수학 영역(A형)

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수학 영역(A형)

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2015학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(A형)

제 2 교시

5지선다형

12

1. [eqn: 3 TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{-2} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 27]

2. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``-1~&```````2``#``````````3~&-1``}}], [eqn: B`= {pmatrix{``4~&````-3``#``0~&````-2``}}]에 대하여 행렬 [eqn: A+2B`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3. [eqn: lim _{n `-> ` INF } {} {8n -1 } over {sqrt {n ^{2} +1}}`]의 값은? [2점]

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① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

4. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 [eqn: 1`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

5. 두 양의 실수 [eqn: a `], [eqn: b`]([eqn: a > b`])에 대하여 [eqn: lim _{ n`->`inf} { {2a^n} over {a^n +b^{`n}}`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

6. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]에 대하여 [eqn: a _{4}=9`], [eqn: a _{7} =21`]일 때, [eqn: a _{3} +a _{8}]의 값은?

[3점]

① [eqn: 28]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 32]

7. 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 2^{`a} =3 `], [eqn: 3^{`b} = root2 `]가 성립할 때, [eqn: a ` b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: 1 over 3]	④ [eqn: 1over 2]	⑤ [eqn: 1}]

8. 수열 [eqn: "{"a_n "}"]에 대하여 무한급수 [eqn: SUM_n=1 ^inf LEFT(a_n - 5n over n+1 RIGHT)]이 수렴할 때, [eqn: lim_{n`->`inf} {a_n +3}over{a_n -1}]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

9. 행렬 [eqn: A = pmatrix{`-12&```-a`#````````````a&```````13`} `]에 대하여 [eqn: A^2 -A =3E`]가 성립할 때, [eqn: A-2E ``]의 역행렬의 모든 성분의 합은?

(단, [eqn: a`]는 실수이고, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

10. 지수함수 [eqn: y=3`^x]의 그래프 위의 한 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: y] 좌표가 [eqn: 1over3`]이다. 이 그래프 위의 한 점 [eqn: rm B`]에 대하여 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점 [eqn: rm C`]가 [eqn: y`]축 위에 있을 때, 점 [eqn: rm B]의 [eqn: y] 좌표는? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 3 root {3} of {3}]	③ [eqn: 3 sqrt {3}]	④ [eqn: 3 root {3} of {9}]	⑤ [eqn: 9]

11. 그림과 같이 함수 [eqn: y= log_{`2}` x`]의 그래프 위의 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B `]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm C (`it p,~0)`], [eqn: rm D (it 2p ,~0)`]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm BCD`]와 삼각형 [eqn: rm ACB`]의 넓이의 차가 [eqn: 8`]일 때, 실수 [eqn: p`]의 값은? (단, [eqn: p >1`]) [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

12. 모든 항이 양의 실수인 수열 [eqn: "{"a_n "}"]이
[eqn: a_1 =k], [eqn: a_n a_n+1 +a_n+1 = ka_n ^{`2} + ka_n `] ([eqn: n GEQ 1])
을 만족시키고 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n = 5`]일 때, 실수 [eqn: k] 의 값은?

(단, [eqn: 0 < k <1 `]) [3점]

① [eqn: 5over6]	② [eqn: 4over5]	③ [eqn: 3over4]	④ [eqn: 2 over3]	⑤ [eqn: 1 over 2]

[13 ~ 14] 양의 실수 [eqn: {bold{x}}` _{ }]에 대하여 [eqn: bold f(x)`]가 다음과 같다.

[eqn: bold{ f(x)=log``x}`]

13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13. 세 실수 [eqn: f(3)`], [eqn: f(3 ^{t} +3)`], [eqn: f(12)`]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 실수 [eqn: t`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 3 over4]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5 over4]

14. [eqn: f(n)`]의 지표가 [eqn: 1`], 가수가 [eqn: alpha`]일 때, [eqn: 2alpha`]의 정수 부분이 [eqn: 1`]인 모든 자연수 [eqn: n`]의 개수는? (단, [eqn: 3.1 <root10 `<3.2`]) [4점]

① [eqn: 64]	② [eqn: 66]	③ [eqn: 68]	④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 72]

15. 컴퓨터 화면에서 마우스 커서()가 아이콘까지 이동하는 시간을 [eqn: T`](초), 현재 마우스 커서의 위치로부터 아이콘의 중심까지의 거리를 [eqn: D`](cm), 마우스 커서가 움직이는 방향으로 측정한 아이콘의 폭을 [eqn: W`](cm)라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. (단, [eqn: D>0])

[eqn: T`=a+ 1 over10 rm log`_2`LEFT(it D over{W ``}+1 RIGHT)] (단, [eqn: a`]는 상수)

그림과 같이 컴퓨터 화면에 두 개의 아이콘 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]가 있다.

현재 마우스 커서의 위치에서 아이콘 [eqn: rm A`]의 방향으로 측정한 아이콘 [eqn: rm A`]의 폭 [eqn: W_{rm A} `]와 아이콘 [eqn: rm B`]의 방향으로 측정한 아이콘 [eqn: rm B`]의 폭 [eqn: W_{rm B} `]는 모두 [eqn: 1]cm 로 같다. 현재 마우스 커서의 위치로부터 아이콘 [eqn: rm A`]의 중심까지의 거리와 아이콘 [eqn: rm B`]의 중심까지의 거리를 각각 [eqn: D_{rm A} `](cm), [eqn: D_{rm `B} `](cm)라 할 때, 마우스 커서가 아이콘 [eqn: rm A`]까지 이동하는 시간 [eqn: T_{rm A} `], 아이콘 [eqn: rm B`]까지 이동하는 시간 [eqn: T_{rm B} `]는 각각 [eqn: 0.71`]초, [eqn: 0.66`]초이다. [eqn: {D_{rm A} +1} over { D_{rm`B} +1 }`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2sqrt2]	⑤ [eqn: 4]

16. 그림과 같이 두 직선 [eqn: l `], [eqn: m`]이 제[eqn: 1`]사분면의 점 [eqn: rm A(alpha,~ beta )`]에서 만난다. [eqn: x=alpha`], [eqn: y=beta`]가 연립방정식 [eqn: {pmatrix{-3&``````1``#```````5&``````1``}} {pmatrix{x#y}} =k {pmatrix{x#y}}]의 해일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [4점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

17. 두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: sum_k=1^n (a_k +b_k )= 1overn+1`] ([eqn: n GEQ 1])

(나) [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} n ^{2`} b _{n} =2]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} n ^{2`} a _{n} `]의 값은? [4점]

① [eqn: -3`]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1`]	④ [eqn: 0`]	⑤ [eqn: 1`]

18. 그림과 같이 직선 [eqn: y`=`-x+a`]가 두 곡선 [eqn: y=2^{`x}], [eqn: y= log_{`2} `x `]와  만나는 점을 각각 [eqn: rm A `], [eqn: rm B `]라 하고, [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 할 때, 점 [eqn: rm A `], [eqn: rm B `], [eqn: rm C`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: rm overline AB : overlineBC = 3:1 `]

(나) 삼각형 [eqn: rm OBC`]의 넓이는 [eqn: 40`]이다.

점 [eqn: rm A`]의 좌표를 [eqn: rm A( it p ,~ q)`]라 할 때, [eqn: p+q`]의 값은?

(단, [eqn: rm O`]는 원점이고, [eqn: a`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 30]

19. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y`=`a ^{`x} `], [eqn: y`=`b ^{`x} `]([eqn: 1<a<b`])가        직선 [eqn: y`=`t`(`t>1)`]과 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: f(t)], [eqn: g(t)`]라 할 때, [eqn: 2`f(a)=3`g(a)`]가 성립한다. [eqn: f(c)=g(27)`]을 만족시키는       실수 [eqn: c`]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 9`]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

20. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가

[eqn: A ^{2} +AB=2E`], [eqn: A ^{2} -2A=B ^{`2} +2B]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: AB``=`-BA] ㄷ. [eqn: B ^{`2} =5E-3A]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]은 [eqn: 15`]와 서로소인 자연수를 작은 수부터 차례대로 모두 나열하여 만든 것이다. 예를 들면 [eqn: a _{2} =2`], [eqn: a _{4} =7 `]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{16} a _{n} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 240]	② [eqn: 280]	③ [eqn: 320]	④ [eqn: 360]	⑤ [eqn: 400]

단답형

22. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식
[eqn: pmatrix{```````a&`````1#-1&`````b} pmatrix{x#y}=pmatrix{`8`#`9}]
의 해가 [eqn: x=1], [eqn: y=1]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 실수이다.) [3점]

23. 수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S_n`]이 [eqn: S_n = n^2`]일 때, [eqn: a_50`]의 값을 구하시오. [3점]

24. [eqn: 30 LEQ a LEQ 40], [eqn: 150 LEQ b LEQ294`]일 때, [eqn: sqrt {a} +root {3} of {b} `]의 값이 자연수가 되도록 하는 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

[3점]

25. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2 ^{`n-1} `]의 모든 양의 약수의 합을 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{n} `]의 값을 구하시오. [3점]

26. [eqn: 4^{`m}`]이 [eqn: 8`] 자리의 정수가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: m`]의 값의 합을 구하시오. (단, [eqn: log``2 = 0.301`]로 계산한다.) [4점]

27. 행렬 [eqn: A = {pmatrix{`3`&```0`#`0`&```2`}} `]와 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: A^n `]의 [eqn: (1,~1)`]성분과 [eqn: (2,~2)`]성분의 곱을 [eqn: p_n `]이라 하자.
[eqn: log_{`36}` `p_1 `p_2 `cdots ` p_n = 105 `]일 때, [eqn: n`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 연립부등식
[eqn: cases{`` x^2 + y^2 le left( 1 over n right)^2 #``|`x`|+|`y`| ge 1 over n]  ([eqn: n GEQ 1])

의 해 [eqn: (x,~y)`]가 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: S_{n} `]이라 할 때,

[eqn: 20 over{pi -2} `sum_{n=1} ^{inf} root{ S_n` `S_n+2} `]의 값을 구하시오. [4점]

29. [eqn: log`_2` (-x^2 +ax+4)`]의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 6`]일 때, 모든 자연수 [eqn: a`]의 값의 곱을 구하시오. [4점]

30. 집합 [eqn: U=` LEFT { ``x`|`x`는~ 30 ~이하의~자연수` RIGHT }`]의 부분집합

[eqn: A= left{a_1 ,~a_2 ,~a_3 ,~cdots~,~a_15 right}]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 [eqn: A `]의 임의의 두 원소 [eqn: a_{`i}], [eqn: a_{`j}]([eqn: i ne j])에 대하여 [eqn: a_{`i} +a_{`j} !=31]

(나) [eqn: sum _{i=1} ^{15} a _{`i} =264]

[eqn: 1 over {31}sum _{i=1} ^{15} {`a _{`i} ^{``2}}]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.