2008학년도 6월 모의평가 (수리영역-가형)  정답 및 해설

1.

[eqn: log_8 2root2 = log_{2^3}} 2^{{ 3} over {2 }}= { 1} over { 3}×{ 3} over {2 } log_2 2` ={ 1} over {2 }]

ꂼ ④

2.

[eqn: X+Y = pmatrix{2&1#-1&0}`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: Y= pmatrix{1&-1#-1&2}`]  [eqn: cdots㉡`]

㉠-㉡에서 [eqn: X= pmatrix{1&2#0&-2}`]

∴ [eqn: 2X = pmatrix{2&4#0&-4}`]

ꂼ ⑤

3.

[eqn: lim_x->1 ``{root 2x+a `- root x+3 `` }over {x^2 -1`} =b] 에서

[eqn: x``→ ``1]일 때 (분모) [eqn: →``0]이므로

(분자) [eqn: →``0]이어야 한다. 따라서

[eqn: {root 2+a `- root 1+3 `` } = 0] 이므로 [eqn: a=2]

(준 식)

[eqn: = lim_x->1 ``{{ (root 2x+2 - root x+3 )(root 2x+2 + root x+3 )}}over{(x^2 -1)(root 2x+2 + root x+3 )` }}]

[eqn: = lim_x->1 ``{{ x-1}}over{(x^2 -1)(root 2x+2 + root x+3 )` }}]

[eqn: = lim_x->1 `{`{1}}over{(x+1)(root 2x+2 + root x+3 )` }}]

[eqn: = `{ 1} over {8 } =b]

[eqn: ∴```ab =` 2×{ 1} over {8 } = { 1} over {4 }]

ꂼ ④

4.

[eqn: 2root{ x^2 -x-2} +2 = x^2 -x`] [eqn: cdots㉠`]

에서 [eqn: 2root { x^2 -x-2} = x^2 -x-2`]

[eqn: x^2 -x-2 = t``]로 놓으면

[eqn: 2root t`` = t``]

양변을 제곱하면 [eqn: 4t`` = t`^2`]  ∴ [eqn: t`= 0,4`]

[eqn: x^2 -x-2=0`]에서 [eqn: (x+1)(x-2)=0`]

∴ [eqn: x=-1 , 2`]

[eqn: x^2 -x-2 = 4`]에서 [eqn: x^2 -x-6=0`]

[eqn: (x+2)(x-3)=0`] ∴ [eqn: x= -2, 3`]

따라서, 방정식㉠의 근은 [eqn: x=-2,-1 , 2,3`]이다.

[eqn: x-5 over x-1 <=0`] [eqn: cdots㉡`]

에서 [eqn: (x-1)(x-5)<=0`], [eqn: x ne 1`]

∴ [eqn: 1<x<= 5`]

따라서, 두 식 ㉠,㉡을 동시에 만족하는 실수[eqn: x`]의 값은 [eqn: x=2,3`]이므로 구하는 합은

[eqn: 2+3 = 5`]

ꂼ ⑤

5.

[eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이므로

[eqn: f(x)`=`x ^{3} `+ax ^{2} `+bx+c]

로 놓으면 [eqn: f(-1)=2], [eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=-2]에서

[eqn: -1+a-b+c=2], [eqn: c`=0],

[eqn: 1+a+b+c=-2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=0], [eqn: b=-3], [eqn: c=0]

따라서 [eqn: f(x)`=x ^{3} `-3x]이므로

[eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)} over {x} `=` lim _{x -> 0} {{x ^{3} -3x} over {x}}}]

[eqn: = lim _{x -> 0} {(x ^{2} -3)}]

[eqn: =-3]

ꂼ ③

<다른풀이>

[eqn: g(x)=f(x)+2x]라 하면 [eqn: f(-1)=2], [eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=-2] 이므로

[eqn: g(-1)=g(0)=g(1)=0]

이 때, [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 1이므로

[eqn: g(x)=f(x)+2x=(x+1)x(x-1)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(x)`=x ^{3} -3x]

6.

ㄱ. [eqn: left{ f(x) right}^2 = left( 4vert x vert right)^2]

[eqn: = 16 x^2]

[eqn: f(x ^{2} )=4 vert x ^{2} vert]

[eqn: =4x ^{2} `]

∴ [eqn: lim_x->0 {left{ f(x) right}^2 }over { f(x^2 ) }][eqn: =lim_x->0 {16x^2 }over { 4x^2 }]

[eqn: = 4`]

ㄴ. [eqn: left{ f(x) right}^2 = left( 2x^2 + 2x right)^2]

[eqn: = 4x^2 ( x+1)^2]

[eqn: = 4x^4 + 8 x^3 + 4x^2]

[eqn: f(x^2 ) =2 ( x^2 )^2 + 2(x^2 )]

[eqn: = 2x^4 + 2 x^2]

[eqn: = 2x^2 ( x^2 +1)]

∴ [eqn: lim_x->0 {left{ f(x) right}^2 }over { f(x^2 ) }][eqn: =lim_x->0 {2 (x+ 1)^2 }over { x^2 + 1 }]

[eqn: =2`]

ㄷ. [eqn: left{ f(x) right}^2 = left( x+ 4over x right)^2]

[eqn: = x^2 + 8 + 16 over x^2]

[eqn: f(x^2 )= x^2 + 4 over x^2]

∴ [eqn: lim_x->0 {left{ f(x) right}^2 }over { f(x^2 ) }][eqn: =lim_x->0 {x^2 + 8 + 16 over x^2 }over { x^2 + 4over x^2 }]

[eqn: =lim_x->0 {x^4 + 8x^2 + 16 }over { x^4 + 4 }]

[eqn: = 4`]

따라서 [eqn: lim_x->0 {left{ f(x) right}^2 }over { f(x^2 ) } =4`]를 만족하는 함수 [eqn: f(x)`]는 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ③

7.

(i) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 -x+1>0]이므로

[eqn: {x^2 -a^2} over {x^2 -x+1} <0] ⇔ [eqn: x^2 -a^2 <0]

∴ [eqn: -a<x<a]  ⋯ ㉠　(∵ [eqn: a>0])

(ii) [eqn: 1 over x-2b - 1 over x+2 = 2+2b over {(x-2b)(x+2)} <0]

⇔ [eqn: (2+2b)(x-2b)(x+2)<0] ⋯ ㉡

이 때, 이차방정식 ㉡의 해가 ㉠과 같아야 하므로

[eqn: 2+2b>0]이고 [eqn: -2<x<2b]

이어야 한다.

∴ [eqn: -a=-2,~a=2b]

∴ [eqn: a=2]

ꂼ ①

8.

ㄱ. [eqn: ( g circ f)(x)=1]이므로 [eqn: x=0]에서 연속이다. (참)

ㄴ.  ㄱ에서 [eqn: ( g circ f)(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이지만

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이 아니다. (거짓)

ㄷ. (반례) [eqn: f(x) = cases{1~(x=0)# 0~(x not=0)}] 라 하면 [eqn: (f circ f )(x)=0] 이므로

[eqn: (f circ f)(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이지만 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이 아니다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

ꂼ ①

9.

ㄱ. [eqn: lim_h->0 {f`(1+h) -f(1)} over h `=0]

이면 함수 [eqn: f(x)]의 [eqn: x=1]에서의

미분계수 [eqn: f`'(1)]이 존재하므로

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

∴ [eqn: lim_x->1 f`(x) =f`(1)]  (참)

ㄴ. [eqn: lim_h->0 {f`(1+h) -f(1-h)} over2h `]

[eqn: ={ 1} over {2 }lim_h->0 {f`(1+h) -f(1) +f(1)-f(1-h)} overh `]

[eqn: ={ 1} over {2 }lim_h->0 LEFT { {f`(1+h) -f(1)} over h + {f(1-h) -f(1)} over-h RIGHT }]   [eqn: ={ 1} over {2 }lim_h->0 {f`(1+h) -f(1)} over h]

[eqn: + { 1} over {2 }lim_h->0 {f(1+(-h)) -f(1)} over-h]

[eqn: =0]   (참)

ㄷ. [eqn: f`(x)=LEFT | x-1 RIGHT |]일 때

[eqn: lim_h->0 {f`(1+h) -f(1-h)} over2h `]

[eqn: = lim_h->0 {LEFT |1+h -1 RIGHT | -LEFT |1-h -1 RIGHT |} over2h `]

[eqn: = lim_h->0 {LEFT |h `` RIGHT | -LEFT |-h RIGHT |} over2h ` =0]  (참)

따라서 옳은 것은  ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

10.

직선[eqn: y=m`]([eqn: 1<= m<=10`])과

포물선[eqn: y= -x^2 + 5x- 3over4`]이 만나려면

[eqn: m = -x^2 + 5x- 3over4`] 즉,

[eqn: x^2 - 5x +m+ 3over4 =0`]에서 실근[eqn: x`]의 값이 존재해야 한다.

[eqn: D = 25 - 4m -3 >=0`]에서 [eqn: m<= 11over2`]

∴ [eqn: m= 1,2,3,4,5`]

따라서, 주머니에서 5이하의 수가 적힌 구슬을 꺼낼 확률은

[eqn: 5over10 = 1over2`]

ꂼ ④

11.

ㄱ. [eqn: A^2 = A]의 양변에 [eqn: A]를 곱하면

[eqn: A^3 = A^2 = A] (참)

ㄴ. [eqn: B^2 = (-A)^2 = A^2 = A= -B] (참)

ㄷ. [eqn: A^2 = A]에서 [eqn: A^2 - A = O]이므로

[eqn: (A+3E)(A-4E)= -12E]

∴ [eqn: (A+3E)^-1 = - 1over 12 (A-4E)]

따라서 [eqn: A+3E]는 역행렬을 갖는다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

12.

공이 빗면과 충돌할 때의 공의 중심과 바닥사이의 거리를 [eqn: h _{0}]라 하면 아래 그림에서

[eqn: h _{0}]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: 60 DEG]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: h _{0} `sin`30` DEG = {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: h _{0} =`1]

구와 빗면이 만나는 시각을 [eqn: t]라 하면 [eqn: h(t)=1]에서

[eqn: 21-5t ^{2}][eqn: =1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: t=2] [eqn: ( BECAUSE ```t>0])

따라서 [eqn: t]초 후의 공의 중심의 속도는 [eqn: h'(t)`=`-10t]이므로 충돌하는 순간의 속도는 [eqn: h prime (1)=-20]

ꂼ ①

13.

점 A, B는 [eqn: y=8^x]위의 점이고 [eqn: y]좌표    가 각각 [eqn: a, ``b]이므로

[eqn: A`(`log_8 a ,``a``) ,~B(log_8 b ,``b``)]

따라서 [eqn: △AEB]의 넓이는

[eqn: { 1} over {2 } × bar AE` ×` bar BE]

[eqn: ={ 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _8 a -`log _8 b `)]

[eqn: =20]

즉

[eqn: { 1} over {3 } ×{ 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _2 a -`log _2 b `) =20]

[eqn: { 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _2 a -`log _2 b `) =60]--- ㉠

한편 점 C, D는 [eqn: y=4^x]위의 점이고[eqn: y]좌표   가 각각 [eqn: a, ``b]이므로

[eqn: C`(`log_4 a ,``a``) ,~D(log_4 b ,``b``)]

따라서 [eqn: △CDF]의 넓이는

[eqn: { 1} over {2 } × bar DF` ×` bar FC]

[eqn: ={ 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _4 a -`log _4 b `)]

[eqn: ={ 1} over {2 } ×{ 1} over {2 } ×(a-b) ×`(log _2 a -`log _2 b `)]

[eqn: ={ 1} over {2 } ×60]([eqn: ∵``] ㉠ )

[eqn: =30]

ꂼ ③

14.

[eqn: n=k`]일 때, [eqn: a_k < 2 over k+1`]이라고 가정하면

[eqn: n=k+1`]일 때,

[eqn: a_k+1 = { 1! + 2!+ 3! + cdots + (k+1)!} over {(k+2)!}`]

[eqn: = 1over k+2 cdot { 1! + 2! + 3! + cdots + (k+1)!} over { (k+1)!}`]

[eqn: = 1over k+2 left{ 1+ {1! +2!+ 3! +cdots + k!} over {(k+1)!}`right}`]

[eqn: =][eqn: leftꎴ 1over k+2 rightꎵ`][eqn: ( 1+ a_k )`]

[eqn: < `1over k+2 left( 1+ 2over k+1 right)`]

[eqn: = 1over k+2 + leftꎴ{ 2over{ (k+1)(k+2)}`}`rightꎵ`]

이다.

자연수[eqn: k`]에 대하여 [eqn: 2over k+1 <= 1`]이므로

[eqn: 2over {(k+1)(k+2)}= 2over k+1 cdot 1over k+2 <= 1over k+2`]

이고, [eqn: a_k+1 < 1over k+2 + 1over k+2 = 2over k+2`]이다.

ꂼ ②

15.

아래 그림에서 [eqn: △ rm O _{1} rm O _{2} P _{1}], [eqn: △ rm O _{1} Q _{1} O _{2}]는 정삼각형이므로 [eqn: ANGLE rm P _{1} O _{2} Q _{1} = {2} over {3} pi]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: rm O _{1}]

[eqn: rm O _{2}]

[eqn: {2} over {3} pi]

또, 아래 그림에서 중심이 [eqn: rm O _{it n rm}]인 원에서

호 [eqn: rm P _{it n rm} rm Q _{it n rm}]에 대한

중심각은  [eqn: ANGLE rm P _{it n rm} rm O _{it n+1 rm} rm Q _{it n rm}],

원주각은 [eqn: ANGLE rm P _{it n rm +1} rm O _{it n+2 rm} rm Q _{it n+1 rm}]이므로

[eqn: ANGLE rm P _{it n rm +1} rm O _{it n+2 rm} rm Q _{it n+1 rm}]

[eqn: = {1} over {2}][eqn: ANGLE rm P _{it n rm} rm O _{it n+1 rm} rm Q _{it n rm}]

[eqn: rm P _{it n}]

[eqn: rm Q _{it n+1 rm}]

[eqn: rm O` _{it n rm +1}]

[eqn: rm Q _{it n}]

[eqn: rm O` _{it n rm +2}]

[eqn: rm P _{it n+1 rm}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ANGLE rm P _{it n rm} rm O _{it n+1 rm} rm Q _{it n rm}][eqn: = {2} over {3} pi TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

따라서,

[eqn: S _{n} = {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES LEFT { {2} over {3} pi TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]

[eqn: = {pi } over {3} TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {{pi } over {3}} over {1- {1} over {2}} = {2} over {3} pi]

ꂼ ②

16.

[eqn: p_1= p-1]

[eqn: p_2 = p_1 - 2 = p-(1+2)]

[eqn: p_3 = p_2 -3 = p- (1+2+3)]

[eqn: cdots cdots]

[eqn: p_n = p- (1+2 +3 + cdots + n )]

∴ [eqn: p_n = p- {n(n+1)} over 2]

[eqn: 2p_n = 2p - n(n+1)][eqn: = n+1`]

∴ [eqn: p = {(n+1)^2 } over 2]

ꂼ ②

17.

[그림1]의 점 [eqn: rm B]를 수직선의 원점으로 생각하고 삼각형 [eqn: rm ABC]가 회전하면서 수직선 위를 움직인다고 생각하자.

변 BC가 수직선 위에 놓이는 순간의 점 B의 좌표를 차례로 나열하면

3, 6, 9, 12, ⋯

그런데, 정사각형의 둘레의 길이는 8이므로 정삼각형이 정사각형의 둘레를 [eqn: 3n-2] 바퀴 도는 동안 수직선 위를 움직인 거리는

[eqn: 8(3n-2)][eqn: =][eqn: 24n - 16]

이 때, 변 BC가 정사각형의 변 위에 놓이는 횟수는 수직선 위의 [eqn: 0<x< 24n - 16]인 범위에서 [eqn: x]좌표가 [eqn: 3]의 배수인 점의 개수와 같다.

∴ [eqn: a_3n-2`][eqn: = left[ 24n-16 over 3 right]][eqn: =8n-6]

∴ [eqn: lim_n->inf a_3n-2 over n][eqn: =lim_n->inf 8n-6 over n = 8]

ꂼ ①

18.

[eqn: f``'(2) = lim_h->0 { f(2+h ) - f(2) } over h]

[eqn: f``'(2) = lim_h->0 { h^3 +6h^2 +14h } over h]

[eqn: = lim_h->0 ( h^2 +6h +14`)]

[eqn: =14`]

ꂼ [eqn: 14`]

19.

주어진 조건에서

[eqn: 450 over a = b over 100]이고, [eqn: 450 over a+150 = b-50 over 100]이므로

[eqn: 450 over a+150 = 450 over a - 50over 100]

∴ [eqn: 450 over a+150 - 450 over a + 1 over 2 =0]

양변에 [eqn: 2a(a+150)]을 곱하여 정리하면

[eqn: {900a-900(a+150)+ a(a+150)} over {2a(a+150)}=0]

∴ [eqn: {a^2 +150a-900cdot150} over {2a(a+150)}]

[eqn: ={(a+450)(a-300)} over {2a(a+150)}=0]

∴ [eqn: a=300] (∵ [eqn: a>0])

ꂼ 300

20.

접점의 좌표를 [eqn: (b, 3b^3 )]이라 하면

[eqn: y' = 9x^2] 이므로 접선의 방정식은

[eqn: y - 3b^3 = 9b^2 (x-b)], [eqn: y = 9b^2 x -6 b^3]…㉠

(i) ㉠이 점 [eqn: (a, 0)]을 지나므로

[eqn: 9b^2 a - 6b^3 =0], [eqn: 3a -2b=0]

[eqn: therefore] [eqn: b = 3 over 2 a]

따라서, 접선의 방정식은

[eqn: y = 81 over 4 a^2 x - 81 over 4 a^3]…㉡

(ii) ㉠이 점 [eqn: (0, a)]를 지날 때,

[eqn: a = -6b^3]

[eqn: therefore] [eqn: b = left( - a over 6 right)^{1 over 3}]

따라서, 접선의 방정식은

[eqn: y = 9 left( - a over 6 right)^{2 over3} x +a]…㉢

이 때, ㉡, ㉢이 서로 평행하므로

[eqn: 81 over 4 a^2 = 9 left( - a over 6 right)^{2 over3}], [eqn: left( 9 over 4 a^2 right)^3 = left( - a over 6 right)^2]

[eqn: 9^3 over 4^3 a^6 = 1 over 6^2 a^2], [eqn: a^4 = 2^4 over 3^8]

[eqn: therefore] [eqn: a= 2 over 3^2 = 2 over 9]

[eqn: therefore] [eqn: 90a = 20]

ꂼ 20

21.

[eqn: f(x)= x^4 +ax^3 +bx^2 +cx+6]에서

[eqn: f(-x)=f(x)]이므로[eqn: f(x)]는 우함수이다.

[eqn: ∴```a=c=0]

따라서 [eqn: f(x)= x^4 +bx^2 +6]이고

[eqn: f`'(x)= 4x^3 +2bx = 2x(2x^2 +b)]

이 때 [eqn: f`' (x)=0]인 [eqn: x]의 값을 구하면

[eqn: b>0]일 때 [eqn: x=0]

[eqn: b<0]일 때 [eqn: x=0]또는 [eqn: x= ± root {{ -b} over {2 }}]

그런데[eqn: b>0]일 때 [eqn: x=0]인 경우

함수 [eqn: f(x)]는 x=0에서 극소값을 갖고

[eqn: f(0)=6]이므로 (나)의 조건을

만족시키지 못한다.

따라서[eqn: b<0]이고 이 때 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: x= ± root {{ -b} over {2 }}]에서 극소값을 가지므로

[eqn: f`` LEFT ( ± root {{ -b} over {2 }} RIGHT ) = { b^2} over {4 } - { b^2} over {2 } +6 =-10]

[eqn: { b^2} over {4 } =16 ,~ b^2 =64]

그런데[eqn: b<0]이므로 [eqn: b=-8]

따라서 [eqn: f(x)= x^4 -8x^2 +6]이므로

[eqn: f(3)= 3^4 -8×3^2 +6 = 15]

ꂼ [eqn: 15`]

22.

점[eqn: P`]의 좌표를 [eqn: (x, -x^2 + 5x )`]라 하면

두 정사각형[eqn: rm OABC, PQRS`]가 겹칠 때,

[eqn: 0<= x<= 5`]이다.

두 정사각형이 겹치는 부분의 넓이를 [eqn: S(x)`]라 하면

[eqn: S(x) = x(-x^2 + 5x)` = -x^3 + 5x^2`]

이다.

[eqn: S`'(x) = -3x^2 +10x = -3x left( x - 10 over3 right)`]이므로

[eqn: S`'(x) = 0`]에서 [eqn: x=0 , 10 over 3`]

[eqn: x`]	[eqn: 0`]	[eqn: cdots`]	[eqn: 10 over 3`]	[eqn: cdots`]	[eqn: 5`]
[eqn: S`'(x)`]		+	[eqn: 0`]	-
[eqn: S(x)`]		↗		↘

증감표에서 [eqn: S(x)`]는 [eqn: x= 10 over 3`]일 때, 최대값을 갖고 최대값은

[eqn: S left( 10 over 3 right) = - 1000 over 27 + 5 cdot 100 over 9` = 500 over 27`]

∴ [eqn: p+q = 27 + 500 = 527`]

ꂼ 527

23.

(ⅰ) [eqn: X=4]일 때

1회 2회 3회 4회 5회

○  ●  ●  ○

●  ○  ●  ○

●  ●  ○  ○

[eqn: rm P( it X=4)]

[eqn: = {2} over {5} TIMES {3} over {4} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {2}]

[eqn: + {3} over {5} TIMES {2} over {4} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {2}]

[eqn: + {3} over {5} TIMES {2} over {4} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {2}]

[eqn: = {3} over {10}]

(ⅱ) [eqn: X=5]일 때,

1회 2회 3회 4회 5회

○  ●  ●  ●  ○

●  ○  ●  ●  ○

●  ●  ○  ●  ○

●  ●  ●  ○  ○

[eqn: rm P( it X=5)]

[eqn: = {2} over {5} TIMES {3} over {4} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {2}]

[eqn: + {3} over {5} TIMES {2} over {4} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {2}]

[eqn: + {3} over {5} TIMES {2} over {4} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {2}]

[eqn: + {2} over {5} TIMES {3} over {4} TIMES {1} over {3}]

[eqn: =][eqn: {4} over {10}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P(X>3)`= rm P( it X=4)+ rm P( it X=5)]

[eqn: = {3} over {10} + {4} over {10} = {7} over {10}]

이므로

[eqn: p+q`=`10`+7=17]

ꂼ [eqn: 17`]

24.

조건 (나)에서

[eqn: b-a=2^3 = 8]…㉠

조건 (다)에서

[eqn: c-b=2^2 = 4]…㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: c-a = 12]…㉢

㉠에서 [eqn: b= a+8], ㉢에서 [eqn: c= a+12] 이고 조건 (가)에 의하여

[eqn: 9<=b<=13], [eqn: 13<=c<=17]

따라서, [eqn: k]의 최대값을 [eqn: M], 최소값을 [eqn: m]이라 하면

[eqn: M= 5+13+17 = 35], [eqn: m = 1+9+13 = 23]

[eqn: THEREFORE] [eqn: M+ m= 58]

ꂼ [eqn: 58]

25.

운전석에 앉는 경우의 수는 2가지이고

가운데 줄에 영희와 철수가 앉는 경우의     수는 [eqn: `_3 P_2]

나머지 사람들이 세 자리에 앉는 경우의    수는 [eqn: 3`!]이므로  구하는 모든 경우의 수는

[eqn: 2 ×`_3 P_2 × 3`! = 2 ×`3 × 2 ×`3 × 2 × 1= 72]

ꂼ 72

미분과 적분

26.

[eqn: lim_x->0 { (a+12)^x - a^x } over x]

[eqn: = lim_x->0 { (a+12)^x -1 } over x][eqn: -lim_x->0 { a^x -1 } over x]

[eqn: = ln``(a+12 )-ln`` a]

[eqn: = ln a+12 over a][eqn: = ln ``3]

[eqn: a+12over a = 3], [eqn: a+12 = 3a]

∴ [eqn: a= 6`]

ꂼ ⑤

27.

호 [eqn: rm AC]의 중심각의 크기는 [eqn: 2theta]이므로

[eqn: l_1 = 1cdot 2theta = 2theta]

직각삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: {rm bar AB = 2],

[eqn: rm bar AC = 2sintheta,~{rm barBC} = 2cos theta }]이므로 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S = 1over 2 × 2sin theta × 2cos theta][eqn: =2 sin theta cos theta]

또, 삼각형 [eqn: rm ABC]내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= r times {2+2sin theta +2 cos theta} over 2]

[eqn: = r (1+sin theta + cos theta )]

∴ [eqn: 2 sin theta cos theta][eqn: = r (1+sin theta + cos theta )]

∴ [eqn: r = {2 sin theta cos theta } over {1+ sin theta +cos theta }]

따라서 사각형 [eqn: rm ODBE]에서 [eqn: rm angle DOE = pi - theta]이므로

[eqn: l_2 = r (pi- theta )][eqn: = {2 sin theta cos theta (pi- theta) } over {1+ sin theta +cos theta }]

∴ [eqn: lim_theta->0 l_1 over l_2][eqn: =lim_theta->0 { 2theta(1+ sin theta +cos theta )} over {2 sin theta cos theta (pi- theta) }]

[eqn: =lim_theta->0 theta over sintheta cdot lim_theta->0 {1+ sin theta +cos theta } over { cos theta (pi- theta) }]

[eqn: = 1 cdot {1+0+1} over { 1cdot pi}= 2 over pi]

ꂼ ④

<다른 풀이>

호 [eqn: rm AC]의 중심각의 크기는 [eqn: 2theta]이므로

[eqn: l_1 = 1cdot 2theta = 2theta]

내접원과 선분 AC의 접점을 F라 하면

[eqn: rm bar AF + bar BE = bar AD + bar DB = bar AB =2]이고,

[eqn: {rm bar CE + bar DF} = r+r=2r]므로

[eqn: {rm bar AC + bar BC }=2+2r] ⋯ ㉠

그런데, 직각삼각형 [eqn: rm ABC]에서

[eqn: {rm bar AB = 2,~bar AC = 2sintheta,~{rm barBC} = 2cos theta }]이므로

[eqn: {rm bar AC + bar BC }=2sin theta+2cos theta] ⋯ ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: 2+2r = 2sin theta + 2 cos theta]

∴ [eqn: r= sin theta +cos theta -1]

한편, 사각형 [eqn: rm ODBE]에서 [eqn: rm angle DOE = pi - theta]이므로

[eqn: l_2 = r (pi- theta )][eqn: = (sin theta +cos theta -1) (pi-theta)]

∴ [eqn: lim_theta->0 l_1 over l_2][eqn: =lim_theta->0 { 2theta} over {(sin theta + cos theta -1 ) (pi- theta) }]

[eqn: =lim_theta->0 { 2theta(sin theta +cos theta +1)} over {"{"(sin theta + cos theta)^2 -1"}" (pi- theta) }]

[eqn: =lim_theta->0 { 2theta( sin theta +cos theta +1 )} over {2 sin theta cos theta (pi- theta) }]

[eqn: = 2 over pi]

28.

[eqn: g(x) = 2 sin left( x - pi over 6 right)] 이므로 폐구간 [eqn: [0, pi]]에서

최소값은 [eqn: g(0) = 2 sin left( - pi over 6 right) = - 1]

최대값은 [eqn: g left( 2 over 3 pi right) = 2 sin pi over 2 = 2]

[eqn: therefore] [eqn: -1<= g(x) <=2]

따라서, [eqn: y = (f circ g)(x) = f( g(x)) = 1 over g(x)+2] 이므로

최대값 [eqn: M]은 [eqn: g(x)= -1] 일 때

[eqn: M= 1 OVER -1+2 = 1]

ꂼ ②

29.

ㄱ. [eqn: f(x)=e^-x sinx +g(x)]에서

[eqn: lim from { x ->0 } { f(x)} over {x } =1]이므로

[eqn: x``→ ``0]일 때 (분자)[eqn: →``0]이어야 한다.

따라서

[eqn: f(0)=e^-0 sin0 +g(0) = 0]이므로

[eqn: g(0)=0]    (참)

ㄴ. [eqn: lim from { x ->inf } { f(x)} over {x^2 } =1]이므로

[eqn: lim from { x ->inf } { e^-x sinx +g(x)} over {x^2 } =1]이다.

그런데 [eqn: x``→ ``inf]일 때[eqn: e^-x sinx ``` `→ ``0]이므로

[eqn: lim from { x ->inf } { e^-x sinx +g(x)} over {x^2 }]

[eqn: =``lim from { x ->inf } { e^-x sinx } over {x^2 } + lim from { x ->inf } { g(x)} over {x^2 }]

[eqn: =` lim from { x ->inf } { g(x)} over {x^2 } =1]   (참)

ㄷ. ㄱ, ㄴ이 참이므로 [eqn: g(x)=x^2 +ax]라 할    수 있다. 이 때

[eqn: lim from { x ->0 } { f(x)} over {x } =lim from { x ->0 } { e^-x sinx +x^2 +ax} over {x }]

[eqn: =lim from { x ->0 } LEFT ( { e^-x sinx } over {x } + x +a` RIGHT )]

[eqn: =1+a=1]

[eqn: ∴```a=0]

[eqn: ∴```g(x)=x^2]

그러므로

[eqn: lim from { x ->0 } { f(x)} over {g(x) } = lim from { x ->0 } { f(x)} over {x^2 }]

[eqn: = lim from { x ->0 } LEFT ({ f(x)} over {x } ⋅{1} over {x } RIGHT )]

그런데 [eqn: x``→ ``0]일 때 [eqn: { 1} over {x }]의 극한값이 존재하지 않으므로 [eqn: lim from { x ->0 } { f(x)} over {g(x) }]의 극한값은 존재하지 않는다. (거짓)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

ꂼ ③

30.

[eqn: ∠ rm ROQ = θ`], [eqn: ∠ rm POQ = 2θ`]이고,

[eqn: rm bar OP = bar OR = bar OQ = 1`]이므로

삼각형[eqn: rm POQ`]의 넓이는

[eqn: 1over 2 cdot 1 cdot 1 cdot sin 2θ` = 1over2 sin 2θ`]

삼각형[eqn: rm ROQ`]의 넓이는

[eqn: 1over2 cdot 1 cdot 1 cdot sinθ = 1over2 sin θ`]

따라서, [eqn: 1over2 sin 2θ ``:`` 1over2 sin θ = 3``:``2`]에서

[eqn: 2 `sin 2θ = 3 sin θ`]

[eqn: 4 sin θ cos θ = 3 sin θ`]

[eqn: sin θ `ne 0`]이므로 [eqn: 4 cos θ = 3`]

∴ [eqn: cos θ = 3over4`]

∴ [eqn: 16 cos θ = 16 cdot 3over4 = 12`]

ꂼ [eqn: 12`]

확률과 통계

26.

주어진 누적상대도수의 그래프에서 0이상 50미만까지는 증가하는 비율이 작아지므로 도수는 감소하고, 50이상 100미만까지는 증가하는 비율이 일정하므로 도수는 일정하다.

또, 0이상 50미만까지의 누적상대도수의 비율이 이므로 0이상 50미만의 도수의 합과 50이상 100미만의 도수의 합이 같으므로 주어진 보기에서 옳은 개형은 ③이다.

ꂼ ③

27.

[eqn: M_A = { 1 over 6 + 1over5 } over 2], [eqn: M_B = { 1 over 6 + 1over5 } over 2]

이므로 [eqn: M _{A} =M _{B} `]

자료[eqn: A`], [eqn: B`] 를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {1} over {10}]

[eqn: 1]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: {1} over {3}]

[eqn: {1} over {4}]

[eqn: {1} over {5}]

[eqn: {1} over {6}]

[eqn: 0]

[eqn: x]

[eqn: {1} over 9]

자료 [eqn: A`]와 자료 [eqn: B~] 모두 중앙값을 중심으로 자료의 분포가 오른쪽이 더 넓은 간격으로 분포하고 있으므로 평균이 중앙값보다 크다는 것을 추론할 수 있다.

즉, [eqn: M_A < m_A , ~~M_B < m_B`]

한편, 자료 [eqn: A`]가 자료 [eqn: B`]보다 중앙값을 중심으로 자료의 분포가 오른쪽이 더 넓은 간격으로 분포하고 있으므로 [eqn: m_A > m_B`]

를 추론할 수 있다.

∴ [eqn: m_A > m_B`= M_A =M_B]

ꂼ ②

28.

9개의 자연수 중에서 서로 다른 4개의 수를 택하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수의 개수는

[eqn: rm `_9 P_4 = 9 cdot8 cdot 7 cdot 6]

(i) 백의 자리의 수와 십의 자리의 수가 모두 짝수인 경우의 수는

[eqn: rm `_4 P_2 times _7 P_2 = 4cdot3cdot7cdot6]

(ii) 백의 자리의 수와 십의 자리의 수가 모두 홀수인 경우의 수는

[eqn: rm `_5 P_2 times _7 P_2 = 5cdot4cdot7cdot6]

따라서 백의 자리의 수와 십의 자리의 수의 합이 짝수인 경우의 수는

[eqn: 4cdot3cdot7cdot6 +5cdot4cdot7cdot6]

[eqn: = 7cdot6cdot4 (3+5) = 7cdot6cdot4cdot8]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {7cdot6 cdot4 cdot8} over{ 9 cdot8 cdot 7 cdot 6} = 4 over 9]

ꂼ ①

29.

가수 C를 선호하는 사건을 D, 가수 A의 팬클럽일 사건을 E라 하면

구하고자 하는 확률은

[eqn: P( E | D) = {P(E INTER D )} OVER {P(D)}]

[eqn: = {150TIMES0.7 OVER 350} OVER {{150TIMES0.7+200TIMES0.5} OVER {350}}]

[eqn: = {105} OVER {205} = 21 OVER 41]

ꂼ ④

30.

(i) ○표인 제비가 3개 이상이 나올 확률은

[eqn: {`_4 C_3 TIMES `_4 C_1} over {`_8 C_4} + {`_4 C_4 } over {`_8 C_4} = {16+1} OVER {70} = 17 OVER 70]

(ii) ×표인 제비가 4개가 나올 확률은

[eqn: {`_4 C_4 } over {`_8 C_4} = 1 over 70]

따라서, 구하고자 하는 확률은

[eqn: 17 over 70 + 1 over 70 = 9 over 35]

[eqn: therefore] [eqn: p+q = 44]

ꂼ [eqn: 44`]

이산수학

26.

구하는 분할의 개수는 1의 개수에 따라 다음과 나누어 구할 수 있다.

1+1+1+1+1+6

1+1+1+1+1+2+4

1+1+1+1+1+3+3

1+1+1+1+1+2+2+2

1+1+1+1+1+1+5

1+1+1+1+1+1+2+3

1+1+1+1+1+1+1+4

1+1+1+1+1+1+1+2+2

1+1+1+1+1+1+1+1+3

1+1+1+1+1+1+1+1+1+2

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

2+2+2+2+2+1

∴ 12(가지)

ꂼ ③

27.

주어진 그래프를 적절하게 색칠하는 데 필요한 최소의 색의 수는 다음 그림과 같이 [eqn: 2`]가지 이다.

ꂼ ②

28.

ㄱ. 변이 꼭지점에

서만 만나도록 오

른쪽 그림과 같이

그릴 수 있으므로

평면 그래프이다.

<참>

ㄴ. 모든 꼭지점의 차수가 짝수이므로 오일러회로를 갖는다.<참>

ㄷ. 아래 그림에서 회로 [eqn: rm AFBGCHDEA]는

모든 꼭지점을 오직 한 번씩만 지나서 시작점으로 돌아오므로 주어진 그래프는 회밀턴 회로를 갖는다. <참>

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm F]

[eqn: rm G]

[eqn: rm H]

[eqn: rm E]

ꂼ ⑤

29.

(ⅰ) 자물쇠 A를 열 수 있는 열쇠 2개와 자물쇠 B를 열 수 있는 열쇠 1개를 선택하는 경우의 수는

[eqn: `_4 C_2 × ``_3 C_1 = 18`](가지)

(ⅱ) 자물쇠 A를 열 수 있는 열쇠 1개와 자물쇠 B를 열 수 있는 열쇠 2개를 선택하는 경우의 수는

[eqn: `_4 C_1 × `_3 C_2 = 12`](가지)

따라서, 구하는 경우의 수는

[eqn: 18 + 12 = 30`](가지)

ꂼ ④

30.

꼭지점이 6개인 완전그래프의 변의

개수는 [eqn: `_6 C_2 = { 6×5} over { 2} =15]

이 때 6개의 점을 잇는 수형도를 만들려면

5개의 변만 필요하므로 지워야하는 변의

수는 10개이다.

ꂼ 10