{2k} -1) RIGHT ) + {1} over {4} (3 ^{2k+2} -1)## & =B _{2k} +9`․`3 ^{2k-1} -1`]

이다. 따라서 [eqn: B _{n+2} =B _{n} +9A _{n} -1`]이다.

∴ [eqn: p=1,`q=9,`r=-1`]

【문항 3】

3-1.

원점이 중심이고 반지름이 1인 구를 [eqn: S]라 하자.

구 위의 임의의 점을 [eqn: rm P _{} it (x _{} ,``y _{} ,``z)]라 놓고, 제시문 (나)에 의해 두 점 [eqn: rmN], [eqn: rm P]사이의 사이각이 [eqn: {pi } over {4}]이므로  [eqn: vec {rm ON}]과 [eqn: rm vec { OP}] 내적하면 [eqn: rm vec{OP} BULLET vec{ON} `=`| vec{OP} || vec{ON} |cos LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )] 이고, [eqn: rm | vec{OP} |=| vec{ON} |=1]이므로, [eqn: z _{} = {1} over {sqrt {2}}]이다.       점 [eqn: rm P _{0}`]는 구 [eqn: S] 를 평면 [eqn: z= {1} over {sqrt {2}}]으로 절단하여 평면 [eqn: z= {1} over {sqrt {2}}] 위에 놓인 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} = {1} over {2}]에서 [eqn: x]좌표가 큰 점이다.   따라서 [eqn: rm P_0]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {sqrt {2}} ,`0,` {1} over {sqrt {2}} RIGHT )]이다.

위와 같은 방법으로 점 [eqn: rm Q _{0}]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {1} over {sqrt {2}}]이다.

점 [eqn: rm Q _{0}]는 평면 [eqn: x= {1} over {sqrt {2}}] 위의 놓인 원 [eqn: y ^{2} +z ^{2} = {1} over {2}]에서 [eqn: y]좌표가 가장 큰 점이므로

[eqn: rmQ _{0} = LEFT ( {1} over {sqrt {2}} ,`` {1} over {sqrt {2}} ,`0 RIGHT )]이다.

3-2.

점 [eqn: rmP]는 [eqn: rm P_0LEFT ( {1} over {sqrt {2}} ,`0,` {1} over {sqrt {2}} RIGHT )]에서 [eqn: z] 축을 회전축으로 하여 [eqn: y]좌표가 증가하는 방향으로 일정한 각속도 [eqn: omega](양수인 상수)로 한 바퀴 회전하므로 시각 [eqn: t]에서의 위치는

[eqn: rm P({itt})= LEFT ( {1} over {sqrt {2}} cos( omega {itt}),` {1} over {sqrt {2}} sin( omega {itt}),` {1} over {sqrt {2}} RIGHT )]이다.  (단, [eqn: rm P(0)=P_0])

점 [eqn: rm Q]는 [eqn: rm Q _{0} LEFT ( {1} over {sqrt {2}} ,`` {1} over {sqrt {2}} ,`0 RIGHT )]에서  [eqn: x] 축을 회전축으로 하여 [eqn: z]좌표가 증가하는 방향으로 각속도 [eqn: omega]로 한 바퀴 회전하므로 시각 [eqn: t]에서의 위치는

[eqn: rm Q({itt})= LEFT ( {1} over {sqrt {2}} ,` {1} over {sqrt {2}} cos ( omega {itt}),` {1} over {sqrt {2}} sin ( omega {itt}) RIGHT )]이다. (단, [eqn: rm Q(0)=Q _{0}])

움직이고 있는 두 점 [eqn: {rm P}(t)], [eqn: {rm Q}(t)]의 사이각을 [eqn: 0LEQtheta(t) LEQpi]라 하자.

[eqn: cos `x]는 구간 [eqn: 0 LEQ `x` LEQ pi]에서 감소함수이므로 사이각 [eqn: theta (t)]의 크기의 최솟값 [eqn: alpha]에 대한 [eqn: cos alpha]을 구하기 위해 [eqn: cos( theta (t))]의 최댓값을 구하면 된다.

[eqn: rm vec{OP( it t rm )} BULLET vec{OQ( it t rm )} =| vec{OP( it t rm )} || vec{OQ( it t rm )} |cos( theta (t))=cos( theta (t))]이고,  [eqn: rm |vec { OP({itt})}|=|vec { OQ({itt})}|=1] 이므로

[eqn: cos( theta (t))= rm vec{OP( it t rm )} BULLET vec{OQ( it t rm )} it = {1} over {2} (cos( omega t)+sin( omega t)cos( omega t)+sin( omega t))]의 최댓값을 구하자.

[eqn: cos( omega t)+sin( omega t)=s]라 놓으면, [eqn: - sqrt {2} LEQ s LEQ sqrt {2}]이고 [eqn: cos( omega t)sin( omega t)= {s ^{2} -1} over {2}]이다.

구간 [eqn: - sqrt {2} LEQ s LEQ sqrt {2}]에서 [eqn: { 1} over {2 } LEFT ( s+ { s^2 -1} over { 2} RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: {1+2 sqrt {2}} over {4}]이므로

구하는 [eqn: cos alpha = {1+2 sqrt {2}} over {4}]이다.