◦ 먼저 수험생이 선택한 과목의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 선택 과목, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2007학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수리 영역(가형)

제 2 교시

성명			수험번호						2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수리 영역(가형)

수리 영역(가형)

[eqn: log _{2} `48-log _{2} `6]의 값은? [2점]

8

①  [eqn: 3]

②  [eqn: 4]

③  [eqn: 5]

④  [eqn: 6]

⑤  [eqn: 7]

8

이차정사각행렬 [eqn: A]가

[eqn: A ^{2} +A= pmatrix{``11&``-6``#```6&````````5`}],  [eqn: A ^{2} -A= pmatrix{``5```&-4``#4&``````1}]

을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은? [2점]

①  [eqn: 1]

②  [eqn: 2]

③  [eqn: 3]

④  [eqn: 4]

⑤  [eqn: 5]

[eqn: lim _{n` -> `INF } {2``․``3 ^{n+1} +2 ^{n+2}} over {3 ^{n-1} -2 ^{n}}]의 값은? [2점]

① [eqn: 18]

② [eqn: 19]

③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]

⑤ [eqn: 22]

두 행렬 [eqn: A= LEFT ( matrix{```1~`&2```#```3~`&4```} RIGHT )], [eqn: B= LEFT ( matrix{~~4``&-2``#-3``&~~1``} RIGHT )]이 [eqn: B=pA+qE] 를 만족시킬 때, [eqn: pq]의 값은? (단, [eqn: E] 는 단위행렬이고, [eqn: p], [eqn: q]는 실수이다.)

[3점]

①  [eqn: -1]

②  [eqn: -2]

③  [eqn: -3]

④  [eqn: -4]

⑤  [eqn: -5]

[eqn: log _{10} `7]의 가수를 [eqn: alpha], [eqn: log _{10} `11]의 가수를 [eqn: beta]라 할 때, [eqn: log _{10} `77 ^{2}]의 가수를 [eqn: alpha], [eqn: beta]로 나타내면? [3점]

① [eqn: alpha + beta -1]

② [eqn: alpha + beta -2]

③ [eqn: 2 alpha` +`2beta]

④ [eqn: 2 alpha +2 beta -1]

⑤ [eqn: 2 alpha +2 beta -2]

이차방정식 [eqn: x^2 - 7x +1 =0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,

[eqn: 2 ^{alpha -1} TIMES 2 ^{beta -1}]의 값은? [3점]

① [eqn: 32]

② [eqn: 64]

③ [eqn: 128]

④ [eqn: 256]

⑤ [eqn: 512]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} -2 RIGHT ) =3]일 때,

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n} -3n+2} over {2a _{n} +n-4}}]의 값은? [3점]

① [eqn: -{1} over {2}]

② [eqn: - {1} over {5}]

③    [eqn: {1} over {5}]

④    [eqn: {1} over {2}]

⑤     [eqn: 1]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =1]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립일차방정식이 단 한 쌍의 해를 갖는 것을 <보기>에서 모두 고르면? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: pmatrix{``a`````-b``#`b```````````a} pmatrix{``x``#``y``} ``= pmatrix{``1``#``2``}] ㄴ. [eqn: pmatrix{1`````````````1`````#``a``````b-2``} pmatrix{``x``#``y``} ``= pmatrix{``1``#``2``}] ㄷ. [eqn: pmatrix{`a```````-b`````#```b```````a-2`} pmatrix{``x``#``y``} ``= pmatrix{``1``#``2``}]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 공비가 각각 [eqn: 3], [eqn: {1} over {2}]일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: a _{1} b _{1} != 0]) [3점]

		보 기
ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} over b _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: 6]인 등비수열이다. ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} +6b _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: 3]인 등비수열이다. ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n+1} -2a _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: 3]인 등비수열이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: m], [eqn: n]과 양의 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: root {n} of {a} root {n} of {b} = root {n} of {ab}] ㄴ. [eqn: root {n} of {a} < root {n} of {b}]이면 [eqn: a<b]이다. ㄷ. [eqn: m<n]일 때, [eqn: root {m} of {a} = root {n} of {b}]이면 [eqn: a<b]이다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

로그함수 [eqn: f(x)=log _{3} `x]의 그래프 위의 두 점 [eqn: rm P it _{itn} (itn,~log _{3}` n)],

[eqn: rm P it _{itn+1} (itn+1,~log _{3} (n+1))]을 지나는 직선 [eqn: {rmP}_n {rmP}_n+1]의 기울기를

[eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{80} `g(k)]의 값은? [3점]

①  [eqn: 3]

②  [eqn: 4]

③  [eqn: 5]

④  [eqn: 6]

⑤  [eqn: 7]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B] 가 [eqn: AB=A-B] 를 만족시킬 때,

<보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: E] 는 단위행렬이다.)

[4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: A-E] 의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: B-E] 의 역행렬이 존재한다. ㄷ. [eqn: (A+B) ^{2} =A ^{2} +2AB+B ^{2}]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림은 [eqn: f(x)=a ^{x}] ([eqn: a>1])의 그래프이다.

[eqn: rm O]

[eqn: f(x)=a ^{x}]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: q]

[eqn: x]

[eqn: p]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: g(f(x))=x]를 만족시킬 때, [eqn: g(12)]의 값을 [eqn: p], [eqn: q]로 나타내면? (단, 점선은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에 평행하다.) [3점]

①  [eqn: p+q]

②  [eqn: p+2q]

③  [eqn: p+3q]

④  [eqn: 2p+q]

⑤  [eqn: 2p+3q]

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: y=nx], [eqn: y= n over x]의 그래프의

두 교점을 각각 [eqn: rm A _{itn}], [eqn: rm B _{itn}], 점 [eqn: rm A _{itn}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm C _{itn}],

선분 [eqn: rm B _{it n rm}rm C _{it n rm}]와 [eqn: y]축과의 교점을 [eqn: rm D _{itn}]이라 하자.

사다리꼴 [eqn: rm OD_{itn}C_{itn}A_{itn}]의 넓이를 [eqn: S _{n}], 삼각형 [eqn: rm OB_{itn}D_{itn}]의 넓이를 [eqn: T _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{T _{n} +n} over {S _{n} +n+1}}]의 값은? [4점]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B_{itn}]

[eqn: rm C_{ITn}]

[eqn: rm D_{itn}]

[eqn: y= {n} over {x}]

[eqn: y]

[eqn: y=nx]

[eqn: x]

① [eqn: {2} over {7}]

② [eqn: {3} over {7}]

③ [eqn: {4} over {7}]

④ [eqn: {5} over {7}]

⑤ [eqn: {6} over {7}]

연립부등식

[eqn: cases{``` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} <= ``LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) _{{} _{}_{}_{}_{}} ^{y}#````` {}^ {} ^{{} ^{}} log _{2} ``(y+1) >= log _{2} ``(-x+3)}]

을 만족시키는 점 [eqn: (x,`y)]가 존재하는 영역의 넓이는? [4점]

①  [eqn: 4]

② [eqn: {7} over {2}]

③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {3} over {2}]

⑤  [eqn: 1]

다음은 수열 [eqn: left{a _{n}right}]의 일반항 [eqn: a _{n}]이 [eqn: a _{n} =pn+q]일 때,

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: na _{1} +(n-1)a _{2} +(n-2)a _{3} + ~CDOTS~ +a _{n}]

[eqn: = {1} over {6} n(n+1)(pn+2p+3q)]

임을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

ⅰ) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: =](우변)[eqn: =]이므로 성립한다.

(가)

ⅱ) [eqn: n=k]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: ka _{1} +(k-1)a _{2} +(k-2)a _{3} + ~CDOTS~ +a _{k}]

[eqn: = {1} over {6} k(k+1)(pk+2p+3q)]

이 식의 양변에 를 더하면

(나)

[eqn: ka _{1} +(k-1)a _{2} +(k-2)a _{3} + ~CDOTS~ +a _{k}]+

(나)

[eqn: = {1} over {6} k(k+1)(pk+2p+3q)]+

(나)

(다)

[eqn: = 1 over 6 (k+1) left{ pk^2 + (5p+3q) k +~~~~~~~~~ right}]

[eqn: = {1} over {6} (k+1)(k+2)left{p(k+1)+2p+3q right}]

그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

ⅰ), ⅱ)에 의해서 주어진 등식은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

이 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: pq]	[eqn: a _{1} +a _{2} + ~CDOTS~ +a _{k}]	[eqn: 3(p+q)]
②	[eqn: pq]	[eqn: a _{1} +a _{2} + ~CDOTS ~+a _{k}]	[eqn: 4(p+q)]
③	[eqn: p+q]	[eqn: a _{1} +a _{2} + ~CDOTS ~+a _{k}]	[eqn: 6(p+q)]
④	[eqn: p+q]	[eqn: a _{1} +a _{2} + ~CDOTS~ +a _{k+1}]	[eqn: 4(p+q)]
⑤	[eqn: p+q]	[eqn: a _{1} +a _{2} + ~CDOTS~ +a _{k+1}]	[eqn: 6(p+q)]

한 변의 길이가 [eqn: 8]인 정사각형 [eqn: rm D _{1}]이 있다.

그림과 같이 정사각형 [eqn: rm D _{1}]의 네 변에 접하며 중심각의 크기가 [eqn: {3} over {2} pi]인 부채꼴로 만든 원뿔의 부피를 [eqn: V _{1}],

남은 정사각형 [eqn: rm D _{2]의 네 변에 접하며 중심각의 크기가 [eqn: {3} over {2} pi]인 부채꼴로 만든 원뿔의 부피를 [eqn: V _{2}],

남은 정사각형 [eqn: rm D _{3]의 네 변에 접하며 중심각의 크기가 [eqn: {3} over {2} pi]인 부채꼴로 만든 원뿔의 부피를 [eqn: V _{3}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 만들어진 원뿔의 부피를 [eqn: V _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} `V_n]의 값은? (단, 부채꼴로 원뿔을 만들 때, 겹쳐지는 부분은 없도록 한다.) [4점]

[eqn: 8]

·

·

·

·

·

·

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: rmD _{2}]

[eqn: rm D _{3}]

[eqn: cdots]

[eqn: V _{2}]

[eqn: V _{3]

[eqn: V _{1}]

① [eqn: {16sqrt {7}} over {7} pi]

② [eqn: {20sqrt {7}} over {7} pi]

③ [eqn: {24sqrt {7}} over {7} pi]

④ [eqn: {32sqrt {7}} over {7} pi]

⑤ [eqn: {36sqrt {7}} over {7} pi]

다음은 [eqn: 11 ^{15} <55 ^{9} <11 ^{17} <33 ^{13} <11 ^{19}]임을 이용하여

세 수  [eqn: A=3 ^{273}], [eqn: B=5 ^{189}], [eqn: C=11 ^{126}]의 크기를 비교하는 과정이다.

먼저 [eqn: A]와 [eqn: B]의 크기를 비교해 보자.

[eqn: 189]와 [eqn: 273]의 최대공약수는 이므로

(가)

[eqn: {A} over {B} = {3 ^{273}} over {5 ^{189}} = LEFT ( {3 ^{13}} over {5 ^{9}} RIGHT ) ^{21} `]이다.

[eqn: 11 ^{15} <55 ^{9} <11 ^{17} <33 ^{13} <11 ^{19}]을 이용하면

[eqn: 3 ^{13}][eqn: 5 ^{9}]이므로

(나)

[eqn: {A} over {B} `][eqn: 1]이다.

(나)

[eqn: therefore] [eqn: A][eqn: B]

(나)

같은 방법으로 [eqn: A]와 [eqn: C],  [eqn: B]와 [eqn: C]의 크기를 비교할 수 있다.

따라서 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 대소 관계는 이다.

(다)

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 21]	[eqn: >]	[eqn: B<A<C]
②	[eqn: 21]	[eqn: <]	[eqn: A<C<B]
③	[eqn: 21]	[eqn: <]	[eqn: C<A<B]
④	[eqn: 57]	[eqn: >]	[eqn: B<C<A]
⑤	[eqn: 57]	[eqn: <]	[eqn: C<A<B]

어떤 공장에서 [eqn: rmA]제품의 생산량은 전체 생산량의 [eqn: 80]%를 차지한다. [eqn: rmA]제품의 수요 감소가 예측되어 매년 [eqn: rmA]제품의 생산량을 전년도 A제품의 생산량에 비해 [eqn: 8]%씩 줄이고, 대신에 다른 제품의 생산량은 늘려 전체 생산량을 일정하게 유지하려고 한다. [eqn: 7]년 후 [eqn: rmA]제품의 생산량은 전체 생산량의 [eqn: a]%라 할 때, [eqn: a]의 값은? [4점]

<상용로그표>

① [eqn: 43.56]

② [eqn: 44.64]

③ [eqn: 45.72]

④ [eqn: 46.80]

⑤ [eqn: 47.88]

그림은 공연장의 좌석 배치도이며, 어두운 부분은 예약이 완료된 좌석을 나타낸다. 다섯 좌석을 예약하려고 할 때, 두 좌석,

세 좌석씩 각각 이웃하게 하는 경우의 수는? [3점]

무 대

① [eqn: 32]

② [eqn: 34]

③ [eqn: 36]

④ [eqn: 38]

⑤ [eqn: 40]

함수 [eqn: f(2 ^{x} )=-log_3 ~ x]일 때, [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은? [4점]

①	[eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmO]	②	[eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmO]
③	[eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmO]	④	[eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmO]
⑤	[eqn: x] [eqn: y] [eqn: rmO]

단 답 형

무한등비수열 [eqn: LEFT { left({x-5}over{4}right)^n RIGHT }]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]값의 합을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =n ^{2} +1]일 때, [eqn: a _{10} -a _{1}]의 값을 구하시오. [3점]

남학생 [eqn: 5]명과 여학생 [eqn: 4]명이 연극반에 지원하였다. 지원자 [eqn: 9]명 중에서 [eqn: 4]명을 선발할 때, 남학생과 여학생이 적어도 한 명씩은 포함되도록 하는 경우의 수를 구하시오. [3점]

이차정사각행렬 [eqn: A]의 [eqn: (m,~n)] 성분 [eqn: a _{mn}]을

[eqn: a _{mn} =] (원점에서 직선 [eqn: y=mx+n]까지의 거리)

라고 하자. [eqn: a _{21} ^{~~2}]의 값을 [eqn: {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

연립방정식  [eqn: cases{`2 ^{x} (2 ^{x} +2 ^{y} `)=192#`2 ^{y} (2 ^{x} ``+2 ^{y} )``=384^`^`^`}]

를 만족시키는 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: 2 ^{x+y}]의 값을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 항 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: CDOTS]과 홀수들을 그림과 같이 나열하였다.

[eqn: a _{1}]은 [eqn: a _{1}]을 둘러싸고 있는 세 수의 합 [eqn: 1+3+5]이고, [eqn: a _{2}]는 [eqn: a _{2}]를 둘러싸고 있는 세 수의 합 [eqn: 3+7+9]이다.  이와 같이  [eqn: a _{n}]은 [eqn: a _{n]을 둘러싸고 있는 세 수의 합일  때, [eqn: a _{100}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: a _{1}]

[eqn: 5]

[eqn: a _{3}]

[eqn: 7]

[eqn: a _{2}]

[eqn: 9]

[eqn: 13]

[eqn: a _{4}]

[eqn: 15]

[eqn: 17]

[eqn: a _{6}]

[eqn: 19]

[eqn: 21]

[eqn: a _{7}]

[eqn: 23]

[eqn: 25]

[eqn: a _{9}]

[eqn: 27]

[eqn: 11]

[eqn: a _{5}]

[eqn: a _{8}]

[eqn: a _{10}]

[eqn: 29]

두 행렬의 곱

[eqn: pmatrix{``n-1~&``9-3n``} pmatrix{``n^2 - 4n +4``#{} ^{{} ^{}}``n-1 ``}]의 성분이 소수가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 합을 구하시오. [4점]

자연수 [eqn: n`]에 대하여

집합 [eqn: A _{n} ="{"``(x,``y) vert y>2x], [eqn: `y <= x+n], [eqn: LEFT . `x RIGHT .]와 [eqn: y]는 자연수[eqn: `"}"]의 원소의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라고 할 때,  [eqn: a _{10}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 다섯 개의 숫자가 있다. 중복을 허락하여 이 숫자로

세 자리 자연수를 만들 때, [eqn: 3]의 배수의 개수를 구하시오. [4점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.