• 수리 영역 •

로그인/회원가입 필요 없는 무료 학습자료 사이트

레전드스터디 닷컴!

http://LegendStudy.com

2008년도 3월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

정 답

1	⑤	2	①	3	④	4	③	5	④	6	④	7	①	8	②
9	①	10	④	11	①	12	③	13	②	14	②	15	⑤	16	②
17	③	18	③	19	⑤	20	②	21	⑤	22	16	23	14	24	56
25	24	26	10	27	100	28	20	29	15	30	13

해 설

1. [출제의도] 무리식을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {sqrt {2} -1} over {sqrt {2} +1} + {sqrt {2} +1} over {sqrt {2} -1} ``][eqn: = {( sqrt {2} -1) ^{2} +( sqrt {2} +1) ^{2}} over {( sqrt {2} +1)( sqrt {2} -1)} ``]

[eqn: =(3-2 sqrt {2} )+(3+2 sqrt {2} )=6``]

2. [출제의도] 근과 계수의 관계를 알고 식을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: alpha + beta =3``], [eqn: alphabeta=5``]

∴ [eqn: (alpha -beta)^2 =(alpha+ beta)^2 -4alphabeta =3^2 -4×5=-11``]

3. [출제의도] 삼차방정식의 근을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f`(x)=x^3 -7x^2 +5x+1``]이라 하면

[eqn: f`(1)=0`]이므로 [eqn: f`(x)`]는 [eqn: x-1`]을 인수로 갖는다.

조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: x^3 -7x^2 +5x+1=(x-1)(x^2 -6x-1)=0``]

∴ [eqn: x=1``] 또는 [eqn: x ^{2} -6x-1=0``]

∴ [eqn: x=1``] 또는 [eqn: x=3+- sqrt10``]

4. [출제의도] 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sin`theta`-`cos`theta`=` {1} over {2} ``]의 양변을 제곱하면

[eqn: (sin`theta`-`cos`theta)^2 = left( {1} over {2}right)^2 ``]에서

[eqn: sin ^{2} ` theta `-`2sin theta ``cos theta +cos` ^{2} theta = {1} over {4} ``]

[eqn: 1`-`2sin theta ``cos theta = {1} over {4} ``]

[eqn: THEREFORE ``sin theta ``cos theta =` {3} over {8} ``]

∴ [eqn: sec `theta`` cosec `theta``][eqn: = {1} over {sin theta ``cos theta } = {8} over {3} ``]

5. [출제의도] 집합의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

△

[eqn: =``]

[eqn: LEFT { A∩(B`∪C`) RIGHT }]            [eqn: (`B `△C`)]       [eqn: LEFT { A∩(B`∪C`) RIGHT } △`(B `△C`)``]

6. [출제의도] 충분조건과 필요조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: a`,```b``]가 실수이므로

[eqn: a`b=0``] [eqn: LRARROW``][eqn: ``a=0] 또는 [eqn: b=0``]

[eqn: a+bi=0][eqn: ```LRARROW``] [eqn: ``a=0] 이고 [eqn: b=0``]

[eqn: THEREFORE] 필요조건

(ⅱ) [eqn: a+b=0``]이면 [eqn: b=-a``]이므로 [eqn: a^2 -b^2 =a^2 -(-a)^2 =0``]

∴ [eqn: a+b=0``]이면 [eqn: a^2 -b^2 =0``]이다.

한편, [eqn: a=b=2``]일 때 [eqn: a^2 -b^2 =0``]이지만 [eqn: a+b=4 ne 0``]

[eqn: THEREFORE] 충분조건

따라서 (가): 필요, (나): 충분

7. [출제의도] 나머지정리를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

나머지정리에 의하여 [eqn: f(a)=R_1 ``], [eqn: f(-a)=R_2``]

[eqn: f(x)``]를 [eqn: x^2 -a^2 ``]으로 나눌 때의 몫을 [eqn: Q(x)``], 나머지를 [eqn: px+q``]라 하면

[eqn: f(x)=(x^2 -a^2 )Q(x)+px+q``]

[eqn: f(a)=R_1 ``]에서 [eqn: pa+q=R_1``]   ……㉠

[eqn: f(-a)=R_2``]에서 [eqn: -pa +q=R_2``]   ……㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: p= {R_1 -R_2 } over 2a``], [eqn: q= {R_1 +R_2 } over 2``]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: {R_1 -R_2 } over 2a x + {R_1 +R_2 } over 2``]이다.

8. [출제의도] 주어진 연산 장치를 이해하고 이중근호를 간단히 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

연산 장치 에 [eqn: 45]와 [eqn: 36]이 입력되므로

[eqn: p= sqrt {45+36} = sqrt {81} =9]

연산 장치 에 [eqn: 92]와 [eqn: 12]가 입력되므로

[eqn: q= sqrt {92-12} = sqrt {80} =4 sqrt {5}]

따라서 연산 장치 에 [eqn: 9]와 [eqn: 4 sqrt {5}]가 입력되므로

[eqn: r= sqrt {9+4 sqrt {5}} = sqrt {9+2 sqrt {20}} =2+ sqrt {5}``]

9. [출제의도] 이차연립부등식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(i) [eqn: 2(x-1)>x+1``]에서 [eqn: x>3``]

(ii) [eqn: x ^{2} -(a+1)x+a=(x-1)(x-a) <= 0]

[eqn: a<1``]이면 [eqn: a <= x <= 1] 이므로 주어진 연립부등식의 해가 없다.

[eqn: a >=1``]이면 [eqn: 1 <= x <= a]

이때 연립부등식을 만족하는 정수 [eqn: x]가 [eqn: 3``]개이므로

∴ [eqn: 6 <= a<7``]

10. [출제의도] 이차함수와 무리함수의 그래프를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

이차함수 [eqn: y```=`ax ^{2} ```+`bx```+`c``]의 그래프에서 [eqn: a<0,````b>0,```c>0] 이므로

무리함수  [eqn: f(`x`)```=`a sqrt {`-x```+`b`} ```-`c``] 의 그래프의 개형은 다음과 같다.

11. [출제의도] 주어진 동경에 대하여 삼각함수의 값을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a<0``], [eqn: b>0] 이면 직선 [eqn: y=- {4} over {3} x] 위의 점 [eqn: rm P it (`a,```b)`]는 제 2사분면에 존재하므로 [eqn: sin` theta >0,````cos theta <0] 이다.

직선의 기울기 [eqn: `tan theta =- {4} over {3}] 이므로

[eqn: `sec ^{2} theta =`1+tan ^{2} theta =1+ LEFT ( - {4} over {3} RIGHT ) ^{2} = {25} over {9}], [eqn: sec theta =- {5} over {3} ``]

[eqn: THEREFORE ```cos theta =- {3} over {5} ,```sin theta = {4} over {5}]

따라서 [eqn: sin` (pi-theta) `+cos (pi+theta) ``][eqn: =sin` theta `-cos theta][eqn: = {4} over {5} - LEFT ( - {3} over {5} RIGHT ) = {7} over {5}] 이다.

12. [출제의도] 복소수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: (1+i) ^{2} =1+2i+i ^{2} =2i ``]이므로 [eqn: 1+i`` IN ``A``](참)

ㄴ. [eqn: z=a+bi(a`,```b]는 실수)라 하면

[eqn: z ^{2} =(a+bi) ^{2} =(a ^{2} -b ^{2} )+2abi]

이때 [eqn: z` INA] 이므로 [eqn: a ^{2} =b ^{2} ,~ab!=0] 이다.

[eqn: ( bar{z} ) ^{2} =(a-bi) ^{2} =(a ^{2} -b ^{2} )-2abi=-2abi ``]이므로 [eqn: bar{z} `` IN ``A``](참)

ㄷ. [eqn: z _{1} =1+i`,~z _{2} =1-i] 라 하면

[eqn: z _{1} ` ^{2} =(1+i) ^{2} =2i,~z _{2} ` ^{2} =(1-i) ^{2} =-2i``]이므로 [eqn: z _1`` in``A``], [eqn: z _2`` in``A``]이지만

[eqn: (z _{1} ``z _{2} ) ^{2} = LEFT { (1+i)(1-i) RIGHT } ^{2} =2 ^{2} =4 ``]이므로 [eqn: z _{1} ``z _{2} ` notIN A``](거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

<다른 풀이>

ㄴ. [eqn: (bar{z} )` ^{2} = bar{z ^{2}} ``]이므로 [eqn: z^2 ``]이 순허수이면 [eqn: (bar{z} )` ^{2}]도 순허수이다.

13. [출제의도] 직선의 방정식을 이해하고 선분의 내분점을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

직선 [eqn: rmAC``]의 기울기는 [eqn: b over a-c]이므로

점 [eqn: rmB``]를 지나고 직선 [eqn: rmAC``]에 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y=]        [eqn: (x+c)`]

[eqn: {c-a} over {b} ``]

이때 [eqn: x=a`]이면 [eqn: y= {c^2 -a^2 }overb]이므로 수심은 [eqn: rmP it left(a,~ {c^2 -a^2}overb right)]이다.

또, 선분 [eqn: rmAC``]의 중점 [eqn: left( a+c over2 ,~ b over 2 right)]를 지나고 직선 [eqn: rmAC``]에 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y- b over2 = c-a over b left(x - a+c over2 right)``]

여기서 [eqn: x=0`]이면 [eqn: y= {a^2 +b^2 -c^2 }over2b]이므로 외심은

[eqn: {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2b} ``]

[eqn: {rmQ}(0,~]              [eqn: )``]

그런데 [eqn: a over 3 = {2× 0+ 1×a} over 2+1``], [eqn: b over 3 = {2× {a^2 +b^2 -c^2 }over2b +1× {c^2 -a^2} over b} over 2+1``]이므로

무게중심 [eqn: rmG itleft( a over 3 ,~ b over 3 right)``]는 선분 [eqn: rm PQ``]를  로 내분한다.

[eqn: 2~:~1``]

14. [출제의도] 합성함수와 역함수의 성질을 이용하여 함숫값을 추론하여 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f^3 =I``]이므로 [eqn: f(1)=3`]이면, [eqn: f(3)=2,~f(2)=1`]

함수 [eqn: f``]의 역함수 [eqn: g``]에 대하여 [eqn: g^3 =I``]이므로

[eqn: g^10 =g,~g^11 =g^2`]

[eqn: ∴~g^10 (2)+g^11 (3)=g(2)+g^2 (3) =3+ 2=5``]

15. [출제의도] 여러 가지 절대부등식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ.  [eqn: 1 over a + 1 over b``- ``4over{a+b}`=`{a+b}over ab - 4 over a+b][eqn: `=`{(a+b)^2 -4ab} over {ab(a+b)}]

[eqn: `=`{(a-b)^2} over {ab(a+b)}``≧`0] (등호는 [eqn: a=b]일 때 성립) (참)

ㄴ. [eqn: (roota + rootb )^2 -(root a+b )^2 =a+b+2rootab -(a+b)``][eqn: =2 root ab``][eqn: >0``]

∴ [eqn: sqrt {a} + sqrt {b} ``> sqrt {a+b} ``] (참)

ㄷ. [eqn: a+b ``≧`2ROOTab], [eqn: b+c ``≧ 2rootbc], [eqn: c+a``≧`2rootca]

각 변끼리 더하면

[eqn: 2(a+b+c)``≧``2(rootab `+`rootbc `+`rootca`)]

∴  [eqn: a+b+c``≧``rootab `+`rootbc `+`rootca`] (등호는 [eqn: a=b=c``]일 때 성립) (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

16. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm P``]에서 [eqn: x``]축과 평행한 직선을 그어서 [eqn: y``]축과 만나는 점을 [eqn: rm C``]라 하면 [eqn: {rm C}(0,~b)``]이고, 점 [eqn: rm P(it a ,~ b )``]는 곡선 [eqn: y=x^2] 위의 점이므로 [eqn: b=a^2``]이다.

삼각형 [eqn: rmAPB``]의 넓이를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S=□ rm OAPC-(△OAB+△BPC)``]

[eqn: = {1} over {2} (1+ a ) b - LEFT { {1} over {2} TIMES 1 TIMES 1+ {1} over {2} ( b -1) a RIGHT } ``]

[eqn: = {1} over {2} b + {1} over {2}a - 1over2 ``][eqn: = {1} over {2} a^2 + {1} over {2}a - 1over2 ``]

한편 [eqn: S= 5over2 ``]이므로

[eqn: {1} over {2} a^2 + {1} over {2}a - 1over2 = 5over2 ``]

정리하면 [eqn: a^2 + a -6 = 0 ``]

[eqn: (a+3)(a - 2) = 0 ``]

그런데 [eqn: a>0``]이므로 [eqn: a=2``]

[eqn: b=a^2 = 2^2 =4 ``]

∴ [eqn: a+ b=2+4=6``]

17. [출제의도] 도형의 평행이동을 이해하고 원과 직선의 위치관계를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원 [eqn: x`` ^{2} `+`y` ^{2} `=`1`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼 평행이동하면

[eqn: (x-a)`` ^{2} `+`y` ^{2} `=`1`]이 되고

이 원이 직선 [eqn: 3x`-`4y`-4`=`0`]에 접하려면

원의 중심 [eqn: (`a,``0)]에서 직선 [eqn: 3x`-`4y`-4`=`0`]에 이르는 거리 [eqn: d``]가 원의 반지름의 길이 [eqn: 1]과 같아야 한다. 즉,

[eqn: d= {LEFT | `3a-4` RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2`} +(-4) ^{2}}} =1] , [eqn: LEFT | `3a-4` RIGHT | =5],  [eqn: 3a-4=±5]

∴ [eqn: a=``3``( BECAUSE a>0)]

18. [출제의도] 음수의 제곱근의 성질을 이해하고 부등식의 영역의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {x+y} sqrt {x-y} =- sqrt {(x+y)(x-y)}``]에서

[eqn: x+y≦0,~ x-y≦0``]이므로 [eqn: y≦-x,~ y≧x``]

이고 [eqn: ~x ^{2} +y ^{2}≦4^2 ``]이므로 점 [eqn: (x,~y)``]가 존재하는 영역은 다음 그림과 같다.

따라서 점 [eqn: (x,~y)``]가 존재하는 영역의 넓이는

[eqn: {1} over {4} TIMES pi TIMES 4 ^{2} =4 pi ``]

19. [출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 최대ㆍ최소를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 그림과 같이 직사각형의 두 변의 길이를 [eqn: x``], [eqn: y``]라고 하면 [eqn: S _{`1} =xy``]이고, 닮음비에 의해 [eqn: bar{rmBC} = 5 over 3 x + 5 over 4 y =10``]

∴ [eqn: 4x+3y=24``]

산술 · 기하평균에서

[eqn: 24= 4x+3y >= 2 root{4x×3y} ``]

(단, 등호는 [eqn: 4x=3y``]일 때 성립)

[eqn: 12>=root12xy``], [eqn: 12xy<=144``], [eqn: S _{`1} =xy <= 12``]

따라서 [eqn: S _{1} ``]의 최댓값은 [eqn: 12``]이다. (참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: 4x=3y=12``], 즉 [eqn: x=3``], [eqn: y=4``]일 때 [eqn: S _{1}``]이 최대이다.

따라서 [eqn: S _{1}``]이 최대일 때 직사각형의 둘레의 길이는 [eqn: 14``]이다. (참)

ㄷ. 그림과 같이 직사각형의 두 변의

길이를 [eqn: x``], [eqn: y``]라고 하면 [eqn: S _{`2} =xy``]이고, 닮음비에 의해

[eqn: 4 over 3 x +y+ 3 over 4 x =10``]에서

[eqn: 16x+12y+9x=120``], [eqn: 25x+12y=120``]

[eqn: 120 =25x+12y >=2root{25x×12y} ``]

[eqn: =10 sqrt {12xy} ``]

(단, 등호는 [eqn: 25x=12y``]일 때 성립)

[eqn: root12xy <=12``], [eqn: 12xy<=144``], [eqn: S _{`2} =xy <= 12``]

따라서 [eqn: S_1``]의 최댓값과 [eqn: S_2``]의 최댓값은 같다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

20. [출제의도] 유리식의 계산을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a=`{P_1` +P_3`} over P_2 `×100], [eqn: b`=`P_1 over P_2`×100]이므로

[eqn: a=` left( P_1 over P_2` + P_3 over P_2 right)`×100`=`b+ P_3 over P_2 ×100``]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: P_3 `= a-b over100 ×P_2],  [eqn: P _{1} `=` {b} over {100} TIMES P _{2}]

[eqn: THEREFORE]  (고령화 지수)[eqn: `=`P_3 over P_1`×100][eqn: `= { a-b over100 ×P_2} over { b over 100 ×P_2} ×100]

[eqn: `= a-b over b ×100``](%)

21. [출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

코사인법칙에 의해

[eqn: rm barBC`^2 = barAB`^2 + barAC`^2 -2`barAB`barAC`cos60 DEG]

[eqn: =80^2 +100^2 -2 cdot 80 cdot100 cdot 1over2]

[eqn: = 8400``]

[eqn: ∴~rm barBC `=sqrt 8400`]

호수의 반지름의 길이를 [eqn: R`](m)라 하면, 사인법칙에서

[eqn: {rm barBC}over{sin60 DEG }=2R`]

[eqn: ∴~R= {sqrt8400}over{2 cdot sqrt3 over2 }= sqrt{8400over3}][eqn: = root 2800``]

따라서 호수의 넓이는

[eqn: pi`R^2 = 2800 pi``]([eqn: rmm^2``])

22. [출제의도] 복소수를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: z=3+i,~ bar z =3-i``]이므로 [eqn: z+ barz =6,~z`barz = 10`]

[eqn: z^2 +(`barz`)^2 =(z+ barz )^2 -2z`barz ``]

[eqn: =6^2 - 2 cdot 10 ``]

[eqn: =16`]

23. [출제의도] 두 다항식의 최대공약수를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x)=x ^{2} +3x-a``], [eqn: g(x)=x ^{2} -bx+4``]

라 놓으면 [eqn: f(x)``]와 [eqn: g(x)``]는 [eqn: x-2``]의 인수를 갖는다.

[eqn: f(2)=4+6-a=0]

[eqn: THEREFORE``a=10]

[eqn: g(2)=4-2b+4=0]

[eqn: THEREFORE``b=4]

[eqn: THEREFORE``a+b=10+4=14]

24. [출제의도] 주어진 자료의 분산을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(평균)[eqn: = {4+2+3+3+2} over 5 = 14 over 5 = 2.8``]

[eqn: s ^{`2} ``][eqn: = {(4-2.8)^2 +(2-2.8)^2 +(3-2.8)^2 +(3-2.8)^2 +(2-2.8)^2 } over {5}``]

[eqn: = 2.8 over 5``][eqn: = 14 over 25``]

∴ [eqn: 100``s ^{`2} =56``]

25. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선이 접할 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: y=x^2 +ax+b``]와 [eqn: y=-x+4``]가 접할 때

[eqn: x^2 +ax+b=-x+4``]에서 [eqn: x^2 +(a+1)x +b-4=0``]

[eqn: D= (a+1)^2 -4(b-4)=0``]   ……㉠

(ⅱ) [eqn: y=x^2 +ax+b``]와 [eqn: y=5x+7``]이 접할 때,

[eqn: x^2 +ax+b=5x+7``]에서 [eqn: x^2 +(a-5)x +b-7=0``]

[eqn: D= (a-5)^2 -4(b-7)=0``]   ……㉡

㉠-㉡에서 [eqn: 12a-36=0``] ∴ [eqn: a=3``]

또, ㉠에서 [eqn: b=8``]

∴ [eqn: ab=3×8=24``]

26. [출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 합성함수의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: y=g(x)]의 그래프를 그려 보면,

[eqn: g(f(k))=3```]이므로 [eqn: f(k)>0``]이고 [eqn: -{ LEFT{` f(k) RIGHT } ^{`2} +4=3]

[eqn: THEREFORE ``f(k)=`1`]

[eqn: `f(k)= LEFT | ``k`` RIGHT | -4=1]

[eqn: THEREFORE ``k=`±5]

따라서 [eqn: alpha=5``], [eqn: beta=-5``]이다.

∴ [eqn: alpha-beta=10``]

27. [출제의도] 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm P ``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H``]라고 하자. [eqn: ANGLE rm `POH=60DEG``]이고 [eqn: rm bar{OP} =1``]이므로 [eqn: rm bar{OH} = 1over2 ,~bar{PH} = sqrt3over2 ``]이다.

[eqn: ∴``rmP left( 1over2 ,~ sqrt3 over 2 right)]

따라서 두 점 [eqn: rmB left( 0 ,~ 1 right),~P left( 1over2 ,~ sqrt3 over 2 right)]을 지나는 직선 [eqn: rmBP ``]의 기울기 [eqn: m``]은

[eqn: m= {sqrt3 over2 - 1 } over{ 1over2 -0 } =-2+sqrt3 ``]

[eqn: a=-2``], [eqn: b= 1``]이므로

[eqn: 20( a ^{2} +b ^{2}) = 20(4+1) =100``]

28. [출제의도] 원의 방정식을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원의 중심 [eqn: rm `C(IT`a,`b)]에서 현 [eqn: rmAB``]에 수선의 발 [eqn: rm `H]를 내리면

[eqn: rm ` bar{AH} =3,``` it `r=5]  [eqn: rm ` THEREFORE `` bar{CH} =4]

따라서 원의 방정식은 [eqn: (x-7) ^{2} +(y-4) ^{2`} =5 ^{2}]

원점 [eqn: rm ``O]에서 원 위의 점 [eqn: rm `P]까지의 거리의 최솟값은 [eqn: sqrt {7 ^{2} +4 ^{2}} `-5],

최댓값은 [eqn: sqrt {7 ^{2} +4 ^{2}} `+5]

[eqn: rm THEREFORE `` sqrt {65} - it `5 <= rm bar{OP} <= sqrt {65} + it `5`]

선분 [eqn: rm {OP} ``]의 길이가 될 수 있는 정수는 [eqn: 4,```5,` CDOTS ,`13``]의 [eqn: 10](개)이고,

각각에 대하여 점 [eqn: RM``P`]는 [eqn: 2]개씩 존재한다.

따라서 선분 [eqn: rm {OP} ``]의 길이가 정수가 되는 점 [eqn: RM``P`]의 개수는 [eqn: 20](개)이다.

29. [출제의도] 이차연립방정식을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

직선도로 AB 의 길이는 [eqn: 32-24=8``](km)

직선도로 AC, BC 의 길이를 각각 [eqn: a``], [eqn: b``]라 하면

[eqn: a+b=32``]   ……㉠

[eqn: 8 ^{2`} +a^2 =b^2``]   ……㉡

㉡에서 [eqn: 64=(b+a)(b-a)``]   ……㉢

㉠을 ㉢에 대입하면 [eqn: b-a=2``]   ……㉣

㉠, ㉣을 연립하여 풀면 [eqn: a=15``], [eqn: b=17``]

따라서 직선도로 AC 의 길이는 [eqn: 15``](km)

30. [출제의도] 집합의 원소의 개수를 이용하여 실생활의 문제를 해결 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm A,``B,``C]를 읽은 학생들의 집합을 각각 [eqn: A``], [eqn: B``], [eqn: C``]라 하면

[eqn: n(A)=14,~n(B)=16,~n(A CUP B)=22]이므로

[eqn: n(A SMALLINTER B)=n(A)+n(B)-n(A CUP B)=14+16-22=8]

이때 [eqn: n(A-B)=n(A)-n(A SMALLINTER B)=14-8=6]이므로

[eqn: n(B CUP C)=35-(6+3)=26]

또, [eqn: n(C)=15``]이므로

[eqn: n(B SMALLINTER C)=n(B)+n(C)-n(B CUP C)=16+15-26=5]

[eqn: n(A SMALLINTER C)=0]이므로 [eqn: n(A SMALLINTER B SMALLINTER C)=0]

∴ [eqn: n(A SMALLINTER B)+n(`B SMALLINTER C)+n(C SMALLINTER A) -3`n(A SMALLINTER B SMALLINTER C)``]

[eqn: =8+5+0-0=13``]

따라서 [eqn: rm A,``B,``C] 중 두

종류의 책만 읽은 학생은 13(명)이다.