	2016학년도 부산대학교 수시모집 논술전형 논 술 고 사(자연계) 문 제 지
	지원학과(학부)					수험번호				성 명
	【유의사항】 1. 시험시간은 100분입니다. 2. 답안은 답안지의 해당 문항 번호에 연필 또는 샤프로 작성하시오. 3. 답안을 수정할 때는 지우개를 사용하시오. 4. 문항 번호를 쓰고, 답을 작성하시오. 5. 학교명, 성명 등 자신의 신상에 관련된 사항은 답안에 드러내지 마시오. 6. 답안 연습은 연습지를 활용하시오. 7. 답안지, 연습지 및 문제지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.

※ 각 【문항】의 제시문을 이용하여 문제에 답하시오.

※ 모든 서술과정의 각 단계에서 근거와 이유를 명확히 밝히시오.

【문항 1】

[제시문]

(가) 열린 구간 [eqn: (a`,`b)`]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프 위에 있는 임의의 두 점 [eqn: rmP,`Q`]에 대하여 [eqn: RMP,`Q`]사이에 있는 그래프 부분이 선분 [eqn: rmPQ`]보다 아래쪽에 있으면 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 구간 [eqn: (a`,`b)]에서 아래로 볼록하다고 한다.

(나) 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm P( it x _{1} `,``y _{1} )], [eqn: rm Q( it x _{2} `,``y _{2} )]를 잇는 선분 [eqn: rmPQ]를 [eqn: m:n`(m>0,`n>0)]으로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: left( {mx_2 + n x_1} over{m+n}, ``{my_2 + n y_1} over{m+n} right)]

이다.

(다) 두 함수 [eqn: f(x),``g(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x` ->`` a}` {f(x)}`=alpha], [eqn: lim _{x `->`` a}` {g(x)}`= beta] ([eqn: alpha ,`` beta]는 실수)이고, [eqn: a]를 포함하는 열린구간 내의 모든 [eqn: x`]에서 [eqn: f(x) le g(x)]이면 [eqn: alpha le beta``]이다.

[문제] 열린 구간 [eqn: (a,`b)]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 아래로 볼록하다고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

1-1. 구간 [eqn: (a,`b)`]에 속하는 임의의 [eqn: p`,``q``]와 [eqn: 0 LEQ t LEQ 1`]인 임의의 [eqn: t`]에 대하여 부등식

[eqn: f((1-t)`p+t`q) LEQ (1-t)`f(p)+t`f(q)]

가 성립함을 보이시오. (10점)

1-2. 함수 [eqn: f(x)]가 구간 [eqn: (a`,`b)]에서 미분가능하다고 할 때, 이 구간에 속하는 임의의 [eqn: p`,`q`]에 대하여 부등식

[eqn: f(q) GEQ f(p)+f` prime (p)`(q-p)]

가 성립함을 보이시오. (20점)

(뒷면에 계속)

【문항 2】

[제시문]

생물 세포의 성장을 모방하여 성장모델을 다음과 같은 방법으로 만들었다.

성장모델에서 각각의 세포는 매 단계마다 아래의 규칙들을 따라 분열하거나 바뀐다.

아래 규칙에서 , , ,  는 각각 한 개의 세포를 나타낸다.

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: bold d]

[규칙 1] 세포 는 <그림 1> 과 같이 5개의 세포 , , , , 로 분열한다. [eqn: a] [eqn: a] [eqn: a] [eqn: a] [eqn: b] [eqn: b] [규칙 2] 세포 는 <그림 2> 와 같이 세포 로 바뀐다. [eqn: b] [eqn: c] [규칙 3] 세포 는 <그림 3> 과 같이 2개의 세포 , 로 분열한다. [eqn: c] [eqn: b] [eqn: bold d] [규칙 4] 세포 는 <그림 4> 와 같이 더 이상 분열하지도, 바뀌지도 않는다. [eqn: bold d]
	→ [eqn: a] [eqn: a] [eqn: b] [eqn: a] [eqn: a] [eqn: b]	→ [eqn: b] [eqn: c]	→ [eqn: c] [eqn: bold d] [eqn: b]	→ [eqn: bold d] [eqn: bold d]
	<그림 1>	<그림 2>	<그림 3>	<그림 4>

다음은 세포  의 성장과정을 규칙에 따라 [1단계]에서 [4단계]까지 나타낸 것이다.

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: c]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[1단계]                   [2단계]                         [3단계]

[eqn: c]

[eqn: c]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: c]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: c]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: bold d]

[eqn: b]

[eqn: bold d]

[eqn: b]

[4단계]

[문제] [eqn: 1`]개의 세포  로부터 시작한 성장모델의 [[eqn: n`]단계]에서 나타나는  의 개수를 [eqn: A `_{n} `]이라 하고,  의 개수와  의 개수,  의 개수의 합을 [eqn: B `_{n} `]이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: bold d]

2-1. [eqn: B `_{6}] 의 값을 구하시오. (15점)

2-2. [eqn: B` _{n+2} =p`B _{n} +q`A _{n} +`r`] [eqn: (`n`은`~짝수)`]일 때, 상수 [eqn: p`,``q`,``r`]의 값을 구하시오. (20점)

(다음 장에 계속)

【문항 3】

[제시문]

(가) 두 벡터 [eqn: vec{a} = LEFT ( `a _{1} `,``a _{2} `,``a _{3} ` RIGHT )]과 [eqn: vec{b} `= LEFT ( `b _{1} `,``b _{2} `,``b _{3} ` RIGHT )]이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta `] ([eqn: `0 LEQ theta LEQ pi `]) 라고 할 때,

[eqn: vec{a} BULLET vec{b} `=`a _{1} `b _{1} +`a _{2} ``b _{2`} +``a _{3} ``b _{3} =`| vec{a} |``| vec{b} |``cos` theta]

이다.

(나) 좌표공간에서 원점 [eqn: rm O it (0,`0,`0)]이 중심인 구 위의 임의의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 두 벡터 [eqn: rm{vec{OA}}], [eqn: rmvec{OB}]가

이루는 각을 두 점 [eqn: rm A]와 [eqn: rmB]의 사이각이라고 하자.

3-

[문제] 좌표공간에서 원점 [eqn: rm O]가 중심이고 반지름이 1인 구 위의 두 점 [eqn: rm N(`0,`0,`1`)]과 [eqn: rm E(`1,`0,`0`)]에 대하여, 점 [eqn: rm N`]과의 사이각이 [eqn: {pi } over {4}]인 구 위의 점들 중에서 [eqn: x`]좌표가 가장 큰 점을 [eqn: rm P _{0}`]이라고 하고, 점 [eqn: rm E]와의 사이각이 [eqn: {pi } over {4}]인 구 위의 점들 중에서 [eqn: y`]좌표가 가장 큰 점을 [eqn: rm Q _{0}`]이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

3-1. 두 점 [eqn: rm P _{0}`]과 [eqn: rm Q _{0} `]의 좌표를 각각 구하시오. (10점)

3-2. 점 [eqn: rmP]는 [eqn: rm P_0`]에서 출발하여 [eqn: z] 축을 회전축으로 하여 일정한 각속도 [eqn: omega] ([eqn: omega>0])로 한 바퀴 회전하고, 점 [eqn: rmQ]는 [eqn: rm Q_0]에서 출발하여 [eqn: x]축을 회전축으로 하여 점 [eqn: rmP]와 같은 각속도로 한 바퀴 회전한다. 움직이고 있는 두 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]의 사이각의 크기의 최솟값을 [eqn: `alpha]라 할 때, [eqn: cos` alpha]의 값을 구하시오. ( 단, [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]는 동시에 출발하고, 점 [eqn: rm P]는 출발할 때 [eqn: y``]좌표가 증가하는 방향으로, 점 [eqn: rmQ]는 출발할 때 [eqn: z``]좌표가 증가하는 방향으로 움직인다.) (25점)

* 주의사항 : 문제지, 연습지, 답안지에 필요한 인적사항을 기입하였는지 확인하시오.