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2016학년도 11월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설

• 2교시 수학 영역 •

1	④	2	②	3	①	4	⑤	5	③
6	①	7	④	8	②	9	②	10	③
11	②	12	④	13	④	14	③	15	⑤
16	①	17	⑤	18	①	19	③	20	⑤
21	③	22	7	23	12	24	10	25	18
26	8	27	25	28	11	29	16	30	106

[출제의도] 집합의 연산 이해하기

[eqn: A` SMALLINTER B`= LEFT { `1,``3 RIGHT }]이므로 모든 원소의 합은 [eqn: 1+3=4]

[출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: A-B`= LEFT ( 2x ^{2} -xy RIGHT ) - LEFT ( x ^{2} +3xy RIGHT ) =x ^{2} -4xy]

[출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: z=3+i]에서 [eqn: {bar{z`}} =3-i]
[eqn: z+ {bar{z`}} = LEFT ( 3+i RIGHT ) + LEFT ( 3-i RIGHT ) =6]

[출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

[eqn: y= sqrt {x+1} +k]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( `3,``7 RIGHT )]을 지나므로
[eqn: 7= sqrt {3+1} +k]

따라서 [eqn: k=5]

[출제의도] 이차부등식 이해하기

[eqn: x ^{2} -4x-21<0]
[eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-7 RIGHT ) <0]
[eqn: therefore] [eqn: -3<x<7]
따라서 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 9]

[출제의도] 복소수의 성질 이해하기

[eqn: z=1+ sqrt {3} i]에서

[eqn: z ^{2} -2z+1][eqn: = LEFT ( z-1 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = LEFT { LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) -1 RIGHT } ^{2}]
[eqn: = LEFT ( sqrt {3} i RIGHT ) ^{2} =`-3]

따라서 [eqn: z ^{2} -2z+1=`-3]

[출제의도] 등차수열의 합 이해하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항이 [eqn: 2], 공차가 [eqn: 4]이므로
[eqn: S _{10} = {10 LEFT ( 2times2+9 TIMES 4 RIGHT )} over {2} =200]

[출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기

[eqn: y][eqn: = {bx-5} over {x+a}]
[eqn: = {b LEFT ( x+a RIGHT ) - LEFT ( ab+5 RIGHT )} over {x+a}]
[eqn: = {-ab-5} over {x+a} +b]의 점근선은

두 직선 [eqn: x=`-a], [eqn: y=b]

유리함수 [eqn: y= {bx-5} over {x+a}]의 점근선은
두 직선 [eqn: x=`-1], [eqn: y=2]이므로 [eqn: a=1], [eqn: b=2]
따라서 [eqn: a+b=3]

[출제의도] 무리식 이해하기

[eqn: {1} over {sqrt {x+1} + sqrt {x}} `+` {1} over {sqrt {x+1} - sqrt {x}}]

[eqn: = {LEFT ( sqrt {x+1} - sqrt {x} RIGHT ) + LEFT ( sqrt {x+1} + sqrt {x} RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {x+1} + sqrt {x} RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+1} - sqrt {x} RIGHT )}]
[eqn: =2 sqrt {x+1}]

따라서 [eqn: x=8]일 때 구하는 값은 [eqn: 6]

[출제의도] 사차방정식 이해하기

[eqn: LEFT ( x ^{2} -3x RIGHT ) ^{2} +5 LEFT ( x ^{2} -3x RIGHT ) +6=0]에서
[eqn: x ^{2} -3x=t]라 하면
[eqn: t ^{2} +5t+6=0]
[eqn: LEFT ( t+3 RIGHT ) LEFT ( t+2 RIGHT ) =0]

[eqn: t=x ^{2} -3x]이므로

[eqn: LEFT ( x ^{2} -3x+3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -3x+2 RIGHT ) =0]

[eqn: LEFT ( x ^{2} -3x+3 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x ^{2} -3x+3=0] 또는 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: x ^{2} -3x+3=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D`=9-12=`-3<0]이므로

[eqn: x ^{2} -3x+3=0]은 허근을 갖는다.

따라서 모든 실근의 곱은 [eqn: 1 TIMES 2=2]

[출제의도] 명제의 충분조건 추론하기

조건 [eqn: p]가 [eqn: -2<x-2<2]이므로
조건 [eqn: p]의 진리집합은 [eqn: P= LEFT { x`|`0<x<4 RIGHT }]

조건 [eqn: q]가 [eqn: 5-k<x<k]이므로

조건 [eqn: q]의 진리집합은 [eqn: Q= LEFT { x`|`5-k<x<k RIGHT }]

조건 [eqn: p]가 조건 [eqn: q]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: P SUBSET Q]

[eqn: 0]

[eqn: x]

[eqn: 4]

[eqn: k]

[eqn: 5-k]

[eqn: P]

[eqn: Q]

[eqn: 5-k LEQ 0]이고 [eqn: k GEQ 4]에서 [eqn: k GEQ 5]이고 [eqn: k GEQ 4]

[eqn: therefore] [eqn: k GEQ 5]

따라서 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 5]

[출제의도] 선분의 내분점 이해하기

[eqn: rm A LEFT ( `-1,``-2 RIGHT )], [eqn: rm B it (`5,``a)]를 잇는 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2:1]로
내분하는 점 [eqn: rmP]의 좌표는

[eqn: LEFT ( ` {2 TIMES 5+1 TIMES LEFT ( -1 RIGHT )} over {2+1} ,`` {2 TIMES a+1times LEFT ( -2 RIGHT )} over {2+1} RIGHT )]

즉, [eqn: LEFT ( `3,`` {2a-2} over {3} RIGHT )]이므로 [eqn: b=3], [eqn: {2a-2} over {3} =0]

[eqn: therefore] [eqn: a=1], [eqn: b=3]

따라서 [eqn: a+b=4]

[출제의도] 유리식을 이용하여 실생활 문제해결하기

[eqn: A]의 가로의 길이는 [eqn: 2], 세로의 길이는 [eqn: a],
광원의 높이는 [eqn: 2a]이고,

[eqn: B`]의 가로의 길이는 [eqn: 4 rm], 세로의 길이는 [eqn: 2a],
광원의 높이는 [eqn: a]이므로

[eqn: A]의 실지수는 [eqn: {2a} over { 2a LEFT ( 2+a RIGHT ) }= {1} over {2+a}]

[eqn: B`]의 실지수는 [eqn: {8a} over {a LEFT ( 4+2a RIGHT )}= {4} over {2+a} =4times {1} over {2+a}]

따라서 [eqn: B`]의 실지수가 [eqn: A]의 실지수의 [eqn: 4]배이므로
[eqn: k=4]

[출제의도] 다항식의 인수분해 이해하기

다항식 [eqn: x ^{4} -2x ^{3} +2x ^{2} -x-6]을
조립제법을 이용하여 인수분해하면

	[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: -2]	[eqn: 2]	[eqn: -1]	[eqn: -6]
			[eqn: -1]	[eqn: 3]	[eqn: -5]	[eqn: 6]
	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: 5]	[eqn: -6]	[eqn: 0]
			[eqn: 2]	[eqn: -2]	[eqn: 6]
		[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: 3]	[eqn: 0]

[eqn: x ^{4} -2x ^{3} +2x ^{2} -x-6][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+3 RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: a=`-2], [eqn: b=`-1], [eqn: c=3]

따라서 [eqn: a+b+c=0]

[출제의도] 집합의 원소 추론하기

조건 (가)에서

[eqn: X` SMALLINTER LEFT { `1,``2,``3 RIGHT } = LEFT { `2 RIGHT }]이므로 [eqn: 1 NOTIN X`], [eqn: 2 IN X`], [eqn: 3 NOTIN X`]

조건 (나)에서

집합 [eqn: X`]의 모든 원소의 합 [eqn: S` LEFT ( X` RIGHT )]가 홀수이므로
집합 [eqn: X`]는 집합 [eqn: A]의 원소 중 홀수인 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7]
중에서 [eqn: 1]개 또는 [eqn: 3]개를 원소로 가져야 한다.
[eqn: 1 NOTIN X`], [eqn: 3 NOTIN X`]이므로 집합 [eqn: X`]는 [eqn: 5], [eqn: 7] 중
[eqn: 1]개만을 원소로 가져야 한다.

두 조건 (가), (나)를 만족시키면서
[eqn: S` LEFT ( X` RIGHT )]가 최대가 될 때는 집합 [eqn: A]의 원소 중
짝수인 [eqn: 4], [eqn: 6]을 원소로 갖고, 홀수인 [eqn: 7]을 원소로
가질 때이다.

즉, [eqn: X`= LEFT { `2,``4,``6,``7 RIGHT }]일 때 [eqn: S` LEFT ( X` RIGHT )]가 최대가 된다.

따라서 [eqn: S` LEFT ( X` RIGHT )]의 최댓값은

[eqn: 2+4+6+7=19]

[출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 문제해결하기

연립부등식 [eqn: {cases{``x ^{2} +y ^{2} LEQ 1 _{` _{`}}#``y LEQ x+1 ^{`}}}]을 만족시키는 영역을
좌표평면 위에 나타내면 그림의 어두운 부분과 같다.

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: y=2x+k]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]

[eqn: y=x+1]

[eqn: 2]

[eqn: - sqrt {5}]

[eqn: y-2x=k]라 하면

직선 [eqn: y=2x+k]는 기울기가 [eqn: 2]이고 [eqn: y]절편이 [eqn: k]이다.
이 직선을 주어진 부등식의 영역과 만나도록
평행이동하면서 [eqn: k]의 값의 변화를 조사하면
직선 [eqn: y=2x+k]가 점 [eqn: LEFT ( `-1,``0 RIGHT )]을 지날 때
최댓값을 갖고,

직선 [eqn: y=2x+k]와 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]이 제[eqn: 4]사분면에서
접할 때 최솟값을 갖는다.

[eqn: 0=2times LEFT ( -1 RIGHT ) +k]에서 [eqn: k=2]

[eqn: therefore] [eqn: M=2]
원의 중심 [eqn: LEFT ( `0,``0 RIGHT )]과 직선 [eqn: y=2x+k] 사이의
거리가 [eqn: 1]이므로
[eqn: {LEFT | k RIGHT |} over {sqrt {4+1}} =1], [eqn: LEFT | k RIGHT | = sqrt {5}]

[eqn: therefore] [eqn: m=`- sqrt {5}]

따라서 [eqn: M-m=2+ sqrt {5}]

[출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계 추론하기

두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가
두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만나므로
방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =0]의 해는 [eqn: x=alpha] 또는 [eqn: x=beta]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} + LEFT ( a-b RIGHT ) x+b-a]이므로

[eqn: b-a=t]([eqn: t>0])라 하면

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =b-a=t], [eqn: alpha beta =b-a=t]

[eqn: LEFT | alpha - beta RIGHT | ^{2}][eqn: = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta]
[eqn: =t ^{2} -` {BOX{`````4t`````}}]

[eqn: LEFT | alpha-beta RIGHT | = sqrt {5}]이므로 [eqn: t ^{2} -4t-5=0]

[eqn: LEFT ( t-5 RIGHT ) LEFT ( t+1 RIGHT ) =0]

[eqn: t=5] 또는 [eqn: t=`-1]

[eqn: t>0]이므로 [eqn: t= {BOX{`````5`````}}]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =1-a+b][eqn: =1+t= {BOX{`````6`````}}]

[eqn: therefore] [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =4t], [eqn: p=5], [eqn: q=6]

따라서 [eqn: p+q+h LEFT ( 1 RIGHT ) =5+6+4=15]

[출제의도] 대칭이동 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rm C LEFT ( `-8,``1 RIGHT )]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점은
[eqn: rm C prime LEFT ( `-8,``-1 RIGHT )]이고, 점 [eqn: rm D LEFT ( `4, ``7 RIGHT )]을 직선 [eqn: y=x]에
대하여 대칭이동한 점은 [eqn: rm D' LEFT ( `7,``4 RIGHT )]

[eqn: {bar{rm CE }} = {bar{rmC'E }}], [eqn: {bar{rm FD it}} = {bar{rm FD' it}}]이므로

[eqn: {bar{rm CE it}} + {bar{rm EF it}} + {bar{rm FD it}} rm= {bar{C prime E}} + {bar{EF}} + {bar{FD prime }} GEQ {bar{C prime D prime }}]

[eqn: {bar{rm CE it}} + {bar{rm EF it}} + {bar{rm FD it}}]의 값이 최소일 때는

점 [eqn: rmE], [eqn: rmF]가 두 점 [eqn: rm C prime], [eqn: rm D prime]을 지나는 직선 위에
있을 때이다.

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm E]

[eqn: rm C]

[eqn: rm C']

[eqn: rm D]

[eqn: rm D']

[eqn: rm B]

[eqn: rm F]

두 점 [eqn: rm C prime LEFT ( `-8,``-1 RIGHT )], [eqn: rm D' LEFT ( `7, it ``4 RIGHT )]를 지나는
직선의 방정식은 [eqn: y-4= {1} over {3} LEFT ( x-7 RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: y= {1} over {3} x+ {5} over {3}]

따라서 [eqn: {bar{rm CE it}} + {bar{rm EF it}} + {bar{rm FD it}}]의 값이 최소가 되도록 하는
점 [eqn: rmE]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -5]

[출제의도] 함수의 합성 이용하여 그래프 추론하기

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =`-5]이고

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 직선 [eqn: x=2]에 대하여
대칭이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =`-5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x_3]

[eqn: rm 4]

[eqn: rm -5]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x_1]

[eqn: x_2]

[eqn: x _{4}]

[eqn: rm 4]

[eqn: rm 2]

[eqn: x=2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값을 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]라 하고

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4]를 만족시키는 [eqn: x]의 값을 [eqn: x _{3}], [eqn: x _{4}]라 하면

[eqn: x _{1}]과 [eqn: x _{2}], [eqn: x _{3}]과 [eqn: x _{4}]는 각각 직선 [eqn: x=2]에 대하여

대칭이므로

[eqn: x _{1} +x _{2} =4], [eqn: x _{3} +x _{4} =4]

따라서 [eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} +x _{4} =4+4=8]

[출제의도] 이차함수와 직선의 관계 추론하기

ㄱ. 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT )]이므로
[eqn: x ^{2} -ax+b>ax+2b]
[eqn: x ^{2} -2ax-b>0] (참)

ㄴ. [eqn: x ^{2} -2ax-b>0]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
성립하므로 [eqn: x ^{2} -2ax-b=0]의 판별식을 [eqn: D`]라
하면 [eqn: {D} over {4} =a ^{2} +b<0]
[eqn: b<`-a ^{2} LEQ 0]
[eqn: therefore] [eqn: b<0] (참)

ㄷ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} -ax+b]
[eqn: = LEFT ( x- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} - {a ^{2}} over {4} +b]이므로

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: y]좌표는
[eqn: - {a ^{2}} over {4} +b]이고,
직선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 [eqn: y]절편은 [eqn: 2b]이므로

[eqn: LEFT ( - {a ^{2}} over {4} +b RIGHT ) -2b][eqn: =`- {a ^{2}} over {4} -b]
[eqn: >`- {a ^{2}} over {4} +a ^{2}] ([eqn: because] [eqn: b<-a ^{2}])
[eqn: = {3} over {4} a ^{2}][eqn: GEQ 0]

[eqn: - {a ^{2}} over {4} +b>2b]이므로
함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: y]좌표는
직선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 [eqn: y]절편보다 크다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 문제해결하기

구하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( `x,``y RIGHT )]의 개수는 조건 (가), (나)를
만족시키는 좌표평면 위의 점 [eqn: LEFT ( `x,``y RIGHT )]의 개수와 같다.
[eqn: xy>0]이므로 점 [eqn: LEFT ( `x,``y RIGHT )]는 제[eqn: 1]사분면 또는
제[eqn: 3]사분면 위의 점이다.
조건 (가)에서 [eqn: -2 ^{n} LEQ x LEQ 2 ^{n}], [eqn: -2 ^{n} LEQ y LEQ 2 ^{n}]
조건 (나)에서 점 [eqn: LEFT ( `x,``y RIGHT )]가 제[eqn: 1]사분면 위에 있을 때
[eqn: xy LEQ 2 ^{n}]이므로 [eqn: y LEQ {2 ^{n}} over {x}]을 만족시키는 점이고,
점 [eqn: LEFT ( `x,``y RIGHT )]가 제[eqn: 3]사분면 위에 있을 때

[eqn: xy>2 ^{n}]이므로 [eqn: y< {2 ^{n}} over {x}] ([eqn: because] [eqn: x<0])을 만족시키는
점이다.

[eqn: x]

[eqn: A]

[eqn: y]

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: rm O]

[eqn: 2 ^{n}]

[eqn: 2 ^{n}]

[eqn: -2 ^{n}]

[eqn: -2 ^{n}]

그림과 같이 점 [eqn: LEFT ( `x,``y RIGHT )]는 [eqn: A]부분과 [eqn: B`]부분에 있는
점이다. (단, 점선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축은 제외한다.)
[eqn: B]부분과 [eqn: C`]부분의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가
모두 정수인 점의 개수는 서로 같으므로 조건
(가), (나)를 만족시키는 점 [eqn: LEFT ( `x,``y RIGHT )]의 개수는
[eqn: A]와 [eqn: C`]로 이루어진 부분의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가
모두 정수인 점의 개수와 같다.

[eqn: x=k]([eqn: LEFT . 1 LEQ k LEQ 2 ^{n} ,`k]는 정수)일 때 [eqn: y]좌표가
정수인 점은 [eqn: LEFT ( `k,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `k,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `k,``3 RIGHT )], [eqn: cdots], [eqn: LEFT ( `k,``2 ^{n} RIGHT )]
이므로 [eqn: 2 ^{n}]개이다.
[eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 2 ^{n}]이므로 구하는 순서쌍의 개수는
[eqn: a _{n} =2 ^{n} times2 ^{n} =4 ^{n}]

따라서 [eqn: S _{4} = {4 LEFT ( 4 ^{4} -1 RIGHT )} over {4-1} = {4} over {3} LEFT ( 4 ^{4} -1 RIGHT ) =340]

[출제의도] 등차수열 이해하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{4} =3+3d=24]

[eqn: 3d=21]

따라서 [eqn: d=7]

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리 이해하기

점 [eqn: LEFT ( `0,``1 RIGHT )]과 직선 [eqn: sqrt {3} x+y+23=0] 사이의 거리는
[eqn: {□ sqrt {3} TIMES 0+1+23□} over {sqrt {3+1}} = {24} over {2} =12]

[출제의도] 절대부등식 이해하기

[eqn: a>0]이므로

[eqn: 5a+ {5} over {a} GEQ 2 sqrt {5a TIMES {5} over {a}} =10]
(단, 등호는 [eqn: a=1]일 때 성립한다.)

따라서 최솟값은 [eqn: 10]

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계 이해하기

직선 [eqn: y=x+2]와 평행하고
[eqn: y]절편이 [eqn: k]인 직선의 방정식은 [eqn: y=x+k]
직선 [eqn: y=x+k]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9]에 접하므로
원의 방정식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9]에 [eqn: y=x+k]를 대입하면
[eqn: x ^{2} + LEFT ( x+k RIGHT ) ^{2} =9]

[eqn: 2x ^{2} +2kx+k ^{2} -9=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면
[eqn: {D} over {4} `=k ^{2} -2k ^{2} +18=0]

따라서 [eqn: k ^{2} =18]

[출제의도] 연립이차방정식 이해하기

[eqn: {cases{`x-y=2 _{`}&~ CDOTS CDOTS `㉠ _{`}#x ^{2} +3y ^{2} =28 ^{`}&~ CDOTS CDOTS `㉡ ^{`}}}]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{2} +3y ^{2} =28]

[eqn: y ^{2} +y-6=0]

[eqn: LEFT ( y+3 RIGHT ) LEFT ( y-2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: y=`-3] 또는 [eqn: y=2]

[eqn: ㉠]에서 [eqn: y=`-3]일 때 [eqn: x=`-1],
[eqn: y=2]일 때 [eqn: x=4]

[eqn: therefore] [eqn: alpha =4], [eqn: beta =2] ([eqn: BECAUSE] [eqn: alpha>0], [eqn: beta>0])

따라서 [eqn: alpha TIMES beta=8]

[출제의도] 등비수열 추론하기

공비를 [eqn: r]라 하면 [eqn: b=ar], [eqn: c=ar ^{2}]

[eqn: {b-c} over {a} = {ar-ar ^{2}} over {a} =`-r ^{2} +r=`- LEFT ( r- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {1} over {4}]

[eqn: therefore] [eqn: k= {1} over {4}]

따라서 [eqn: 100k=25]

[출제의도] 나머지정리를 활용하여 문제해결하기

[eqn: ax ^{3} +b= LEFT ( ax+b RIGHT ) Q _{1} LEFT ( x RIGHT ) +R _{1}] [eqn: CDOTS CDOTS `㉠]

[eqn: ax ^{4} +b= LEFT ( ax+b RIGHT ) Q _{2} LEFT ( x RIGHT ) +R _{2}] [eqn: CDOTS CDOTS `㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 [eqn: x=`- {b} over {a}]를 각각 대입하면

[eqn: R _{1} =`- {b ^{3}} over {a ^{2}} +b], [eqn: R _{2} = {b ^{4}} over {a ^{3}} +b]

[eqn: R_1 =R_2]이므로

[eqn: - {b ^{3}} over {a ^{2}} +b= {b ^{4}} over {a ^{3}} +b]

[eqn: therefore] [eqn: b=`-a] ([eqn: because] [eqn: ab != 0])

그러므로 [eqn: R _{1} =R _{2} =0]

[eqn: ax ^{3} -a=a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT )]이므로

[eqn: a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) Q _{1} (x)]

[eqn: therefore] [eqn: Q_1 (x) =x^2 +x+1]

[eqn: ax ^{4} -a=a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )]이므로

[eqn: a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) Q _{2} (x)]

[eqn: therefore] [eqn: Q _{2} (x)= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )]

따라서 [eqn: Q _{1} LEFT ( 2 RIGHT ) +Q _{2} LEFT ( 1 RIGHT ) =7+4=11]

[출제의도] 역함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( n RIGHT )]은

[eqn: f LEFT ( 9 RIGHT ) =f LEFT ( 72 RIGHT ) =2]

[eqn: f LEFT ( 18 RIGHT ) =f LEFT ( 81 RIGHT ) =4]

[eqn: f LEFT ( 27 RIGHT ) =f LEFT ( 90 RIGHT ) =6]

[eqn: f LEFT ( 36 RIGHT ) =f LEFT ( 99 RIGHT ) =1]

[eqn: f LEFT ( 45 RIGHT ) =3], [eqn: f LEFT ( 54 RIGHT ) =5], [eqn: f LEFT ( 63 RIGHT ) =0]

함수 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]의 역함수가 존재하려면 일대일대응이어야
하므로
[eqn: f` ^{-1} LEFT ( 0 RIGHT ) =63], [eqn: f` ^{-1} LEFT ( 3 RIGHT ) =45], [eqn: f` ^{-1} LEFT ( 5 RIGHT ) =54]이고
[eqn: f` ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) =36] 또는 [eqn: f` ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) =99],
[eqn: f` ^{-1} LEFT ( 2 RIGHT ) =9] 또는 [eqn: f` ^{-1} LEFT ( 2 RIGHT ) =72],
[eqn: f` ^{-1} LEFT ( 4 RIGHT ) =18] 또는 [eqn: f` ^{-1} LEFT ( 4 RIGHT ) =81],
[eqn: f` ^{-1} LEFT ( 6 RIGHT ) =27] 또는 [eqn: f` ^{-1} LEFT ( 6 RIGHT ) =90]이다.

따라서 집합 [eqn: X`]의 개수는 [eqn: 2times2times2times2=16]

[출제의도] 직선의 방정식을 활용하여 문제해결하기

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm 9]

[eqn: l]

[eqn: m]

[eqn: n]

[eqn: a]

[eqn: rm 9]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm G]

직선 [eqn: m], [eqn: n]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE]라
하고 점 [eqn: LEFT ( `9,``9 RIGHT )]를 [eqn: rmF]라 하자. 정사각형 [eqn: rmOABC]의
넓이가 [eqn: 324]이므로 삼각형 [eqn: rmDEF]의 넓이는 [eqn: 54]

[eqn: therefore] [eqn: {bar{rm DE it}} =12]

직선 [eqn: l]이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmG]라 하면
사각형 [eqn: rmOGFE]의 넓이 [eqn: 54]는 삼각형 [eqn: rm OGF]와
삼각형 [eqn: rmOEF]의 넓이의 합과 같으므로
[eqn: {bar{rm OE it}} + {bar{rm OG it}} =12]이다.

[eqn: bar{rmOG}=a]이므로 [eqn: {bar{rm OE it}} =12-a], [eqn: {bar{rm OD it}} =24-a]

[eqn: therefore] [eqn: rm D LEFT ( `0,` it `24-a RIGHT )], [eqn: rm E LEFT ( `0,` it `12-a RIGHT )]

직선 [eqn: m]은 두 점 [eqn: rm D], [eqn: rmF]를 지나므로
직선 [eqn: m]의 기울기는 [eqn: {a-15} over {9}]
직선 [eqn: n]은 두 점 [eqn: rm E], [eqn: rmF]를 지나므로
직선 [eqn: n]의 기울기는 [eqn: {a-3} over {9}]
두 직선 [eqn: m]과 [eqn: n]의 기울기의 곱은
[eqn: {a-15} over {9} times {a-3} over {9}]이므로

[eqn: {1} over {81} LEFT ( a ^{2} -18a+45 RIGHT ) = {1} over {81} LEFT ( a-9 RIGHT ) ^{2} - {4} over {9}]

[eqn: 6 LEQ a leq 10]이므로 [eqn: a=6]일 때 최댓값 [eqn: - {1} over {3}]

[eqn: a=9]일 때 최솟값 [eqn: - {4} over {9}]를 갖는다.

[eqn: therefore] [eqn: alpha=`- {1} over {3}], [eqn: beta=`- {4} over {9}]

따라서 [eqn: alpha ^{2} + beta ` ^{2} = {25} over {81}]이므로 [eqn: p+q=106]