두 다항식

2015학년도 11월 고1 전국연합학력평가 문제지

수학 영역

제 2 교시

수학 영역

수학 영역

[eqn: A= 2x^2 - 3xy], [eqn: B=x ^{2} +xy]

에 대하여 [eqn: A+B`]는? [2점]

12

① [eqn: x^2 +4xy]	② [eqn: x^2 - 2xy]	③ [eqn: 3x ^{2} -2xy]

④ [eqn: 3x^2 -4xy]	⑤ [eqn: 3x^2 + 4xy]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = 2x]에 대하여 [eqn: LEFT ( f circ f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식

[eqn: x ^{2} +ax+4=x LEFT ( x+2 RIGHT ) +b]

가 성립할 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a + b]의 값은? [2점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: 1 le x le3]에서 무리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =rootx +a]의 최솟값이 [eqn: 6]일 때,
상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12

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부등식 [eqn: LEFT | x-a RIGHT | <3]의 해가 [eqn: 4<x<10]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?
[3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

첫째항이 [eqn: 1], 제[eqn: 3]항이 [eqn: 9]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터
제[eqn: 10]항까지의 합은? [3점]

① [eqn: 130]	② [eqn: 150]	③ [eqn: 170]

④ [eqn: 190]	⑤ [eqn: 210]

복소수 [eqn: z=2-3i`]에 대하여 [eqn: left(1+2i right) bar{z`}]의 값은?
(단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이고, [eqn: {bar{z`}} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [3점]

① [eqn: -4 + 7i]	② [eqn: -4+4i]	③ [eqn: 3-4i]

④ [eqn: 3+7i]	⑤ [eqn: 7-4i]

두 양수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta]가
연립이차방정식 [eqn: {cases{`2x-y=`-3` _{{} _{`} `}#`2x ^{2} +y ^{2} =27}}]의 해일 때, [eqn: alpha timesbeta]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

직선 [eqn: y= kx +1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼
평행이동시킨 직선이 원 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} = 1]의 중심을 지날 때,
상수 [eqn: k]의 값은? [3점]

① [eqn: 7 over 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 9 over 2]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 11 over 2]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -x-12]에 대하여 [eqn: f left (x-1 right)<0]을
만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

전체집합 [eqn: U= LEFT {`` x``|``x]는 [eqn: 20] 이하의 자연수[eqn: LEFT. ` RIGHT }]의 두 부분집합

[eqn: A= LEFT {` 1,``3,``a-1 RIGHT }], [eqn: B= LEFT {`a ^{2} -4a-7,`` a+2 RIGHT }]

에 대하여 [eqn: LEFT ( A SMALLINTER B ^{C`} `RIGHT ) CUP LEFT ( A ^{C`} SMALLINTER B `RIGHT ) `= LEFT { `1,``3,``8 RIGHT }]일 때, 상수 [eqn: a]의
값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

유리함수 [eqn: y= {2x-1} over {x-a}]의 그래프와 그 역함수의 그래프가
일치할 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[13 ~ 14] 그림과 같이 양수 [eqn: a]에 대하여 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2ax]의
그래프와 직선 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {a} x]가 두 점 [eqn: rm O], [eqn: rm A]에서 만난다.
13번과 14번의 두 물음에 답하시오. (단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x^2 - 2ax]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = 1 over a x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: rm A]

[eqn: a=2]일 때, 직선 [eqn: l]은 이차함수 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프에 접하고
직선 [eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )]와 수직이다. 직선 [eqn: l]의 [eqn: y]절편은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: - 5 over 3]	③ [eqn: - 4 over 3]

④ [eqn: - 1]	⑤ [eqn: - 2 over 3]

이차함수 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점을 [eqn: rm B]라 하고
선분 [eqn: rm AB]의 중점을 [eqn: rmC]라 하자. 점 [eqn: rmC]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을
[eqn: RM H]라 할 때, 선분 [eqn: rm CH]의 길이의 최솟값은? [4점]

① [eqn: sqrt 3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: root 5]

④ [eqn: sqrt 6]	⑤ [eqn: sqrt7]

첫째항이 [eqn: 1]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a _{n+1} =a _{n} +3] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5])

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+6} =a _{n}]이다.

[eqn: a _{50}]의 값은? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 16]

별에서 단위시간동안 방출되는 복사에너지의 양을 별의 광도라
한다. 별의 표면 온도를 [eqn: T`], 별의 반지름의 길이를 [eqn: R`],
별의 광도를 [eqn: L]이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: T ^{`2} = {1} over {R} sqrt {{L} over {4 pi sigma }} `] (단, [eqn: sigma `]는 슈테판-볼츠만 상수이다.)

두 별 [eqn: rmA], [eqn: rm B]에 대하여 별 [eqn: rmA]의 표면 온도는 별 [eqn: rmB]의 표면 온도의
[eqn: 1 over 2]배이고, 별 [eqn: rmA]의 반지름의 길이는 별 [eqn: rmB]의 반지름의 길이의 [eqn: 36]배
일 때, 별 [eqn: rmA]의 광도는 별 [eqn: rmB]의 광도의 [eqn: k]배이다. [eqn: k]의 값은? [4점]

① [eqn: 49]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 81]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 121]

전체집합 [eqn: U`]의 공집합이 아닌 세 부분집합 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R`]가 각각
세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합이라 하자. 세 명제

[eqn: sim p`` rarrow`r],  [eqn: r ``rarrow `simq],  [eqn: sim r ``rarrow `q`]

가 모두 참일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: P^C subset R] ㄴ. [eqn: P subset Q] ㄷ. [eqn: P` cap Q `= R^C]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(`2,``3)], [eqn: rm B(`0,``4)]에 대하여
선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: m:n]([eqn: m>n>0])으로 외분하는 점을 [eqn: rm Q]라 하자.
삼각형 [eqn: rm OAQ]의 넓이가 [eqn: 16]일 때, [eqn: n overm]의 값은?
(단, [eqn: rm O]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 3 over 8]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 5 over 8]

④ [eqn: 3 over 4]	⑤ [eqn: 7 over 8]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식

[eqn: sum _{k=1} ^{n} `k LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT ) `= {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( n+3 RIGHT )} over {4}]	[eqn: cdots cdots]㉠

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

(좌변)[eqn: = 1 times 2 times 3 = 6]

(우변)[eqn: = { 1 times 2 times 3 times 4 } over 4 = 6]

이므로 ㉠이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} `k LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT ) `= {m LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT ( m+3 RIGHT )} over {4}]  [eqn: cdots cdots]㉡

㉡의 양변에 [eqn: {BOX{`````````` (가) ``````````}}]를 더하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} `k LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT )]

[eqn: = {m LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT ( m+3 RIGHT )} over {4} + {BOX{`````````` (가) ``````````}}]

[eqn: = {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) TIMES {BOX{`````````` (나) ``````````}}} over {4}]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때에도 ㉠이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉠이 성립한다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( m RIGHT )], (나)에 알맞은 식을
[eqn: g LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) + g LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 94]	② [eqn: 96]	③ [eqn: 98]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 102]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 10]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]에
내접하는 원이 있다. 선분 [eqn: rm BC]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rm P]라 하자. 선분 [eqn: rm AP]가 정사각형 [eqn: rm ABCD]에 내접하는 원과 만나는 두 점을
[eqn: rm Q], [eqn: rm R]라 할 때, 선분 [eqn: rm QR]의 길이는? [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: 10]

① [eqn: {2 sqrt {11}}]	② [eqn: {4 sqrt {3}}]	③ [eqn: {2 sqrt {13}}]

④ [eqn: {2 sqrt {14}}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {15}}]

이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점이
직선 [eqn: y=kx] 위에 있다. 이차함수 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 직선
[eqn: y=kx +5]와 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자.
이차함수 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 축이 직선 [eqn: x = { alpha + beta } over 2 - 1 over 4]일 때,
[eqn: LEFT | alpha - beta RIGHT |]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 7 over 2]	② [eqn: 23 over 6]	③ [eqn: 25 over 6]

④ [eqn: 9 over 2]	⑤ [eqn: 29 over 6]

단 답 형

세 수 [eqn: 3], [eqn: a], [eqn: 12]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때,
[eqn: a^2]의 값을 구하시오. [3점]

좌표평면에서 두 점 [eqn: left(`-2,``-3 right)], [eqn: left(`2,``5 right)]를 지나는 직선이
점 [eqn: left(`a,``7 right)]을 지날 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x ^{2} -7x]로 나눈 나머지가 [eqn: x+4]일 때,
다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-7]로 나눈 나머지를 구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이
[eqn: S_n = 2^n+2 -4]일 때, [eqn: a_7]의 값을 구하시오. [3점]

사차방정식 [eqn: LEFT ( x^2 - 5x RIGHT ) LEFT ( x^2 - 5x + 13 RIGHT )+42=0]의 모든 실근의 곱을
구하시오. [4점]

좌표평면에서 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: rm A]를 [eqn: y=x]에 대하여
대칭이동시킨 점을 [eqn: rm B]라 하자. [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여
[eqn: bar{ rm AP} + bar{ rmPB}]의 최솟값이 [eqn: 10 sqrt 2]일 때, 선분 [eqn: rmOA]의 길이를 구하시오.
(단, [eqn: rm O]는 원점이다.) [4점]

실수 전체의 집합 [eqn: R]에 대하여 함수 [eqn: f`: R`` rarrow ``R`]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = a LEFT | x+2RIGHT | - 4x]

로 정의될 때, 이 함수가 일대일대응이 되도록 하는
정수 [eqn: a]의 개수를 구하시오. [4점]

그림과 같이 [eqn: 1 LEQ n LEQ 9]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: x= n]과
원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =10 ^{2}]이 만나는 점 중 [eqn: y]좌표가 양수인 점을 [eqn: rm P _{itn}]이라 하자.
원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =10 ^{2}] 위의 점 [eqn: rmP_{itn}]에서의 접선의 [eqn: y]절편을 [eqn: a _{n}]이라 할 때,
[eqn: sum _{n=1} ^{9}][eqn: LEFT ( {100} over {a _{n}} RIGHT ) ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: x^2 + y^2 = 10^2]

[eqn: rm P_{itn}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 10]

[eqn: rmO]

[eqn: a_{itn}]

[eqn: `x=n]

좌표평면 위에 원 [eqn: C_1 : LEFT ( x-a RIGHT )^2 + LEFT ( y-b RIGHT ) ^2 = 5]가 있다.
원 [eqn: C_1]을 직선 [eqn: y= x]에 대하여 대칭이동시킨 원을 [eqn: C_2]라 하자.
두 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2]가 모두 직선 [eqn: y= 2x-2]와 만나도록 하는
실수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: left(`a,``b right)]에 대하여 [eqn: 2b-3a]의 최댓값은 [eqn: q over p]이다.
[eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.