수학 영역 (가 형)

고 2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수학 영역 (가 형)

고 2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

12

레전드스터디 닷컴 http://LegendStudy.com

2015학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수학 영역 (가 형)

5지 선다형(1 ~ 21)

1. [eqn: 27 ^{{1} over {3}} TIMES 9 ^{{1} over {2}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {9} ``]	② [eqn: {1} over {3} ``]	③ [eqn: 1``]	④ [eqn: 3``]	⑤ [eqn: 9]

2. 전체집합 [eqn: U= it LEFT { 1`,~2`,~3`,~4`,~5 RIGHT } `]의 두 부분집합 [eqn: A= it LEFT { 1`,~2` RIGHT } `], [eqn: B= it LEFT { 2`,~3,~4` RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: A^C` CUP B`]의 원소의 개수는? [2점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

3. [eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT ( 8n-1 RIGHT ) LEFT ( 3n+1 RIGHT )} over {2n ^{2} `+`1}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

4. 유리함수 [eqn: y= {1} over {x+1} -3`]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼 평행이동한 그래프가 원점을 지날 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2``]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 10`]

5. 함수

[eqn: f(x)`=` {cases{``x ^{2} +ax+3~`(x LEQ 2)&`#`-x+a~``````````````(x`>2)&`}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: -13]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -11]	④ [eqn: -10]	⑤ [eqn: -9]

6. [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: f(x)`]가

[eqn: lim _{x`` -> `` INF `} {} {f(x) _{`}} over {x ^{2} `+x+1} =1`], [eqn: lim _{x`` -> ``1`} {} {f(x) _{`}} over {x-1} =2``]

를 만족시킬 때, [eqn: f(4)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

7. 모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}`]에 대하여 [eqn: a _{1} `times`a _{9} =8``]일 때, [eqn: a _{2} ``times`a _{5} `times`a _{8} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 10 sqrt {2}]	② [eqn: 12 sqrt {2}]	③ [eqn: 14 sqrt {2}]	④ [eqn: 16 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 18 sqrt {2}]

8. 수열 [eqn: left{a _{n} right}`]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {5n} over {2n-1} RIGHT )]이 수렴할 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT ( 4n-1 RIGHT ) a _{n}} over {n+1} `} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

9. 일차함수 [eqn: f(x)`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 할 때, 함수

[eqn: y=f(2x+3)`]

의 역함수를 [eqn: g(x)`]에 대한 식으로 나타내면 [eqn: y=a`g(x)+b`]이다.

두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - {3} over {2}]	④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

10. 어느 공장에서 생산하는 직원뿔대 모양의 유리컵의 높이는

[eqn: a`](cm)이고 크기와 모양은 모두 일정하다. [그림 1]과 같이 유리컵 두 개를 밑면이 지면과 평행하도록 지면 위에 포개어 쌓으면 유리컵 한 개의 높이의 [eqn: {2} over {3}`]만큼 항상 겹치게 된다.
[그림 2]와 같이 유리컵 [eqn: 3`]개를 이와 같은 방법으로 쌓을 때, 지면으로부터 마지막으로 쌓은 유리컵의 밑면까지의 높이가 [eqn: 20`](cm)이다. 유리컵 [eqn: 6`]개를 이와 같은 방법으로 쌓을 때, 지면으로부터 마지막으로 쌓은 유리컵의 밑면까지의 높이는 [eqn: k`](cm)이다. [eqn: k`]의 값은? (단, 유리컵을 쌓은 지면은 평평하다.)                                                         [3점]

[eqn: a]

[eqn: {2} over {3} a]

[eqn: 20]

[그림 1]                    [그림 2]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

11. 전체집합 [eqn: U`]가 실수 전체의 집합일 때, 실수 [eqn: x`]에 대한

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가

[eqn: p:``a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) <0],	[eqn: q:``x>b`]

이다. 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 실수이다.) [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a=0`]일 때, [eqn: P= EMPTYSET `]이다. ㄴ. [eqn: a>0], [eqn: b=0`]일 때, [eqn: P SUBSET Q`]이다. ㄷ. [eqn: a<0], [eqn: b=3`]일 때, 명제 ‘[eqn: SIM p`]이면 [eqn: q`]이다.’는 참이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 물체에 작용하는 중력과 공기 저항력이 평형을 이루게 될 때의 물체의 속력을 종단속력이라 한다. 질량이 [eqn: m`]이고 단면적이 [eqn: S`]인 구형 물체의 종단속력 [eqn: v`](m/초)는 다음 식을 만족시킨다고 한다.

[eqn: v ^{2} = {2m`g} over {D` rho S} `]

(단, [eqn: D`]는 끌림 계수, [eqn: rho `]는 공기 밀도, [eqn: g`]는 중력가속도이며,
질량 단위는 [eqn: rm`kg`], 단면적 단위는 [eqn: rm `m ^{2} `]이다.)

밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 구형의 두 물체 [eqn: A`]와 [eqn: B`]에 작용하는 끌림 계수([eqn: D`]), 공기 밀도([eqn: rho]), 중력가속도([eqn: g`])가 서로 같다. 두 물체 [eqn: A`]와 [eqn: B`]의 질량의 비는 [eqn: 1:2 sqrt {2} `]이고 단면적의 비는 [eqn: 1:8`]일 때, 두 물체 [eqn: A`], [eqn: B`]의 종단속력을 각각 [eqn: v _{A} `], [eqn: v _{B} `]라 하자. [eqn: LEFT ( {v _{A}} over {v _{B}} RIGHT ) ^{3} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 2 ^{{9} over {8}}]	② [eqn: 2 ^{{3} over {2}}]	③ [eqn: 2 ^{{15} over {8}}]	④ [eqn: 2 ^{{9} over {4}}]	⑤ [eqn: 2 ^{{21} over {8}}]

[13 ~ 14] [eqn: bold a`]는 상수이고, 유리함수  [eqn: bold{f(x)= {2} over {x-a} `+3a-1} ``]에
대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: y=f(x)]

13. 직선 [eqn: y=x`]가 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 두 점근선의 교점을 지날 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: { 2} over {3 }]	⑤ [eqn: 5over6`]

14. [eqn: a=1`]일 때, 유리함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]와 직선 [eqn: y=`-x+3`] 사이의 거리의 최솟값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: sqrt { 3}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt { 5}]

15. 그림과 같이 좌표평면 위의 점 [eqn: rm A`(0,`1)`]을 지나고 [eqn: x`]축에 접하는 원 [eqn: C``]가 있다. 원 [eqn: C``]가 [eqn: y`]축과 만나는 또 다른 점을 [eqn: rm `P`]라 하고, [eqn: x`]축과 접하는 점을 [eqn: rm `Q`(it`t,`0)`]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm`APQ`]의 넓이를 [eqn: S(t)`], 원 [eqn: C``]의 반지름의 길이를 [eqn: r(t)`]라 할 때, [eqn: lim _{t -> INF } {{S(t)} over {t TIMES r(t)}} `]의 값은? (단, [eqn: t>1`]이다.) [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: C`]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2} `]

16. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{n} k ^{2} RIGHT ) `=`5 sum _{k=1} ^{n} k ^{4} + sum _{k=1} ^{n} k ^{2}] [eqn: cdots cdots](*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정의 일부이다.

<증명>

(1) [eqn: n=1`]일 때, [eqn: (좌변)=6 TIMES 1 TIMES 1 ^{2} `=6`]이고,

[eqn: (우변)=5 TIMES 1 ^{4} +1 ^{2} =6`]이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT ) `=`5 sum _{k=1} ^{m} k ^{4} + sum _{k=1} ^{m} k ^{2} `]

이다.

[eqn: n=m+1`]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: 6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m+1} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m+1} k ^{2} RIGHT )]

[eqn: =6 LEFT { sum _{k=1} ^{m} k+ LEFT ( ` {BOX{``(가)``}} ` RIGHT ) RIGHT } LEFT { sum _{k=1} ^{m} k ^{2} + LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT )]

[eqn: + LEFT ( ` {BOX{``(가)``}} ` RIGHT ) ` TIMES LEFT { 6 sum _{k=1} ^{m} k ^{2} +6 LEFT ( m+1 RIGHT ) sum _{k=1} ^{m} k+6 LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT } `]

[eqn: =6 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{m} k ^{2} RIGHT )][eqn: + LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} TIMES (` BOX{`(나)``} `)`]

[eqn: vdots]

[eqn: =5 sum _{k=1} ^{m+1} k ^{4} + sum _{k=1} ^{m+1} k ^{2}]

그러므로 [eqn: n=m+1`]일 때도 (*)이 성립한다.
따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)`], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: {g(10)} over {f(5)} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 101]	② [eqn: 103]	③ [eqn: 105]	④ [eqn: 107]	⑤ [eqn: 109]

17. 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{x -> -1+} {f(x)} `=`1] ㄴ. [eqn: lim _{x -> 2} {f(x)f(x-3)} `=`2`] ㄷ. 함수 [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) (x)`]는 [eqn: x=`-1`]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원을 부채꼴로 [eqn: 6`]등분하여 각각의 부채꼴에 내접하는 원을 하나씩 그려 넣는다. 이 [eqn: 6`]개의 원에 의해 만들어지는  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1} `]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1} `]에 합동인 [eqn: 6`]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1} `]을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 [eqn: 6`]개의  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2} `]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n} `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}} =a sqrt {3} +b` pi `]이다. [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 유리수이다.) [4점]

[eqn: R _{1} `]                                      [eqn: R _{2} `]                    …

…

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

19. 첫째항이 [eqn: 1]인 두 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}`], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} ^{``2} +b _{n} ^{``2} ` RIGHT ) `]의 값은? [4점]

(가) [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} `], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} `]이 각각 수렴한다.

(나) [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) `= {9} over {4} `]이고 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} -b _{n} RIGHT ) `= {3} over {4} `]이다.

① [eqn: {9} over {4}]	② [eqn: {11} over {4}]	③ [eqn: {13} over {4}]	④ [eqn: {15} over {4}]	⑤ [eqn: {17} over {4}]

20. 함수 [eqn: f(x)=x^2 -2`(x GEQ 0)`]의 역함수를 [eqn: g`(x)`]라 하고, 두 곡선  [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=g(x)`]가 직선 [eqn: x=t`(t>2)`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP,~Q`]라 하자. 선분 [eqn: rmPQ`]의 길이를 [eqn: h(t)`]라 할 때, [eqn: lim _{t` -> `2+} {} {``h(t)`} over {t-2} `]의 값은? [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: -2]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: -2]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: x=t]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

① [eqn: {7} over {4}]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {11} over {4}]	④ [eqn: {13} over {4}]	⑤ [eqn: 15 over 4]

21. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)`]가

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{x ^{2n-1} +x} over {x ^{2n} +2}}]

이다. [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f(x)-ax ^{2`} =0`]이 서로 다른 네 실근을

가지도록 하는 양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: 60a]의 값은? [4점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]	④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

단답형(22 ~ 30)

22. 두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +3`], [eqn: g(x)= sqrt {x-1} `]에 대하여  [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) ( sqrt {7} )`]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: left(log _{2} 81 right)times`left(log _{3} 32right)`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 함수

[eqn: f(x)= {x+1} over {x ^{2} +ax+2a}]

이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 정수 [eqn: a`]의 개수를

구하시오. [3점]

25. 수열 [eqn: left{a _{n} `right}`]이

[eqn: sum _{k=1} ^{n} ka _{k} `=` {n ^{2`} left(n+1 right)`}over2`] ([eqn: n=`][eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: cdots])

을 만족시킬 때, [eqn: a_15`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 상수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: 3 ^{-2a} TIMES sqrt {7} `=2 ^{a- {1} over {2}} `]일 때, [eqn: 324 ^{`a}]의 값을 구하시오. [4점]

27. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림과 같이 직선 [eqn: x=2n-1`]과 두 곡선 [eqn: y= {1} over {x} `+1`], [eqn: y= { 1} over {x+2 }`]의 교점을 각각 [eqn: rmP _{itn`}], [eqn: rmQ _{itn`}]이라 하고,

직선 [eqn: x=2n+1`]과 두 곡선 [eqn: y= {1} over {x} `+1`], [eqn: y= { 1} over {x+2 }`]의 교점을 각각 [eqn: rm P _{it n` rm +1}], [eqn: rm Q _{it n` rm +1}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm P _{it `n rm} `Q _{it n rm} `P _{it `n+1 rm} `]의 넓이를 [eqn: S _{it `n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{8} S _{n} = {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: \P_{ITn]

[eqn: rm Q _{ITn}]

[eqn: rm P _{ITn+1}]

[eqn: rm Q _{IT n+1}]

[eqn: y= {1} over {x} +1]

[eqn: y= {1} over {x+2}]

[eqn: x=2n-1]

[eqn: x=2n+1]

28. [eqn: 10`]보다 크고 [eqn: 100`]보다 작은 두 자연수 [eqn: m`], [eqn: n`]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: m+n`]의 값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: log _{`m} `n`]은 유리수이다.

(나) 세 수 [eqn: m`], [eqn: n`], [eqn: 256`]은 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

29. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(2015)`]의 값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: f(x)`=1`- LEFT | x-2 RIGHT | `````(`1 LEQ x LEQ 3)]

(나) 모든 양의 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(3x)`=`3f(x)``]이다.

30. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 2`l``□``l은``자연수 RIGHT } `], [eqn: B= rm LEFT { it 2 ^{m} ``□``m`은``자연수 RIGHT } ``]가 있다. 집합 [eqn: A`]의 원소 [eqn: a`]에 대하여 집합 [eqn: B`]의 원소 중 [eqn: a`]의 약수의 최댓값을 [eqn: M(a)]라 하자.

예를 들어, [eqn: M(2)=2], [eqn: M(12)=4]이다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]을

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{2 ^{n-1}} M(2k)``]([eqn: n=`][eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: cdots])

라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{150`a _{n}} over {(3n+1)` TIMES 2 ^{n}}} ``]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.