◦  문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

2008학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수 리 영 역

성명			수험번호						2

수 리 영 역

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수 리 영 역

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◦  답안지에 수험 번호 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦  단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦  계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

◦  이 문제지에는 아래의 예와 같이 국립국어연구원의 ‘한글 맞춤법’에 의한 사이시옷 표기법을 사용하였습니다.

(예) 최댓값(종전 표기: 최대값), 꼭짓점(종전 표기: 꼭지점)

1. [eqn: {root2 -1} over {root2 +1} + {root2 +1} over {root2 -1}``]의 값은? [2점]

8

로그인/회원가입 필요 없는 무료 학습자료 사이트

레전드스터디 닷컴!

http://LegendStudy.com

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 2( sqrt {2} +1)`]

④ [eqn: 4 sqrt {2} ``]	⑤ [eqn: 6``]

2. 이차방정식 [eqn: x^2`-3x`+`5`=`0`]의 두 근을 [eqn: alpha``], [eqn: beta``]라 할 때, [eqn: (alpha-beta)^2 ``]의 값은? [2점]

① [eqn: -11``]	② [eqn: -9``]	③ [eqn: -7``]

④ [eqn: -5``]	⑤ [eqn: -3``]

3. 다음 중 삼차방정식 [eqn: x^3 -7x^2 +5x+1=0``]의 근은? [2점]

① [eqn: 1- sqrt {10} ``]	② [eqn: 2- sqrt {10} ``]	③ [eqn: -1``]

④ [eqn: 3- sqrt {10} ``]	⑤ [eqn: 2``]

4. [eqn: sin` theta `-`cos` theta `=` {1} over {2} ``]일 때, [eqn: sec `theta`` cosec `theta``]의 값은? [3점]

① [eqn: {8} over {5} ``]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: {8} over {3} ``]

④ [eqn: `4]	⑤ [eqn: 8`]

5. 두 집합 [eqn: X`,`Y``]에 대하여 연산 [eqn: TRIANGLE ``]를

[eqn: X` TRIANGLE Y`=`(X-Y`) CUP (Y-X`)]

라고 정의할 때, 집합 [eqn: LEFT { A SMALLINTER (B` CUP C`) RIGHT } TRIANGLE `(B` TRIANGLE C`)``]를 벤 다이어그램으로 나타낸 것은? [3점]

①			②
③			④
⑤

6. 두 실수 [eqn: a``], [eqn: b``]에 대하여 다음 (가), (나)에 알맞은 것은?
(단, [eqn: i= sqrt {-1}``]이다.) [3점]

∙ [eqn: a`b=0``]은 [eqn: a+bi=0``]이기 위한            조건이다.

∙ [eqn: a+b=0``]은 [eqn: a ^{2} -b ^{2} =0``]이기 위한            조건이다.

(가)

(나)

(가)	(나)

①	충분	필요

②	필요	필요충분

③	충분	필요충분

④	필요	충분

⑤	필요충분	충분

7. 다항식 [eqn: f(x)``]를 두 일차식 [eqn: x-a``], [eqn: x+a``]로 나눈 나머지가 각각 [eqn: R_1``], [eqn: R_2``]일 때, [eqn: f(x)``]를 [eqn: x^2 -a^2 ``]으로 나눈 나머지는? (단, [eqn: a``]는 [eqn: 0``]이 아닌 상수이다.) [3점]

① [eqn: {R _{1} -R _{2}} over {2a} x+ {R _{1} +R _{2}} over {2} ``]	② [eqn: {R_1 -R_2 } over 2a x + {R_1 -R_2 } over 2``]

③ [eqn: {R _{1} +R _{2}} over {2a} x+ {R _{1} +R _{2}} over {2} ``]	④ [eqn: {R _{1} +R _{2}} over {2a} x+ {R _{1} -R _{2}} over {2} ``]

⑤ [eqn: {R_1 R_2 } over 2a x - {R_1 +R_2 } over 2``]

8. 다음과 같은 두 연산 장치  ,  가 있다. 연산 장치   에 두 양수 [eqn: a``], [eqn: b``]가 입력될 때 출력되는 수 [eqn: x``]는 [eqn: x```= sqrt {a+b}``]이고, 연산 장치  에 두 양수 [eqn: a``], [eqn: b``]([eqn: a>=b])가 입력될 때 출력되는 수  [eqn: y``]는 [eqn: y`= sqrt {a-b}``]이다.

위의 두 연산 장치를 결합하여 오른쪽 그림과 같이 만든 연산 장치에서 출력되는 [eqn: r``]의 값은? [3점]

① [eqn: 3+2root2``]

② [eqn: 2+root5``]

③ [eqn: 2+root3``]

④ [eqn: 3- sqrt {5} ``]

⑤ [eqn: 3-2 sqrt {2} ``]

9. [eqn: x``]에 대한 연립부등식

[eqn: cases{```2(x-1)>x+1#````x ^{2} -(a+1)x+a <= 0} ``]

을 만족하는 정수 [eqn: x``]가 [eqn: 3``]개만 존재하도록 하는 실수 [eqn: a``]의 값의 범위는? [3점]

① [eqn: 6<= a<7``]	② [eqn: 7<=a<8``]	③ [eqn: 8 <= a<9``]

④ [eqn: 7<a<=8``]	⑤ [eqn: 8<a<=9``]

10. 이차함수 [eqn: y```=`ax ^{2} ```+`bx```+`c``]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 무리함수

[eqn: f(`x`)```=`a sqrt {`-x```+`b`} ```-`c``]

의 그래프의 개형은? (단, [eqn: a``], [eqn: b``], [eqn: c``]는 상수이다.) [3점]

①			②
③			④
⑤

11. 직선 [eqn: y=- {4} over {3} x] 위의 점 [eqn: rm P it (`a`,```b`)`]([eqn: a<0`])에 대하여 선분 [eqn: rm {OP}``]가 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta ``]라 할 때, [eqn: sin` (pi-theta) `+cos (pi+theta) ``]의 값은? (단, [eqn: rm `O]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: {7} over {5}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: - {1} over {5}]	⑤ [eqn: - {7} over {5}]

12. 복소수를 원소로 갖는 집합 [eqn: A= LEFT { z``□```z ^{2} ``]은 순허수[eqn: `RIGHT }``]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: i= root-1``]이고, [eqn: bar{z`}``]는 [eqn: z``]의 켤레복소수이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: 1+i `IN `A] ㄴ. [eqn: z` INA``]이면 [eqn: BAR{z`} INA] ㄷ. [eqn: z _{1} ` IN A,~z _{2} ` IN A``]이면 [eqn: z _{1} `` z_2`} IN A]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. 삼각형의 세 꼭짓점에서 각 대변 또는 대변의 연장선에 내린 세 수선의 교점을 삼각형의 수심이라 한다.

다음은 정삼각형이 아닌 삼각형 [eqn: rmABC] 의 무게중심, 수심, 외심을 각각 [eqn: rm G`,``P`,``Q``]라 할 때, 점 [eqn: rm G] 가 선분 [eqn: rm PQ] 를 일정한 비로 내분함을 증명하는 과정이다.

[증명]

좌표평면 위에서 삼각형의 세 꼭짓점을 [eqn: rmA it(a`,```b),]
[eqn: rmB it(-c`,```0),] [eqn: rmC it(c`,```0)``]으로 놓자.

점 [eqn: rmB``]를 지나고 직선 [eqn: rmAC``]에 수직인 직선의 방정식이

[eqn: y=]          [eqn: (x+c)`]

이므로 수심 [eqn: rmP``]의 좌표는 [eqn: left(a`,``` {c^2 -a^2}overb right)``]이다.

또, 선분 [eqn: rmAC``]의 중점을 지나고 직선 [eqn: rmAC``]에 수직인 직선과 [eqn: y``]축과의 교점, 즉 외심 [eqn: rmQ``]의 좌표는 [eqn: (0`,```]           [eqn: )``]이다.

그런데 무게중심 [eqn: rmG``]의 좌표는 [eqn: left( a over 3` ,``` b over 3 right)``]이므로 점 [eqn: rmG``]는 선분 [eqn: rm PQ``]를          로 내분한다.

(가)

(다)

(나)

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)	(다)

①	[eqn: c-a over b``]	[eqn: {a^2 +b^2 +c^2 }over2b``]	[eqn: 1``:``2``]

②	[eqn: c-a over b``]	[eqn: {a^2 +b^2 -c^2 }over2b``]	[eqn: 2``:``1``]

③	[eqn: c-a over b``]	[eqn: {a^2 +b^2 -c^2 }over2b``]	[eqn: 1``:``2``]

④	[eqn: a+c over b``]	[eqn: {a^2 -b^2 +c^2 }over2b``]	[eqn: 2``:``1``]

⑤	[eqn: a+c over b``]	[eqn: {a^2 +b^2 +c^2 }over2b``]	[eqn: 1``:``2``]

14. 함수 [eqn: f``]에 대하여 [eqn: f ^{`2} (x)=f(f(x))``], [eqn: f ^{`3} (x)=f(f ^{`2} (x))``], [eqn: CDOTS ``]이라 정의하자. 이때 집합 [eqn: X="{"1,~2,~3"}"]에 대하여 함수 [eqn: f~:~X``->``X``]가 두 조건
[eqn: f(1)=3,``````````````~f`^3 =I``] ([eqn: I``]는 항등함수)
를 만족한다. 함수 [eqn: f``]의 역함수를 [eqn: g``]라 할 때, [eqn: g^10 (2)+g^11 (3)``]의 값은? [4점]

① [eqn: 6``]	② [eqn: 5``]	③ [eqn: 4``]

④ [eqn: 3``]	⑤ [eqn: 2``]

15. [eqn: a>0``], [eqn: b>0``], [eqn: c>0``]일 때, <보기>에서 항상 성립하는 부등식을 모두 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: 1 over a + 1 over b``≧ ``4over{a+b}] ㄴ. [eqn: roota + rootb``>``root a+b``] ㄷ. [eqn: a+b+c``≧``rootab `+`rootbc `+`rootca`]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm A(1`,```0),~B(0`,```1)``]이 있다. 곡선 [eqn: y=x ^{2`} ``] 위를 움직이는 점 [eqn: {rm P}( a` ,``` b )``]에 대하여 삼각형 [eqn: rmAPB``]의 넓이가 [eqn: 5over2 ``]일 때, [eqn: a+b``]의 값은? (단, [eqn: a>0``]이다.) [3점]

① [eqn: 7``]	② [eqn: 6``]	③ [eqn: 5``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 3``]

17. 원 [eqn: x`` ^{2} `+`y` ^{2} `=`1``]을 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: a``]만큼 평행이동하면 직선 [eqn: 3x`-`4y`-4`=`0``]에 접한다. 이때 양수 [eqn: a``]의 값은? [3점]

① [eqn: {8} over {3}]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: sqrt {10}]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

18. 두 실수 [eqn: x,~y``]에 대하여

[eqn: sqrt {x+y} sqrt {x-y} =`- sqrt {(x+y)(x-y)} ``], [eqn: x ^{2} +y ^{2}≦16``]

이 성립할 때, 좌표평면 위에서 점 [eqn: (x,~y)``]가 존재하는 영역의 넓이는? [4점]

① [eqn: 2pi``]	② [eqn: 8over3 pi``]	③ [eqn: 4pi``]

④ [eqn: 16over3 pi``]	⑤ [eqn: 8pi``]

19. [eqn: bar{rmAB} =8``], [eqn: bar{rmAC} =6``], [eqn: ANGLE rm A it =90°``]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC``]에 내접하는 직사각형을 만들 때, [그림1]과 같이 직사각형의 두 변이 삼각형의 변 위에 존재하는 경우와 [그림2]와 같이 직사각형의 한 변만이 삼각형의 변 위에 존재하는 경우가 있다.

[그림1]                         [그림2]

[그림1]과 [그림2]의 경우에 내접하는 직사각형의 넓이를 각각 [eqn: S_1``], [eqn: S_2``]라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: S_1``]의 최댓값은 [eqn: 12``]이다. ㄴ. [eqn: S_1``]이 최대일 때, 직사각형의 둘레의 길이는 [eqn: 14``]이다. ㄷ. [eqn: S_2``]의 최댓값과 [eqn: S_1``]의 최댓값은 같다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 어느 나라의 [eqn: 14``]세 이하의 인구수를 [eqn: P_1], [eqn: 15``]세 이상 [eqn: 64``]세 이하의 인구수를 [eqn: P_2], [eqn: 65``]세 이상의 인구수를 [eqn: P_3]이라 하면 이 나라의 총 부양비, 유년 부양비, 고령화 지수는 각각 다음과 같다.

(총 부양비)[eqn: =`{P_1` +P_3`} over P_2 `×100``%``]

(유년 부양비)[eqn: `=`P_1 over P_2`×100``%``]

(고령화 지수)[eqn: `=`P_3 over P_1`×100``%``]

어느 나라의 총 부양비와 유년 부양비가 각각 [eqn: a`%``], [eqn: b`%``]일 때, 이 나라의 고령화 지수를 [eqn: a``], [eqn: b``]를 써서 나타낸 것은? [4점]

① [eqn: a+b over b ×100 `%]	② [eqn: a-b over b ×100 `%]	③ [eqn: a over a-b ×100 `%]

④ [eqn: a+b over a ×100 `%]	⑤ [eqn: a-b over a ×100 `%]

21. 원 모양의 호수의 넓이를 구하기 위해 호수의 가장자리의 세 지점 [eqn: rm A``], [eqn: rm B``], [eqn: rmC``]에서 거리와 각을 측정한 결과가 다음과 같았다.

[eqn: rm bar{AB} =80`m``]
[eqn: rm bar{AC} =100`m``]
[eqn: rm ANGLE CAB=60 DEG ``]

이때 이 호수의 넓이는? [4점]

① [eqn: 2400`][eqn: pi`\m^2``]	② [eqn: 2500`][eqn: pi`\m^2``]	③ [eqn: 2600`][eqn: pi`\m^2``]

④ [eqn: 2700`][eqn: pi`\m^2``]	⑤ [eqn: 2800`][eqn: pi`\m^2``]

단답형(22～30)

22. 복소수 [eqn: z=3+i``]의 켤레복소수를 [eqn: bar{ z`}``]라 할 때, [eqn: z ^{`2} +( `bar{z`}` )` ^{2} ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i=sqrt-1`]이다.) [3점]

23. 두 이차다항식 [eqn: x ^{2} +3x-a``], [eqn: x ^{2} -bx+4``]의 최대공약수가 [eqn: x-2``]일 때, 두 상수 [eqn: a``], [eqn: b``]의 합 [eqn: a+b``]의 값을 구하시오. [3점]

24. 다음은 태우가 [eqn: 2007``]년 [eqn: 3``]월 고[eqn: 1] 전국연합학력평가를 치르고 나서 받은 [eqn: 5``]개 영역의 등급을 나타낸 표이다.

영역	언어	수리	외국어	사회탐구	과학탐구
등급	[eqn: 4``]	[eqn: 2``]	[eqn: 3``]	[eqn: 3``]	[eqn: 2``]

[eqn: 5``]개 영역의 등급의 분산을 [eqn: s ^{`2}``]이라 할 때, [eqn: 100`s ^{ `2}``]의 값을 구하시오. [3점]

25. 이차함수 [eqn: y=x^2 +ax+b``]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=-x+4``]와 [eqn: y=5x+7``]에 동시에 접할 때, 두 상수 [eqn: a``], [eqn: b``]의 곱 [eqn: ab``]의 값을 구하시오. [3점]

26. 두 함수

[eqn: `f(x)= LEFT | `x` RIGHT | -4],  [eqn: g(x)= cases{`-x ^{2} +4&````(`x >= 0)#~~x ^{2} +4&````(`x<`0`)`}``]

에 대하여 [eqn: g(f(k))=3] 을 만족하는 실수 [eqn: k``]의 값을 [eqn: alpha``], [eqn: beta``]([eqn: alpha>beta``])라 하자. 이때 [eqn: alpha-beta``]의 값을 구하시오. [4점]

27. 좌표평면 위에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1``]이 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축의 양의 부분과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A,~B``]라 하자. 그림과 같이 제 [eqn: 1``]사분면에서 [eqn: ANGLE rmAOP``=`60 DEG``]인 점 [eqn: rm P``]를 원 위에 잡으면 직선 [eqn: rmBP ``]의 기울기는 [eqn: a+b sqrt3 ``]이다. 이때 [eqn: 20(a ^{2} +b ^{2} )``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a``], [eqn: b``]는 유리수이다.) [4점]

28. 그림과 같이 두 점 [eqn: rm A(4`,```0)``], [eqn: rm B(10`,```0)``]을 지나고 반지름의 길이가 [eqn: 5``]인 원이 있다. 원점 [eqn: rm ``O``]와 원 위를 움직이는 점 [eqn: RM`P``]에 대하여 선분 [eqn: rmOP``]의 길이가 정수가 되게 하는 점 [eqn: rm `P``]의 개수를 구하시오. (단, 원의 중심은 제 [eqn: 1``]사분면에 있다.) [4점]

8

8

29. 과거에는 [eqn: rm A``]도시에서 [eqn: rm B``]도시를 갈 때 높은 산이 있어 [eqn: rm C``]도시를 경유해야 했고, 이때 [eqn: rm A``]도시에서 [eqn: rm C``]도시를 경유하여 [eqn: rm B``]도시로 가는 도로의 총 길이는 [eqn: 32` rm km``]였다. 그런데, 산에 터널을 뚫어 [eqn: rm A``]도시와 [eqn: rm B``]도시를 직접 연결하는 도로를 건설하였더니, [eqn: rm C``]도시를 경유할 때보다 [eqn: 24` rm km``]단축되었다.

[eqn: rm A``]도시와 [eqn: rm C``]도시를 잇는 도로의 길이가 몇 [eqn: rm km``]인지 구하시오. (단, 모든 도로는 직선도로이고, [eqn: rm A``]도시에서 [eqn: rm B``]도시와 [eqn: rm C``]도시를 잇는 두 도로는 서로 수직이다.) [4점]

30. 어느 고등학교 [eqn: 2``]학년 [eqn: 1``]반 학생 [eqn: 35``]명을 대상으로 세 종류의 책 [eqn: rmA,``B,``C``]를 읽었는지를 조사하였더니 [eqn: rm A``]를 읽은 학생이 [eqn: 14``]명, [eqn: rm B``]를 읽은 학생이 [eqn: 16``]명, [eqn: rm C``]를 읽은 학생이 [eqn: 15``]명이었다. 또, [eqn: rm A``]와 [eqn: rm B] 중 적어도 하나를 읽은 학생이 [eqn: 22``]명이고 [eqn: rm A``]와 [eqn: rm C``]를 모두 읽은 학생은 한 명도 없었으며, [eqn: rmA,``B,``C] 중에서 어느 책도 읽지 않은 학생이 [eqn: 3``]명이었다. 이때 [eqn: rmA,``B,``C] 중 두 종류의 책만 읽은 학생의 수를 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.