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2016학년도 4월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

• 2교시 수학 영역 •

[가 형]

1	②	2	④	3	④	4	②	5	①
6	③	7	⑤	8	③	9	⑤	10	④
11	②	12	①	13	③	14	③	15	①
16	④	17	②	18	③	19	①	20	⑤
21	⑤	22	80	23	61	24	8	25	15
26	30	27	12	28	210	29	4	30	71

1. [출제의도] 지수함수의 극한 계산하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {{e ^{x} -1} over {4x}} = lim _{x` -> `0} {{e ^{x} -1} over {x} times` {1} over {4}} = {1} over {4}]

2. [출제의도] 순열 계산하기

[eqn: {} _{n} rm P _{2} = it n LEFT ( n-1 RIGHT ) =n ^{2} -n=56]이므로
[eqn: n ^{2} -n-56=0]

[eqn: LEFT ( n-8 RIGHT ) LEFT ( n+7 RIGHT ) =0]

[eqn: n]이 자연수이므로 [eqn: n=8]

3. [출제의도] 삼각함수의 미분 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =cos`x]

따라서 [eqn: f`' LEFT ( {pi} over {3} RIGHT ) = {1} over {2}]

4. [출제의도] 로그함수의 그래프의 성질 이해하기

[eqn: log _{`2} `16=log _{`2} `2 ^{4} =4], [eqn: log _{4} `16=log _{4} `4 ^{2} =2]이므로
[eqn: rmP LEFT ( `16,``4 RIGHT )], [eqn: rmQ LEFT ( `16,``2 RIGHT )]이다.

따라서 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리는 [eqn: 2]

5. [출제의도] 조건부확률 이해하기

[eqn: rm P LEFT ( it A ^{it C``} RIGHT ) = {1} over {4}]이므로 [eqn: rmP LEFT ( itA RIGHT ) =1-rmP LEFT ( itA ^{itC``} RIGHT ) =1- {1} over {4} `= {3} over {4}]

[eqn: rm P LEFT ( it B`|A RIGHT ) = {rm P LEFT ( itA SMALLINTER B` RIGHT ) it} over {rm P LEFT ( it A RIGHT )} `= {1} over {6}]이므로
[eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B` RIGHT ) = {1} over {6} `rmP LEFT ( it A RIGHT ) = {1} over {6} ` TIMES {3} over {4} `= {1} over {8}]

6. [출제의도] 자연수의 분할 이해하기

[eqn: 8=6+1+1]

[eqn: =5+2+1]

[eqn: =4+3+1]

[eqn: =4+2+2]

[eqn: =3+3+2]

따라서 [eqn: 8]을 세 개의 자연수로 분할하는
방법의 수는 [eqn: 5]

7. [출제의도] 여러 가지 적분법 이해하기

[eqn: 2x-1=t]라 하면 [eqn: {dx} over {dt} = {1} over {2}]이고
[eqn: x= {1} over {2}]일 때 [eqn: t=0], [eqn: x=1]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int _{{1} over {2}} ^{1} {` sqrt {2x-1} `dx} `= {1} over {2} int _{0} ^{1} {` sqrt {t} `dt} `]

[eqn: = {1} over {2} times LEFT [ {2} over {3} `t sqrt {t} RIGHT ] _{0} ^{1} = 1 over 3]

8. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기

[eqn: 2`sin LEFT ( theta - {pi } over {6} RIGHT ) +cos` theta]

[eqn: =2 LEFT ( sin` theta `cos` {pi } over {6} `-cos` theta `sin {pi } over {6} RIGHT ) +cos` theta]

[eqn: = sqrt {3} `sin`theta]

[eqn: = sqrt {3} `times {sqrt {3}} over {3} `=1]

9. [출제의도] 여러 가지 미분법 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체에서 미분가능하므로
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2], [eqn: lim _{x`->`1} {` {f LEFT ( x RIGHT ) -2} over {x-1}} `=f`' LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {3}]

[eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) = x]의 양변을 미분하면

[eqn: f` prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) g` prime LEFT ( x RIGHT ) =1]

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {f` prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) ^{`}}]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = 2]이므로 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) = 1]

[eqn: g` prime LEFT ( 2 RIGHT ) = {1} over {f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) ^{`}} `=3]

따라서 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) +g`' LEFT ( 2 RIGHT ) =1+3=4]

10. [출제의도] 로그함수를 활용하여 문제해결하기

편진폭이 [eqn: A _{1}], 진동수가 [eqn: 10pi]일 때 진동가속도레벨이
[eqn: 83]이므로 [eqn: 83=20`log `{A _{1} LEFT ( 10pi RIGHT ) ^{2}} over {k}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

편진폭이 [eqn: A _{2}], 진동수가 [eqn: 80 pi]일 때 진동가속도레벨이
[eqn: 91]이므로 [eqn: 91=20`log` {A _{2} LEFT ( 80 pi RIGHT ) ^{2}} over {k}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉡ `-` ㉠]에서 [eqn: 8=20` LEFT { log`{A _{2} LEFT ( 80 pi RIGHT ) ^{2}} over {k} `-log `{A _{1} LEFT ( 10 pi RIGHT ) ^{2}} over {k} RIGHT }]

[eqn: {2} over {5} `=log` {A _{2} LEFT ( 80 pi RIGHT ) ^{2}} over {A _{1} LEFT ( 10 pi RIGHT ) ^{2}} `=log` {64A _{2}} over {A _{1}}]

따라서 [eqn: {A _{2}} over {A _{1}} `= {1} over {64} TIMES 10 ^{{2} over {5}}]

11. [출제의도] 정적분의 활용 이해하기

포물선 [eqn: y ^{2} =4x]의 준선의 방정식은 [eqn: x=`-1]이다.

[eqn: y=e ^{`x+1}]의 그래프와 직선 [eqn: x=`-1],
[eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는
[eqn: int _{-1} ^{0} {e ^{`x+1} `dx} `= LEFT [ e _{{} _{`}} ^{`x+1 ^{`}} RIGHT ] _{-1} ^{0} =e-1]

12. [출제의도] 평면곡선의 접선 이해하기

[eqn: y ^{2} =4x]에서 [eqn: 2y {dy} over {dx} =4]

[eqn: therefore] [eqn: {dy} over {dx} = {2} over {y}]

포물선 [eqn: y ^{2} =4x] 위의 점 [eqn: LEFT ( `4,``4 RIGHT )]에서의
접선의 기울기는 [eqn: {2} over {4} = {1} over {2}]이므로
접선의 방정식은 [eqn: y= {1} over {2} x+2]

직선 [eqn: y= {1} over {2} x+2]가 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: LEFT ( `0,``2 RIGHT )]를

[eqn: y=e ^{x+k}]에 대입하면 [eqn: e ^{k} =2]

따라서 [eqn: k=ln2]

13. [출제의도] 이차곡선의 성질 이해하기

[eqn: rm {bar{PF}} =ita]라 하면 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: rm F LEFT ( `2,``0 RIGHT )]까지의
거리는 점 [eqn: rm P]에서 준선 [eqn: x=`-2]에 이르는 거리와
같으므로 [eqn: rm {bar{FH}} = it a-4]

[eqn: rm {bar{PH}} =it sqrt {a ^{2} - LEFT ( a-4 RIGHT ) ^{2}} `= sqrt {8a-16} `=2 sqrt {2a-4}]

삼각형 [eqn: rmPFH]의 넓이가 [eqn: 3 sqrt {10}]이므로

[eqn: {1} over {2} ` TIMES LEFT ( a-4 RIGHT ) ` TIMES 2 sqrt {2a-4} `=3 sqrt {10}]

[eqn: LEFT ( a-4 RIGHT ) sqrt {a-2} `=3 sqrt {5}]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: LEFT ( a^2 - 3a +11 RIGHT ) LEFT ( a-7 RIGHT ) =0]

[eqn: therefore] [eqn: a=7]

따라서 선분 [eqn: rm PF]의 길이는 [eqn: 7]

14. [출제의도] 도함수를 활용하여 그래프 추론하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x-1 RIGHT ) e ^{-x ^{2}}]이라 하자.
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( ` {BOX{```-4x ^{2} +2x+2```}} ` RIGHT ) `times`e ^{-x ^{2}}]

[eqn: =`-2 LEFT ( 2x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{-x ^{2}}]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=`- {1} over {2}] 또는 [eqn: x=1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - {1} over {2}]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	[eqn: - {2} over {root {4} of {e}}]	[eqn: NEARROW]	[eqn: {1} over {e}]	[eqn: SEARROW]

이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값은 [eqn: {BOX{```- {2} over {root {4} of {e}} ````}}]이다.

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형을 그리면

[eqn: 1]

[eqn: - 1 over 2]

[eqn: -{2} over {root {4} of {e}}]

[eqn: 1 over e]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: {BOX{```- {2} over {root {4} of {e}} ````}}]이다.

[eqn: LEFT ( 2x-1 RIGHT ) e ^{-x ^{2}} GEQ` - {2} over {root {4} of {e}}]이므로 [eqn: k LEQ` - {2} over {root {4} of {e}}]

따라서 [eqn: 2x-1 GEQ ke ^{x ^{2}}]을 성립시키는 실수 [eqn: k]의
최댓값은 [eqn: {BOX{```- {2} over {root {4} of {e}} ````}}]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =`-4x ^{2} +2x+2], [eqn: p=`- {2} over {root {4} of {e}}]

따라서 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) times`p= {20} over {root {4} of {e}}]

15. [출제의도] 조건부확률을 활용하여 문제해결하기

[eqn: 5]번째까지 시행을 한 후 시행을 멈추려면

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]의 숫자가 적혀 있는 [eqn: 7]개의
공에서 [eqn: 4]번째 시행까지 [eqn: 2]개의 홀수가 적혀 있는
공과 [eqn: 2]개의 짝수가 적혀 있는 공을 꺼내고 [eqn: 5]번째의
시행에 짝수가 적혀 있는 공을 꺼내야 한다.

홀수, 홀수, 짝수, 짝수를 배열하는 경우의 수는
[eqn: {4!} over {2!2!} = 6]

(홀, 홀, 짝, 짝)의 순서로 공을 꺼낼 확률은

[eqn: {4} over {7} TIMES {3} over {6} TIMES {3} over {5} TIMES {2} over {4}]

나머지 [eqn: 5]가지 배열의 확률도 동일하다.
[eqn: 5]번째에 짝수가 적혀 있는 공을 꺼낼
확률은 [eqn: {1} over {3}]이므로

구하는 확률은 [eqn: 6` TIMES ` {4} over {7} TIMES {3} over {6} TIMES {3} over {5} TIMES {2} over {4} TIMES {1} over {3} = {6} over {35}]

16. [출제의도] 지수함수의 미분을 활용하여 추론하기

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체에서 미분가능하므로 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체에서 연속이다.

[eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=b]에서 연속이므로

[eqn: g LEFT ( b RIGHT ) =0], [eqn: lim _{x` -> `b-} {g LEFT ( x RIGHT ) `} =0], [eqn: lim _{x` -> `b+} {g LEFT ( x RIGHT )`} =f LEFT ( b RIGHT ) -a]

[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) -a=0]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=b]에서 미분가능하므로

[eqn: g`' LEFT ( b RIGHT ) = lim _{h`->`0+} {{g LEFT ( b+h RIGHT ) -g LEFT ( b RIGHT )} over {h}} `= lim _{h`->`0-} {{g LEFT ( b+h RIGHT ) -g LEFT ( b RIGHT )} over {h}}]

[eqn: lim _{h` -> `0+} {{g LEFT ( b+h RIGHT ) -g LEFT ( b RIGHT )} over {h}} `= lim _{h` -> `0+} {{LEFT { f LEFT ( b+h RIGHT ) -a RIGHT } -0} over {h}}]

[eqn: = lim _{h`->`0+} {{f LEFT ( b+h RIGHT ) -f LEFT ( b RIGHT )} over {h}}]

[eqn: =f`' LEFT ( b RIGHT )]

[eqn: lim _{h` -> `0-} {{g LEFT ( b+h RIGHT ) -g LEFT ( b RIGHT )} over {h}} `=0]

[eqn: therefore] [eqn: f`' LEFT ( b RIGHT ) =0]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =e ^{-2x+1} -2xe ^{-2x+1} =LEFT ( 1-2x RIGHT ) e ^{-2x+1}]이므로
[eqn: f`' LEFT ( b RIGHT ) =LEFT ( 1-2b RIGHT ) e ^{-2b+1} =0] [eqn: therefore] [eqn: b= {1} over {2}]

[eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {2}]이므로 [eqn: a= {1} over {2}]

따라서 [eqn: ab= {1} over {2} ` TIMES {1} over {2} `= {1} over {4}]

17. [출제의도] 이차곡선의 성질 추론하기

[eqn: rm {bar{PM}} = {bar{PF}}], [eqn: rm {bar{PM}} = {bar{MF prime }}]이고 [eqn: rm {bar{MF prime }} = {bar{MF}}]이므로

삼각형 [eqn: rmPMF]는 정삼각형이고 [eqn: rm ANGLE F prime FP=90°]
[eqn: rm {bar{MO}} =1]이므로 [eqn: rm {bar{PF}} =2], [eqn: rm {bar{PF'}} =4], [eqn: rm {bar{FF prime }} =2 sqrt {3}]

장축의 길이가 [eqn: 2LEFT | a RIGHT | =2+4=6]이므로 [eqn: LEFT | a RIGHT |=3]

[eqn: { a^2 - b^2 } = 3]에서 [eqn: b^2 = 6]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =15]

18. [출제의도] 로그함수의 접선을 활용하여 문제해결하기

[eqn: y=lnx]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: y`'= {1} over {x}]

점 [eqn: rmP LEFT ( `itt,``lnt RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-lnt= {1} over {t} LEFT ( x-t RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: r LEFT ( t RIGHT ) =t-t`lnt]

점 [eqn: rmQ LEFT ( `it2t,``ln2t RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-ln2t= {1} over {2t} LEFT ( x-2t RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: s LEFT ( t RIGHT ) =2t-2t`ln2t]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =r LEFT ( t RIGHT ) -s LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( 2ln2-1 RIGHT ) t+t`lnt]

[eqn: f`' LEFT ( t RIGHT ) =2ln2+lnt=0]에서 [eqn: t= {1} over {4}]

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: t]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: cdots]
[eqn: f` prime LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: SEARROW]	[eqn: - 1 over 4]	[eqn: NEARROW]

따라서 극솟값은 [eqn: - {1} over {4}]

19. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

선분 [eqn: RM PQ]를 한 변으로 하는 정삼각형의 넓이 [eqn: S` LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: S` LEFT ( x RIGHT ) = {sqrt {3}} over {4} LEFT { sqrt {x LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) sin LEFT ( x ^{2} RIGHT ) ^{`}} RIGHT } ^{2}]

입체도형의 부피 [eqn: V`]는

[eqn: V= int _{0} ^{sqrt {pi}} {{sqrt {3}} over {4} x LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) sin LEFT ( x ^{2} RIGHT ) dx}]

[eqn: x ^{2} =t]라 하면 [eqn: 2x {dx} over {dt} =1]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=0], [eqn: x= sqrt {pi}]일 때 [eqn: t=pi]이므로

[eqn: V= {sqrt {3}} over {8} int _{0} ^{pi } {LEFT ( t+1 RIGHT ) sint`dt}]

[eqn: u LEFT ( t RIGHT ) =t+1], [eqn: v' LEFT ( t RIGHT ) =sint]

[eqn: u' LEFT ( t RIGHT ) =1],   [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =`-cost]

[eqn: V= {sqrt {3}} over {8} TIMES LEFT [ - LEFT ( t+1 RIGHT ) cost pile{`#`} RIGHT ] _{0} ^{pi } - {sqrt {3}} over {8} int _{0} ^{pi } {LEFT ( -cost RIGHT ) dt}]

[eqn: = {sqrt {3} LEFT ( pi+2 RIGHT )} over {8}]

20. [출제의도] 확률의 성질을 활용하여 문제해결하기

주머니에서 임의로 [eqn: 5]개의 공을 동시에 꺼내는
방법의 수는 [eqn: {} _{10} rmC _{5} =252]

ⅰ) 연속된 세 수가 [eqn: LEFT { `1,``2,``3 RIGHT }]인 경우

[eqn: 4]를 제외한 [eqn: 6]개 중 [eqn: 2]개를 선택하므로 [eqn: {} _{6} rm C _{2} =15]
ⅱ) 연속된 세 수가 [eqn: LEFT { `8,``9,``10 RIGHT }]인 경우

[eqn: 7]을 제외한 [eqn: 6]개 중 [eqn: 2]개를 선택하므로 [eqn: {} _{6} rm C _{2} =15]
ⅲ) 연속된 세 수가 [eqn: LEFT { `n+1,``n+2,``n+3 RIGHT }]

([eqn: n =1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6])인 경우

[eqn: n]과 [eqn: n+4]를 제외한 [eqn: 5]개 중 [eqn: 2]개를 선택하므로

[eqn: 6times _{5} rmC _{2} =60]
ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) = 90]

따라서 [eqn: rmP LEFT ( itA RIGHT ) = {90} over {252} = {5} over {14}]

21. [출제의도] 평면곡선의 접선의 성질 추론하기

타원 [eqn: {x ^{2}} over {k ^{2}} +y ^{2} =1]은 네 점 [eqn: LEFT ( `k,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `-k,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `0,``1 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( `0,``-1 RIGHT )]을 네 꼭짓점으로 하는 타원이다.

타원 [eqn: {x ^{2}} over {k ^{2}} +y ^{2} =1]과 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가

접할 때 [eqn: k]의 값을 구하자.

[eqn: {x ^{2}} over {k ^{2}} +y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: LEFT ( `x _{1`} ,``y _{1} RIGHT )]([eqn: x_1 >0])에서의 접선의
방정식을 구하면

[eqn: {dy} over {dx} =`- {x} over {k ^{2} y}]이므로 접선의 기울기는 [eqn: - {x _{1}} over {k ^{2} y _{1}}]이고

접선의 방정식은 [eqn: y-y _{1} =`- {x _{1}} over {k ^{2} y _{1}} LEFT ( x-x _{1} RIGHT )]([eqn: y _{1} != 0])

[eqn: therefore] [eqn: y=`- {x _{1}} over {k ^{2} y _{1}} x+ {1} over {y _{1}}]

타원이 직선 [eqn: y=`-x+2]에 접하므로

[eqn: {x _{1}} over {k ^{2} y _{1}} =1], [eqn: {1} over {y _{1}} =2] [eqn: therefore] [eqn: x _{1} = { k^2} over {2 }], [eqn: y _{1} = {1} over {2}]

점 [eqn: LEFT ( `x _{1} ,``y _{1} RIGHT )]은 [eqn: y=`-x+2] 위의 점이므로
[eqn: k ^{2} = 3] [eqn: THEREFORE] [eqn: k= sqrt { 3}]

[eqn: 1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: -1]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {k ^{2}} +y ^{2} =1]이 점 [eqn: LEFT ( `2,``0 RIGHT )]을 지날 때, [eqn: k=2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) = {cases{`0 _{`} ^{`}&``````` LEFT ( 1<k< sqrt {3} RIGHT ) _{`} ^{`}#`2 _{`} ^{`}&``````` LEFT ( k= sqrt {3} RIGHT ) _{`} ^{`}#`4 _{`} ^{`}&``````` LEFT ( sqrt {3} <k LEQ 2 RIGHT ) _{`} ^{`}#`2 _{`} ^{`}&``````` LEFT ( k>2 RIGHT ) _{`} ^{`}}}]

따라서 함수 [eqn: g LEFT ( k RIGHT )]는 [eqn: k= sqrt {3}], [eqn: k=2]에서 불연속이고,불연속이 되는 모든 [eqn: k]의 값들의 제곱의 합은
[eqn: LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} +2 ^{2} =7]

22. [출제의도] 이항정리의 뜻 이해하기

다항식 [eqn: LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ^{5}]의 전개식의 일반항
[eqn: {} _{5} rm C _{it r rm} LEFT ( 2itx RIGHT ) ^{5-itr} = _{5} rm C _{it r rm} 2 ^{5-itr} itx ^{5-itr}]

[eqn: 5-r=3] [eqn: therefore] [eqn: r=2]

따라서 [eqn: x ^{3}]의 계수는 [eqn: {} _{5} rm C _{2} TIMES 2 ^{3} =80]

23. [출제의도] 확률의 덧셈정리 이해하기

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 배반사건이므로

[eqn: rm P LEFT ( it B RIGHT ) = rm P LEFT ( it A CUP B RIGHT ) - rm P LEFT ( it A RIGHT ) =0.61]

따라서 [eqn: alpha =0.61]이고 [eqn: 100 alpha =61]

24. [출제의도] 이차곡선의 성질 이해하기

두 점근선의 방정식이 [eqn: y=x], [eqn: y= `-x]이므로
[eqn: {b} over {a} =`±1] [eqn: therefore] [eqn: b^2 = a^2] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

점 [eqn: LEFT ( `5,``3 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: {25} over {a ^{2}} - {9} over {b ^{2}} =1] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: a^2 = 16]

따라서 주축의 길이는 [eqn: 2 LEFT | a RIGHT | =8]

25. [출제의도] 여러 가지 적분법 이해하기

[eqn: int _{1} ^{5} {LEFT ( {1} over {x+1} + {1} over {x} RIGHT ) dx= LEFT [ `ln LEFT | x+1 RIGHT | +ln LEFT | x RIGHT | pile{`#`} RIGHT ] _{1} ^{5}}]

[eqn: =ln6+ln5-ln2]

[eqn: =ln15][eqn: = ln alpha]

따라서 [eqn: alpha =15]

26. [출제의도] 삼각함수의 그래프의 성질 추론하기

[eqn: y=cosx+ {1} over {4}]의 그래프는 [eqn: y=cosx]의 그래프를
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: {1} over {4}]만큼 평행이동한 그래프이므로
주기는 [eqn: 2pi], 치역은 [eqn: LEFT { ``y ```LEFT □- {3} over {4} LEQ y LEQ {5} over {4} RIGHT } RIGHT .]이다.

[eqn: y= LEFT | cosx+ {1} over {4} RIGHT |]의 그래프는 [eqn: y=cosx+ {1} over {4}]의
그래프에서 [eqn: y<0]인 부분을 [eqn: x]축에 대하여
대칭이동시켜 얻은 그래프이다.

[eqn: y= LEFT | cosx+ {1} over {4} RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: y= 3 over 4]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: pi]

[eqn: 2 pi]

[eqn: 5 over 4]

[eqn: y= LEFT | cosx+ {1} over {4} RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가
서로 다른 세 점에서 만나는 [eqn: k]의 값은 [eqn: {3} over {4}]

따라서 [eqn: alpha= {3} over {4}]이고 [eqn: 40alpha=30]

27. [출제의도] 여러 가지 적분법 추론하기

(가)와 (나)에서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) =1], [eqn: f` LEFT ( 1 RIGHT ) =1]

[eqn: 1 LEQ x LEQ 2]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 연속이고
[eqn: 1<x<2]에서 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 1]

[eqn: int _{0} ^{6} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=3 int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}}]

[eqn: =3 int _{0} ^{1} {LEFT ( sin`pix+1 RIGHT ) dx+3 int _{1} ^{2} {dx}}]

[eqn: =3 times LEFT [ - {1} over {pi } `cos` pi x+x RIGHT ] _{0} ^{1} +3]

[eqn: =6+ {6} over {pi}]

따라서 [eqn: p=6], [eqn: q=6]이고 [eqn: p+q`=12]

28. [출제의도] 중복조합 이해하기

(나)에서 자연수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w] 중 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가
[eqn: 1]인 수 [eqn: 2]개를 선택하고 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2]인
수 [eqn: 2]개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: {} _{4} rm C _{2} times _{2} C _{2} =6]

[eqn: x], [eqn: y]가 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 1]인 수,

[eqn: z], [eqn: w]는 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2]인 수라 하면

[eqn: x=3x prime +1], [eqn: `y=3y prime +1], [eqn: z=3z prime +2`], [eqn: w=3w prime +2`]
[eqn: (][eqn: x'], [eqn: y'], [eqn: z'], [eqn: w']은 음이 아닌 정수[eqn: )]

(가)에서 [eqn: x+y+z+w=18]

[eqn: (3x prime +1)+`(`3y prime +1)+`(3z prime +2)+(3w prime +2)`=18]

[eqn: x prime +y prime +z prime +w prime =4````` CDOTS CDOTS `㉠]

이때 [eqn: ㉠]을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수는
[eqn: 4]개의 문자 [eqn: x'], [eqn: y'], [eqn: z'], [eqn: w']에서 [eqn: 4]개를 선택하는
중복조합의 수와 같으므로
[eqn: {} _{4} rm H _{4} =][eqn: {} _{4+4-1} rm C _{4} = _{7} C _{4} =35]

따라서 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `x,``y,``z,``w RIGHT )]의 개수는
[eqn: 6 TIMES 35=210]

29. [출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmO],

선분 [eqn: rmPB]와 호 [eqn: rmPB]에 접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{1}],

삼각형 [eqn: rmABQ]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: rm C],
반지름의 길이를 [eqn: r _{2}]라 하자.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmO]

[eqn: rmP]

[eqn: rmM]

[eqn: rmC]

[eqn: rm rmQ]

[eqn: theta]

[eqn: angle{rmMOB}=theta]이고 [eqn: bar{rmOB}=1]이므로 [eqn: bar{rmOM}=costheta]

[eqn: therefore] [eqn: r _{1} = {1-cos theta } over {2}], [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) = pi LEFT ( {1-cos theta } over {2} RIGHT ) ^{2}]

삼각형 [eqn: rmC AO]는 [eqn: ANGLE rm AOC it =90°]인 직각삼각형이고
[eqn: angle{rmC AO}= {theta} over {2}], [eqn: bar{rmOA}=1]

[eqn: therefore] [eqn: r _{2} =tan {theta } over {2}], [eqn: T` LEFT ( theta RIGHT ) = pi `tan ^{2} {theta } over {2}]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMES `T` LEFT ( theta RIGHT )} over {S` LEFT ( theta RIGHT ) ^{`}}} = lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMES ` pi `tan ^{2} {theta } over {2}} over {pi LEFT ( {1-cos theta } over {2} RIGHT ) ^{2}}}]

[eqn: = lim _{theta`->`0+} {{4theta ^{2} times`tan ^{2} {theta} over {2}} over {LEFT ( 1-costheta RIGHT ) ^{2}}}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} left {4 TIMES {theta ^{4}} over {sin ^{4} theta } TIMES {1} over {4} TIMES {tan ^{2} {theta } over {2}} over {LEFT ( {theta } over {2} RIGHT ) ^{2}} TIMES LEFT ( 1+cos theta RIGHT ) ^{2}right}]

[eqn: =4times {1} over {4} times4=4]

30. [출제의도] 여러 가지 미분법을 활용하여 문제해결하기

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | e ^{x} -2 RIGHT |]라 하자.

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=1]의
교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( `0,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `ln3,``1 RIGHT )]
[eqn: f` LEFT ( t RIGHT )]는 한 변의 길이가 [eqn: t]인 정사각형의 꼭짓점이
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 만날 때 정해진다.

[eqn: 0<t`le`ln3]이면 두 점에서 만나고

[eqn: t`>`ln`3]이면 한 점에서 만날 때이다.

ⅰ) [eqn: 0<t le ln3]일 때

[eqn: t]

[eqn: a]

[eqn: a+t]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: y= LEFT | e^x -2RIGHT |]

[eqn: t over 2]

정사각형과 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 두 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]와
[eqn: a+t]라 하면 두 교점의 좌표는

[eqn: LEFT ( `a,``2-e ^{a} RIGHT )], [eqn: LEFT ( `a+t,``e ^{a+t} -2 RIGHT )]

두 교점의 [eqn: y]좌표가 같으므로 [eqn: e ^{a} = {4} over {e ^{t} +1}]이고,
[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = 2-e^a + t over 2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =2- {4} over {e ^{t} +1} + {t} over {2}]

ⅱ) [eqn: t >ln3]일 때

[eqn: y]

[eqn: y= LEFT | e ^{x} -2 RIGHT |]

[eqn: t]

[eqn: rm O]

[eqn: t over 2]

[eqn: x]

[eqn: t]

[eqn: 1]

정사각형과 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( `t,``e ^{t} -2 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =e ^{t} -2+ {t} over {2}]

그러므로 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {cases{`2- {4} over {e ^{t} +1} + {t} over {2}&~ LEFT ( 0<t LEQ ln3 RIGHT )#`````````e ^{t} -2+ {t} over {2}&~ LEFT ( t>ln3 RIGHT )}}]

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]의 도함수 [eqn: f` prime LEFT ( t RIGHT )]는

[eqn: f` prime LEFT ( t RIGHT ) = {cases{` {4e ^{t}} over {LEFT ( e ^{t} +1 RIGHT ) ^{2}} + {1} over {2}&~ LEFT ( 0<t<ln3 RIGHT )#``````````````e ^{t} + {1} over {2}&~ LEFT ( t>ln3 RIGHT )}}]

[eqn: f`' LEFT ( ln2 RIGHT ) +f`' LEFT ( ln5 RIGHT ) = {25} over {18} + {11} over {2} = {62} over {9}]

따라서 [eqn: p=9], [eqn: q=62]이고 [eqn: p+q=71]

[나 형]

1	④	2	③	3	①	4	②	5	④
6	③	7	③	8	①	9	⑤	10	⑤
11	①	12	③	13	②	14	②	15	⑤
16	②	17	④	18	⑤	19	④	20	①
21	②	22	8	23	121	24	3	25	15
26	80	27	27	28	210	29	725	30	56

1. [출제의도] 지수의 성질을 알고 계산하기

[eqn: 4 TIMES 16 ^{{1} over {4}} =4 TIMES LEFT ( 2 ^{4} RIGHT ) ^{{1} over {4}} =4 TIMES 2=8]

2. [출제의도] 집합의 원소의 개수 계산하기

[eqn: A-B= LEFT { `3,``9,``15 RIGHT }]이므로 원소의 개수는 [eqn: 3]

3. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{9n-1} over {2n+5}} = lim _{n` -> ` INF } {{9- {1} over {n}} over {2+ {5} over {n}} = {9} over {2}}]

4. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log _{`b} `a= {log _{`2} `a} over {log _{`2} `b} = {54} over {9} =6]

5. [출제의도] 등비수열 이해하기

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a _{1}], 공비를 [eqn: r]라 할 때,

[eqn: {a _{10}} over {a _{2}} = {80} over {5}]에서 [eqn: {a _{1} r ^{9}} over {a _{1} r} =16]

[eqn: r ^{8} =16]이므로 [eqn: r ^{4} =4]

따라서 [eqn: {a _{5}} over {a _{1}} = {a _{1} r ^{4}} over {a _{1}} =r ^{4} =4]

6. [출제의도] 함수의 연속 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
[eqn: x=1]에서 연속이다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2-a]이고 [eqn: lim _{x` -> `1-} {LEFT ( ax-4 RIGHT )} `= lim _{x` -> `1+} {LEFT ( 2x-a RIGHT )}]이므로

[eqn: a-4`=2-a]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=3]

7. [가형 6번과 동일]

8. [출제의도] 명제 추론하기

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R`]라 하자.

명제 [eqn: p` -> ` SIM q]가 참이므로 대우 [eqn: q` -> ` SIM p]도 참이다.

그러므로 [eqn: Q SUBSET P ^{C}]이고 명제 [eqn: r` -> `q]가 참이므로 [eqn: R SUBSET Q]

따라서 [eqn: R SUBSET Q SUBSET P ^{C}]이 성립하므로 [eqn: R SUBSET P ^{C}]이다.

[eqn: THEREFORE] 명제 [eqn: r` -> ` SIM p]가 항상 참이다.

9. [출제의도] 거듭제곱근 이해하기

[eqn: 16]의 네제곱근을 [eqn: x]라 하면

[eqn: x ^{4} =16]이므로 [eqn: x ^{4} -16= LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +4 RIGHT ) =0]

[eqn: x=`±2] 또는 [eqn: x=`±2i]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=2] 또는 [eqn: a=`-2]

[eqn: -27]의 세제곱근을 [eqn: x]라 하면

[eqn: x ^{3} =`-27]이므로 [eqn: x ^{3} +27= LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -3x+9 RIGHT ) =0]

[eqn: x=`-3] 또는 [eqn: x= {3±3 sqrt {3} i} over {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: b=`-3]

그러므로
[eqn: a-b=2- LEFT ( -3 RIGHT ) =5] 또는 [eqn: a-b=`-2- LEFT ( -3 RIGHT ) =1]

따라서 [eqn: a-b]의 최댓값은 [eqn: 5]

10. [출제의도] 순열 이해하기

홀수 번호가 적힌 [eqn: 3]개의 의자 중에서 [eqn: 2]개의 의자를

택하여 아버지, 어머니가 앉는 경우의 수는
[eqn: {} _{3} ` rm P _{2} =3 TIMES 2=6]

나머지 [eqn: 3]개의 의자에 할머니, 아들, 딸이 앉는 경우의 수는 [eqn: {} _{3} ` rm P _{3} =3 TIMES 2 TIMES 1=6]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 TIMES 6=36]

11. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 3a _{n} - {1} over {4} RIGHT ) =4]이므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 3a _{n} - {1} over {4} RIGHT ) =0}]

[eqn: 3a _{n} - {1} over {4} =b _{n}]이라 하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`b _{n} =0}]

[eqn: a _{n} = {1} over {3} b _{n} + {1} over {12}]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n} = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {1} over {3} b _{n} + {1} over {12} RIGHT ) = {1} over {12}}}]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n} = {1} over {12}}]

12. [출제의도] 명제 추론하기

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q`]라 하면

[eqn: SIM p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이므로

[eqn: Q` SUBSET P ^{C} ``` LRARROW `P` SUBSET Q` ^{C} `]

[eqn: P`= LEFT { x│a LEQ x LEQ a+2 RIGHT }], [eqn: Q ^{C} `= LEFT { x│5 LEQ x LEQ 9 RIGHT }]

[eqn: 5]

[eqn: a]

[eqn: a+2]

[eqn: 9]

[eqn: x]

[eqn: THEREFORE] [eqn: P` SUBSET Q ^{C} `]을 만족시키는 정수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]
따라서 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 18]

13. [출제의도] 무리함수 그래프의 평행이동 이해하기

함수 [eqn: y=`- sqrt {x-2} +2]의 그래프는

함수 [eqn: y= sqrt {x+2}]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭

이동한 후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼, [eqn: y]축의 방향으로

[eqn: 2]만큼 평행이동한 것이다.
그러므로 [eqn: m=4], [eqn: n=2]

따라서 [eqn: m+n=6]

14. [출제의도] 함수의 극한 문제해결하기

점 [eqn: rm P LEFT ( it `a,``a RIGHT )]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선 [eqn: y=a`]와

두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점은 각각 [eqn: rm A LEFT ( ` it a ^{2} -2,``a RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( ` it a ^{2} -4a+6,`` it a RIGHT )]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: {bar{rm AB it}} = it LEFT ( a ^{2} -4a+6 RIGHT ) - LEFT ( a ^{2} -2 RIGHT ) =`-4a+8`]

점 [eqn: rm B]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선 [eqn: x=a ^{2} -4a+6]과

함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점은
[eqn: rm C LEFT ( it `a ^{2} -4a+6,``a ^{2} -4a+6 RIGHT )]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: {bar{rm BC it}} = LEFT ( it a ^{2} -4a+6 RIGHT ) -a`=a ^{2} -5a+6`]

따라서 [eqn: lim _{a` -> `2-} {{{bar{rm BC it}}} over {{bar{rm AB it}}} `} = lim _{a` -> `2-} {{it a ^{2} -5a+6} over {-4a+8}}]

[eqn: = lim _{a` -> `2-} {{it LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT )} over {-4 LEFT ( a-2 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{a` -> `2-} {{a-3} over {-4} = {1} over {4}}]

15. [출제의도] 수열의 극한 문제해결하기

[eqn: rm {bar{OA _{itn}}} = sqrt {itn ^{2} +n ^{4}}]

점 [eqn: rm A _{it n rm} LEFT ( ` it n,``n ^{2} RIGHT )]을 지나고 기울기가 [eqn: - sqrt {3}]인

직선의 방정식은 [eqn: y=`- sqrt {3} x+n ^{2} + sqrt {3} n]이다.
이 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점은 [eqn: rm B _{it n rm} LEFT ( ` {itn ^{2}} over {sqrt {3}} +itn,``0 RIGHT )]이므로
[eqn: rm {bar{OB _{it n rm}}} =it {n ^{2}} over {sqrt {3}} +n]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{rm {bar{OB _{it n rm}}} it} over {rm {bar{OA _{it n rm}}} it}} = lim _{n` -> ` INF } {{{n ^{2}} over {sqrt {3}} +n} over {sqrt {n ^{2} +n ^{4}}}}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{{1} over {sqrt {3}} + {1} over {n}} over {sqrt {{1} over {n ^{2}} +1}}} = {1} over {sqrt {3}} = {sqrt {3}} over {3}]

16. [출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기

[eqn: sqrt {3} H _{A} =2H _{B} `], [eqn: L _{A} =2L _{B} `]이므로

[eqn: {H _{A}} over {H _{B}} = {{k} over {L _{A}} `log {1} over {S _{A}}} over {{k} over {L _{B}} `log {1} over {S _{B}}}][eqn: = {{k} over {2L _{B}} `log {1} over {S _{A}}} over {{k} over {L _{B}} `log {1} over {S _{B}}}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {`log`S _{A}} over {`log`S _{B}} = {2} over {sqrt {3}}]

[eqn: {log`S _{A}} over {`log`S _{B}} = {4} over {sqrt {3}} = {4 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: log _{`S _{B}} `S _{A} = {4 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: S _{A} = LEFT ( S _{B`} RIGHT ) ^{{4 sqrt {3}} over {3}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p= {4 sqrt {3}} over {3}]

17. [출제의도] 함수 이해하기

[eqn: f(x)]는 ‘[eqn: 2x]를 [eqn: 5]로 나눈 나머지’이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )=3]이다.

함수 [eqn: g`:`X` -> `X`]는 집합 [eqn: X`]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여

[eqn: (`f` CIRC g)(x)=(g CIRC f`) LEFT ( x RIGHT )]를 만족시키므로

[eqn: (`f` CIRC g)(1)=(g CIRC f`) LEFT ( 1 RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT ) =1]

[eqn: (`f` CIRC g)(2)=(g CIRC f`) LEFT ( 2 RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =g LEFT ( 4 RIGHT ) =2]

[eqn: (`f` CIRC g)(4)=(g CIRC f`) LEFT ( 4 RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =g LEFT ( 3 RIGHT ) =4]

[eqn: (`f` CIRC g)(0)=(g CIRC f`) LEFT ( 0 RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 0 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =0] 이어야 한다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) +g LEFT ( 3 RIGHT ) =0+4=4]

18. [출제의도] 수학적 귀납법 추론하기

(1) [eqn: n=1]일 때,

(좌변)[eqn: = {4} over {3}], (우변)[eqn: =3- {5} over {3} = {4} over {3}]이므로
(*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=k]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: {4} over {3 ^{`}} + {8} over {3 ^{2}} + {12} over {3 ^{3}} +` CDOTS `+ {4k} over {3 ^{k}} =3- {2k+3} over {3 ^{k}}]
이다.

위 등식의 양변에 [eqn: {4 LEFT ( k+1 RIGHT )} over {3 ^{k+1}}]을 더하여 정리하면
[eqn: LEFT . {4} over {3 ^{`}} + {8} over {3 ^{2}} + {12} over {3 ^{3}} +` CDOTS `+ {4k} over {3 ^{k}} + {4 LEFT ( k+1 RIGHT )} over {3 ^{k+1}} RIGHT .]

[eqn: LEFT . =3- {1} over {3 ^{k}} LEFT { `(2k+3)-(` {BOX{`````` {4k+4} over {3 ^{{} ^{}}} `````}} `)` RIGHT } RIGHT .]

[eqn: LEFT . =3- {1} over {3 ^{k}} LEFT ( {2} over {3} k+ {5} over {3} RIGHT ) RIGHT .]

[eqn: =3- {{BOX{```2 LEFT ( k+1 RIGHT ) +3``}} `} over {3 ^{k+1}}]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 (*)이 성립한다.
(1), (2)에 의하여

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) = {4k+4} over {3}], [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =2 LEFT ( k+1 RIGHT ) +3]

따라서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 2 RIGHT ) = {16} over {3} TIMES 9=48]

19. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

주어진 조건을 만족하는 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]를
벤 다이어그램으로 나타내면

또는

[eqn: C]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: U]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: 6]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 7]

[eqn: C]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: U]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: 6]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 7]

따라서 [eqn: A SMALLINTER LEFT ( B ^{C} CUP C` RIGHT ) = LEFT { `1,``3,``5 RIGHT }]

20. [출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

그림 [eqn: R _{1}]에서
[eqn: S _{1} =2 TIMES LEFT ( {1} over {4} TIMES 2 ^{2} TIMES pi - {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2 RIGHT ) =2 LEFT ( pi -2 RIGHT )]

다음은 그림 [eqn: R _{n+1}]의 일부이다.

[eqn: rm B _{it n rm}]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rmE _{itn}]

[eqn: rm D _{itn}]

[eqn: rm C _{itn}]

[eqn: rm F _{it n rm}]

[eqn: rm A _{it n rm +1}]

[eqn: rm B _{it n rm +1}]

[eqn: rm C _{it n rm +1}]

[eqn: rm D _{it n rm +1}]

그림에서 [eqn: {bar{rm A _{it n rm} B _{it n rm} it}} =a]라 하자. 두 선분 [eqn: RMA _{ITn} B _{ITn}], [eqn: rm B _{it n rm} C _{it n rm}]을 각각 [eqn: 3:1]로 내분하는 두 점을 [eqn: rm E _{itn}], [eqn: rm F _{itn}]이라 하면,

[eqn: rm {bar{B _{itn} E _{itn}}} = {1} over {4} ita], [eqn: rm {bar{B _{it n rm} F _{it n rm}}} = {3} over {4} it a]

[eqn: rm {bar{E _{it n rm} F _{it n rm}}} = sqrt {LEFT ( {bar{B _{it n rm} E _{it n rm}}} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {bar{B _{it n rm} F _{it n rm}}} RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {10}} over {4} ita]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {bar{rm A _{it n rm +1} B _{it n rm +1} it}} = {sqrt {2}} over {2} {bar{rm E _{it n rm} rm F _{it n rm} it}}]

[eqn: = {sqrt {2}} over {2} TIMES {sqrt {10}} over {4} a= {sqrt {5}} over {4} {bar{rm A _{itn} B _{itn} _{it}}}]

두 정사각형 [eqn: rm A _{it n rm} B _{it n rm} C _{itn} D _{itn}], [eqn: rm A _{it n+1 rm} B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm} D _{it n+1 rm}]은
서로 닮음이고, 닮음비는 [eqn: `1: {sqrt {5}} over {4}]이다.
그러므로 그림 [eqn: R _{n}]에서 새로 얻어진  모양의 도형과 그림 [eqn: R _{n+1}]에서 새로 얻어진  모양의 도형도 서로 닮음이고 닮음비가 [eqn: `1: {sqrt {5}} over {4}]이다.

따라서 [eqn: S _{n}]은 첫째항이 [eqn: 2 LEFT ( pi -2 RIGHT )]이고 공비가
[eqn: LEFT ( {sqrt {5}} over {4} RIGHT ) ^{2} = {5} over {16}]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{n->inf} {S _{n} = {2 LEFT ( pi -2 RIGHT )} over {1- {5} over {16}}} = {32} over {11} LEFT ( pi -2 RIGHT )]

21. [출제의도] 수열의 극한 문제해결하기

집합 [eqn: S _{n}]의 부분집합 중 원소의 개수가 두 개인
집합에 대하여 이 두 원소의 차가 [eqn: 2n]보다 큰 임의의
두 원소를 [eqn: a], [eqn: b][eqn: LEFT ( a<b RIGHT )]라 하자.
[eqn: b-a>2n]이므로 [eqn: b>a+2n`] (단, [eqn: 1 LEQ a<b LEQ 3n])

[eqn: a=1`]일 때, [eqn: b=2n+2`], [eqn: 2n+3], [eqn: CDOTS] , [eqn: 3n]
[eqn: LEFT { `1,``2n+2 RIGHT }], [eqn: LEFT { `1,``2n+3 RIGHT }], [eqn: CDOTS] , [eqn: LEFT { `1,``3n RIGHT }] : [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT )]개

[eqn: a=2`]일 때, [eqn: b=2n+3], [eqn: 2n+4], [eqn: CDOTS] , [eqn: 3n]

[eqn: LEFT { `2,``2n+3 RIGHT }], [eqn: CDOTS] , [eqn: LEFT { `2,``3n RIGHT }] : [eqn: LEFT ( n-2 RIGHT )]개

⦙

[eqn: a=n-1`]일 때, [eqn: b=`3n`]

[eqn: LEFT { `n-1,``3n RIGHT }] : [eqn: 1]개

[eqn: n LEQ a<3n]일 때, [eqn: b]는 없으므로 [eqn: 0]개

그러므로 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가 [eqn: 2n]보다 큰 집합 [eqn: S _{n}]의 모든 부분집합의 개수 [eqn: a _{n}]은

[eqn: a _{n} =][eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) + LEFT ( n-2 RIGHT ) +` CDOTS `+1= {n LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = sum _{k=1} ^{n} {k LEFT ( k-1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6} - {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} RIGHT } = {n ^{3} -n} over {6}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ` lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{3}} sum _{k=1} ^{n} a _{k}} `= lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {1} over {n ^{3}} TIMES {n ^{3} -n} over {6} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{1- {1} over {n ^{2}}} over {6}} = {1} over {6}]

22. [가형 2번과 동일]

23. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{6} LEFT ( k ^{2} +5 RIGHT ) = sum _{k=1} ^{6} k ^{2} + sum _{k=1} ^{6} 5]

[eqn: = {6 TIMES 7 TIMES 13} over {6} +5 TIMES 6=121]

24. [출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: f(5)= {4} over {5-1} +4=5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 5 RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( 5 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 5 RIGHT ) = sqrt {5+4} =3]

25. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `9} {{x-a} over {sqrt {x} -3}} =b]에서 [eqn: lim _{x`->`9} {LEFT ( sqrt {x} -3 RIGHT ) =0}]이므로

[eqn: lim _{x` -> `9} {LEFT ( x-a RIGHT )} =9-a=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=9]

[eqn: lim _{x` -> `9} {{x-9} over {sqrt {x} -3}} = lim _{x` -> `9} {{LEFT ( x-9 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x} +3 RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {x} -3 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x} +3 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{x` -> `9} {{LEFT ( x-9 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x} +3 RIGHT )} over {x-9}}]

[eqn: = lim _{x` -> `9} {LEFT ( sqrt {x} +3 RIGHT )} =6=b]

[eqn: THEREFORE] [eqn: b=6]

따라서 [eqn: a+b=15]

26. [출제의도] 등차수열 이해하기

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 공차를 [eqn: d]라 하면, [eqn: a=b-d], [eqn: c=b+d]

(가)에서 [eqn: {2 ^{a} times2 ^{c}} over {2 ^{b}} =2 ^{a+c-b} =2 ^{LEFT ( b-d RIGHT ) + LEFT ( b+d RIGHT ) -b} =2 ^{b} =32]

[eqn: THEREFORE] [eqn: b=5]

(나)에서 [eqn: a+c+ca]
[eqn: = LEFT ( 5-d RIGHT ) + LEFT ( 5+d RIGHT ) + LEFT ( 5+d RIGHT ) LEFT ( 5-d RIGHT )]

[eqn: =35-d ^{`2} =26]

[eqn: THEREFORE] [eqn: d=`±3]

그러므로 [eqn: a=2], [eqn: b=5], [eqn: c=8] 또는 [eqn: a=8], [eqn: b=5], [eqn: c=2]

따라서 [eqn: abc=80]

27. [출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]의 좌표를 [eqn: a]라 하자.

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )] [eqn: a>0]일 때,

[eqn: y=`-x]

[eqn: rmO]

[eqn: rmP]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm R]

[eqn: rmQ]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: a]

[eqn: rm P][eqn: LEFT ( `a,`` {3} over {a} RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( ` it a,``-a RIGHT )], [eqn: rm R LEFT ( `- it {12} over {a} ,``-a RIGHT )]이므로

[eqn: rm {bar{PQ}}=ita+ {3} over {a}], [eqn: rm {bar{QR}} = it a+ {12} over {a}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {bar{rm PQ it}} TIMES {bar{rm QR it}} = LEFT ( a+ {3} over {a} RIGHT ) LEFT ( a+ {12} over {a} RIGHT ) `=a ^{2} + {36} over {a ^{2}} +15]
[eqn: GEQ 2 sqrt {a ^{2} TIMES {36} over {a ^{2}}} +15`=27]
등호가 성립하는 경우는 [eqn: a ^{2} = {36} over {a ^{2}}], 즉 [eqn: a= sqrt {6}]일 때이다.

그러므로 [eqn: a=` sqrt {6}]일 때, [eqn: {bar{rm PQ it}} TIMES {bar{rm QR it}}]는 최솟값 [eqn: 27]을
갖는다.

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )] [eqn: a<0]일 때,

[eqn: rm P][eqn: LEFT ( `a,`` {12} over {a} RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( ` it a,``-a RIGHT )], [eqn: rm R LEFT ( `- it {3} over {a} ,``-a RIGHT )]이므로
[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )]에서와 같이
[eqn: a=`- sqrt {6}]일 때, [eqn: {bar{rm PQ it}} TIMES {bar{rm QR it}}]는 최솟값 [eqn: 27]을 갖는다.따라서 [eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )], [eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )]에 의하여 [eqn: {bar{rm PQ it}} TIMES {bar{rm QR it}}]의 최솟값은 [eqn: 27]

28. [가형 28번과 동일]

29. [출제의도] 수열의 합 문제해결하기

기울기가 [eqn: 1]이고 [eqn: y]절편이 양수인 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} = {n ^{2}} over {2} `]의 접선의 방정식은 [eqn: y=x+ {n} over {sqrt {2}} sqrt {1+1 ^{2}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `y=x+n]
직선 [eqn: `y=x+n]이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점은 각각
[eqn: rm A _{it n rm} LEFT ( `- it n,``0 RIGHT )], [eqn: rm B _{it n rm} LEFT ( `0,`` it n RIGHT )]이고,
점 [eqn: rm A _{it n}]을 지나고 기울기가 [eqn: -2`]인 직선의 방정식은
[eqn: y=`-2x-2n]이므로 [eqn: rm C _{it n rm} LEFT ( `0,``-2 it n RIGHT )]

삼각형 [eqn: rm A _{it n} rm C _{it n} rm B _{it n} `]과 그 내부의 점들 중
[eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수 [eqn: a _{n}]은

[eqn: n=1]일 때, [eqn: x]좌표가 [eqn: 0]인 점의 개수는 [eqn: 4],
[eqn: x]좌표가 [eqn: -1]인 점의 개수는 [eqn: 1] 이므로
[eqn: a _{1} =1+4=5]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: x]좌표가 [eqn: 0]인 점의 개수는 [eqn: 7],
[eqn: x]좌표가 [eqn: -1]인 점의 개수는 [eqn: 4],
[eqn: x]좌표가 [eqn: -2]인 점의 개수는 [eqn: 1] 이므로
[eqn: a _{2} =1+4+7=12]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: x]좌표가 [eqn: 0]인 점의 개수는 [eqn: 10],
[eqn: x]좌표가 [eqn: -1]인 점의 개수는 [eqn: 7],
[eqn: x]좌표가 [eqn: -2]인 점의 개수는 [eqn: 4],
[eqn: x]좌표가 [eqn: -3]인 점의 개수는 [eqn: 1] 이므로
[eqn: a _{3} =1+4+7+10=22]

[eqn: VDOTS]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{n} =1+ LEFT { 4+7+10+` CDOTS `+(3n+1) RIGHT }]

[eqn: =1+ sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 3k+1 RIGHT ) = {3} over {2} n ^{2} + {5} over {2} n+1]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} `][eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( {3} over {2} n ^{2} + {5} over {2} n+1 RIGHT )]

[eqn: = {3} over {2} TIMES {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} + {5} over {2} TIMES {10 TIMES 11} over {2} +1 TIMES 10]

[eqn: =725]

[eqn: LEFT ( n=1 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( n=2 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( n=3 RIGHT )]

[eqn: CDOTS]

[eqn: 1`+`4]

[eqn: 1`+`4`+`7]

[eqn: 1`+`4`+`7`+10]

30. [출제의도] 함수의 연속 문제해결하기

주어진 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 축의 방정식이 [eqn: x=4]이고
(가)에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]은 열린 구간 [eqn: LEFT ( `0,``2 RIGHT )]에서
적어도 하나의 실근을 가지므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =a>0], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =a-12<0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 0<a<12]

(나)에서

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) g LEFT ( a RIGHT ) =7a ^{2} LEFT ( a-7 RIGHT )],

[eqn: lim _{x` -> `a+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` -> `a+} {LEFT ( x ^{2} -8x+a RIGHT ) LEFT ( 2x ^{`} +5a RIGHT )}}]

[eqn: =7a ^{2} LEFT ( a-7 RIGHT )],

[eqn: lim _{x` -> `a-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `a-} {LEFT ( x ^{2} -8x+a RIGHT ) f LEFT ( x ^{`} +4 RIGHT )}][eqn: = LEFT ( a ^{2} -8a+a RIGHT ) LEFT { LEFT ( a+4 RIGHT ) ^{2} -8 LEFT ( a+4 RIGHT ) +a RIGHT }]

[eqn: =a LEFT ( a-7 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +a-16 RIGHT )]

이고 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 연속이므로

[eqn: 7a ^{2} LEFT ( a-7 RIGHT ) =a LEFT ( a-7 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +a-16 RIGHT )]

[eqn: a LEFT ( a-7 RIGHT ) LEFT ( a-8 RIGHT ) LEFT ( a+2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=7] 또는 [eqn: a=8] ([eqn: BECAUSE] [eqn: 0<a<12])

따라서 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: 56]