수학 영역(B형)

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수학 영역(B형)

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2014학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(B형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: 4 ^{` {3} over {2}} TIMES `log _{``4} `2`]의 값은? [2점]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]	④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 5]

2. [eqn: lim _{x` -> `0} {} {e ^{`2`x} -1} over {x}]의 값은? [2점]

①　[eqn: 1 over 3]	②　[eqn: 1 over 2]	③　[eqn: 1`]	④　[eqn: 2`]	⑤　[eqn: 3`]

12

3. 함수 [eqn: f`(`x`)`=`3`sin`x`+`4`cos`x`]의 최댓값은? [2점]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]	④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 5]

4. 수열 [eqn: LEFT { `a _{`n} ` RIGHT }]이 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( `a _{`n} `-` {n} over {2`n`+`1} ` RIGHT ) `=`2`]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{`n} `}]의 값은? [3점]

①　[eqn: 1 over 3]	②　[eqn: 1 over 2]	③　[eqn: 1`]	④　[eqn: 2`]	⑤　[eqn: 3`]

5. 무리방정식 [eqn: sqrt {x ^{`2} `+`x} +`2`=`x ^{`2} `+`x`]의 모든 실근의 곱은? [3점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

12

6. 일차변환 [eqn: f`]를 나타내는 행렬이 [eqn: {pmatrix{`cos {pi } over {4}&````-sin {pi } over {4} `#`sin {pi } over {4}&`````````````cos {pi } over {4} `}} `]일 때, 합성변환 [eqn: f CIRC f`]에 의하여 점 [eqn: (`1,`-1)`]이 옮겨지는 점의 좌표는?

[3점]

① [eqn: (`1,``1`)]	② [eqn: (`-1,``1`)]	③ [eqn: (`1,``-1`)]

④ [eqn: (`0,`` sqrt {2} `)]	⑤ [eqn: LEFT ( ` sqrt {2} ,``0` RIGHT )]

7. 함수 [eqn: f`(`x`)`=`x`e ^{`x}`]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{1} {f`(`x`)`dx`}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: e]	④ [eqn: e+1]	⑤ [eqn: e+2]

12

8. 두 사건 [eqn: A`], [eqn: B``]가 서로 독립이고

[eqn: rm P`(` it A`)`=` {1} over {4} `], [eqn: rm P(` it A ^{C} ` SMALLINTER `B``)`=` {1} over {4} `]

일 때, [eqn: rm P( it `A` SMALLINTER `B``)``]의 값은? (단, [eqn: A ^{C} `]은 [eqn: A`]의 여사건이다.) [3점]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

9. 좌표공간의 점 [eqn: rm P it (`3,``5,``4`)`]에서 [eqn: xy`]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하자. [eqn: xy`]평면 위의 한 직선 [eqn: l`]과 점 [eqn: \P] 사이의 거리가 [eqn: 4 sqrt {2} `]일 때, 점 [eqn: \H`]와 직선 [eqn: l`] 사이의 거리는? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: sqrt {10}]	③ [eqn: 2 sqrt {3}]

④ [eqn: sqrt {15}]	⑤ [eqn: 4]

10. 연속함수 [eqn: y`=`f`(`x`)`]의 그래프가 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이고,

모든 실수 [eqn: a`]에 대하여

[eqn: int _{a-1} ^{a+1} {f`(`a-`x`)`dx} `=`24]

일 때, [eqn: int _{0} ^{1} {f`(`x`)`dx} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

11. 물체 주변의 온도가 [eqn: T _{s}]([eqn: ℃`])로 일정하고 물체의 초기 온도가 [eqn: T _{0}]([eqn: ℃`])일 때 초기 온도를 측정한 지 [eqn: t]분 후 물체의 온도를 [eqn: T`]([eqn: ℃`])라고 하면 다음 식이 성립한다고 한다.

[eqn: T`=`T _{s} +(T _{0} -T _{s} )K ^{```-t}] (단, [eqn: K`]는 열전달계수이다.)

어떤 물체 주변의 온도가 [eqn: 20 `℃`]로 일정하고 물체의 초기 온도가 [eqn: 60`℃`]일 때 초기 온도를 측정한 지 [eqn: a`]분 후 물체의 온도는 [eqn: 40 `℃`]가 되었고, 초기 온도를 측정한 지 [eqn: (a+20)`]분 후 물체의 온도는 [eqn: 25 `℃`]가 되었다. [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

[eqn: z`]	[eqn: rm P`(`0 LEQ it Z` LEQ z`)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

12. 어느 제과점에서 판매되는 찹쌀 도넛의 무게는 평균이 [eqn: 70`], 표준편차가 [eqn: 2.5`]인 정규분포를 따른다고 한다.

이 제과점에서 판매되는 찹쌀 도넛 중 [eqn: 16`]개를 임의추출하여 조사한 무게의 표본평균을 [eqn: {bar{X```}}`]라 하자.

[eqn: rm P` it LEFT ( LEFT | {bar{X```}} -`70` RIGHT | ` LEQ a` RIGHT ) `=`0.9544]

를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 [eqn: rm g`]이다.) [3점]

①　[eqn: 1.00]	②　[eqn: 1.25]	③　[eqn: 1.50]

④　[eqn: 2.00]	⑤　[eqn: 2.25]

13. 그림과 같이 [eqn: {bar{rm BC it}} `=`1`]이고 [eqn: ANGLE rm ABC` it =` theta `], [eqn: ANGLE rm ACB it `=`2 theta `]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 다음은 [eqn: {bar{rm AB it}} `+` {bar{rm AC it}} `=`a``]라 할 때, [eqn: cos theta `]를 [eqn: a`]에 대한 식으로 나타내는 과정이다.

삼각형 [eqn: rm ABC`]에서

[eqn: {1} over {sin`(` pi `-`3 theta `)} `=` {{bar{rm AB it}}} over {sin`2 theta `} `=` {{bar{rm AC it}}} over {sin` theta `} `]

이므로 [eqn: {bar{rm AB it}} `+` {bar{rm AC it}} `=` {sin` theta ` TIMES ` {BOX{``(가)``}}} over {sin`3 theta } `]이다.

[eqn: sin 3theta][eqn: =][eqn: sin (2theta + theta )]

[eqn: =][eqn: sin 2theta cos theta + cos 2theta sin theta]

[eqn: =][eqn: 2sin theta cos ^2 theta +(1-2sin^2 theta)sin theta]

[eqn: =][eqn: 3 sin theta - 4sin ^3 theta]

이므로 [eqn: {bar{rm AB it}} + {bar{rm AC it}}` =a`]에서

[eqn: a=][eqn: {{BOX{``(가)``}}} over {3-4sin ^{2} theta }][eqn: = {1} over {box{``(나)``}}]

이다. 따라서

[eqn: cos theta = box { ``(다)``` }]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f( theta )], [eqn: g( theta )], [eqn: h(a)]라 할 때, [eqn: f LEFT ( {pi } over {6} RIGHT ) +`g LEFT ( {pi } over {6} RIGHT ) +`h(2)]의 값은? [3점]

① [eqn: sqrt {3} +1]	② [eqn: sqrt {3} + {4} over {3}]	③ [eqn: 2 sqrt {3} + {3} over {4}]

④ [eqn: 2 sqrt {3} +1]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3} + {5} over {4}]

14. 주머니 안에 [eqn: 0`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 5`]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 4`]개의 공이 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 넣는 시행을 [eqn: 3`]회 반복한다. 꺼낸 [eqn: 3`]개의 공에 적힌 수를 모두 곱한 값으로 가능한 서로 다른 정수의 개수는?

[4점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

15. 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B``]가

[eqn: A^2`+BA=E`], [eqn: BA + B^2 = A-E``]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A``]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: (AB)^2``][eqn: =A^2 B^2`] ㄷ. [eqn: A ^{`3} =2 E`]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 빗변 [eqn: rm BC `]의 길이가 [eqn: 2`]인 직각이등변삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC]의 직각을 낀 두 변에 내접하고 두 점 [eqn: rm B_{1}`], [eqn: rm C_{`1} `]이 선분 [eqn: rm BC `] 위에 놓이도록 정사각형 [eqn: rm P_1 B_{`1} C_{`1} Q _1`]을 그린다. 중심이 [eqn: rm A`], 반지름의 길이가 [eqn: rm bar{ AP_1}`]이고 중심각의 크기가

[eqn: { pi} over {2 }`]인 부채꼴 [eqn: rm AP_1 Q_1`]을 그린 후 부채꼴 [eqn: rm AP_1 Q_1`]의 호 [eqn: rm P_1 Q`_1]과 선분 [eqn: rm P_1 Q`_1]로 둘러싸인 부분인  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: `F _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: `F _{1}]에 선분 [eqn: rm B_{`1} C_{`1} `]을 빗변으로 하는 직각이등변삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1]을 그리고, 직각이등변삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1]에서 그림 [eqn: `F _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어 지는  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: `F _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: F _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} {S_ n}]의 값은? [4점]

…

…

① [eqn: {5( pi -2)} over {16}]	② [eqn: {pi-2}over4]	③ [eqn: {3( pi -2)} over {16}]

④ [eqn: { pi -2} over {8}]	⑤ [eqn: { pi -2} over {16}]

17. 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{ x->-1+0} {f(x) }`=`1] ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1+0} {LEFT { f(x)+f(2-x) RIGHT }}` =`0] ㄷ. 함수 [eqn: ( f circ f )(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 중심이 [eqn: (`0,```3`)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원이 [eqn: x]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]라 하자. 이 원과 타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} `+` {y ^{2}} over {9} `=`1`]이 만나는 점 중 한 점을 [eqn: rm P`]라 할 때, [eqn: {bar{rm AP it}} ` TIMES ` {bar{rm BP it}} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 41over4]	② [eqn: 21over2]	③ [eqn: { 43} over { 4}]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: { 45over4}]

19. 그림과 같이 원점을 지나고 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta ``][eqn: left(0 LEQ theta < {pi } over {4}right )]인 직선을 [eqn: l`]이라 하자. 곡선 [eqn: y`=`-x ^{3} +x`]

[eqn: (`x ge0`)]과 직선 [eqn: l`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S`(` theta `)`]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` -> ` {pi } over {4} `-`0} {`` {S`(` theta `)} over {` LEFT ( ` theta `- {pi } over {4} RIGHT ) ^{2} `}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

20. 세 학생 [eqn: rm A`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC``]가 다음 단계에 따라 최종 승자를 정한다.

[단계 [eqn: 1]] 세 학생이 동시에 가위바위보를 한다.

[단계 [eqn: 2]] [단계 [eqn: 1]]에서 이긴 학생이 [eqn: 1`]명뿐이면 그 학생이 최종 승자가 되고, 이긴 학생이 [eqn: 2`]명이면 [단계 [eqn: 3]]으로 가고, 이긴 학생이 없으면 [단계 [eqn: 1]]로 간다.

[단계 [eqn: 3]] [단계 [eqn: 2]]에서 이긴 [eqn: 2`]명 중 이긴 학생이 나올 때까지 가위바위보를 하여 이긴 학생이 최종 승자가 된다.

가위바위보를 [eqn: 2`]번 한 결과 [eqn: rmA] 학생이 최종 승자로 정해졌을 때, [eqn: 2`]번째 가위바위보를 한 학생이 [eqn: 2`]명이었을 확률은?
(단, 각 학생이 가위, 바위, 보를 낼 확률은 각각 [eqn: { 1} over { 3}]이다.) [4점]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]	④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5over6]

21. 그림은 모든 모서리의 길이가 [eqn: 2`]인 정삼각기둥 [eqn: rmABC-DEF]의 밑면 [eqn: \ABC]와 모든 모서리의 길이가 [eqn: 2`]인 정사면체 [eqn: rmOABC]의 밑면 [eqn: \ABC]를 일치시켜 만든 도형을 나타낸 것이다. 두 모서리 [eqn: rm OB], [eqn: rm BE]의 중점을 각각 [eqn: rm M], [eqn: \N]이라 하고, 두 평면 [eqn: rm MCA], [eqn: rm NCA]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은? [4점]

①　[eqn: {3 sqrt {2} -2 sqrt {3}} over {6}]	②　[eqn: {2 sqrt {2} - sqrt {3}} over {6}]	③　[eqn: {3 sqrt {2} - sqrt {3}} over {6}]

④　[eqn: {sqrt {2} + sqrt {3}} over {6}]	⑤　[eqn: {2 sqrt {2} + sqrt {3}} over {6}]

단답형

22. 함수 [eqn: f(x)`=`lnx-x]에 대하여 [eqn: f``' LEFT ( {1} over {10} RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: a,~10 `,~ {17},~b`]는 이 순서대로 등차수열을 이루고 [eqn: a,~x`,~y,~b]는 이 순서대로 등비수열을 이루고 있다. [eqn: xy`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +(z-1) ^{2} =1] 위를 움직이는 점 [eqn: \P]가 있다. 점 [eqn: \P]와 평면 [eqn: 2x-y+2z-7=0] 사이의 거리의 최댓값을 [eqn: d`]라 할 때, [eqn: 60`d`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: (`-n`,```0)]을 지나고 제[eqn: 1`]사분면에서 포물선 [eqn: y ^{2} =`4x`]에 접하는 직선의 기울기를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( {1} over {a _{`n}} RIGHT ) ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

26. 수열 [eqn: LEFT { `a _{`n} ` RIGHT } `]은 첫째항이 양수이고 공비가 [eqn: 1`]보다 큰 등비수열이다. [eqn: a _{`3} `a _{`5} =a _{`1}]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {a _{`k}} `= sum _{k=1} ^{n} a` _{k} `]를 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. [4점]

27. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 반원의 호를 [eqn: 6`]등분하여 양 끝점과 각 분점을 왼쪽부터 차례로

[eqn: \P _{0} `], [eqn: \P_1 `], [eqn: rm P_{2 }`], [eqn: \P_3 `], [eqn: rm P _{4}`], [eqn: \P_5 `], [eqn: \P_6 `]

이라 하자. 이 [eqn: 7`]개의 점 중에서 임의로 선택한 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: {\P}_{i}`], [eqn: rm P it rm _{j}`][eqn: (``0 LEQ it i<j LEQ 6`)]이라 하고, 선분 [eqn: \P_0 `P_6 `]의 중점을 [eqn: \O]라 하자. 두 벡터 [eqn: rm {vec{OP _{it i rm}}}`], [eqn: rm {vec{{\OP}_{it j}}`]의 내적 [eqn: rm vec OP_{it i } cdot vec OP_{it j } `]의 값을 확률변수 [eqn: X``]라 할 때,  [eqn: rm E it (X`)= {q sqrt {3}} over {p}]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

28. 최고차항의 계수가 모두 양수인 두 이차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(0)=f(5)=0]

(나) 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 두 실근은 [eqn: 0]과 [eqn: 4]이다.

(다) 분수부등식 [eqn: { f(x)} over { g(x)}le1]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 10`]이다.

방정식 [eqn: g(x)=0`]의 양의 실근을 [eqn: alpha`]라 할 때, [eqn: alpha`]의 최댓값을 구하시오. [4점]

29. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0 LEQ x<2]일 때, [eqn: g(x)= {cases{`f(`x)&`(0 LEQ x<1)#`f(`2-x)&`(1 LEQ x<2)}}] 이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(x+2)=g(x)]이다.

(다) 함수 [eqn: g(x)`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

[eqn: g(6)-g(3)= {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

30. 그림과 같이 좌표공간에서 한 모서리의 길이가 [eqn: 1`]인 정사면체 [eqn: \OPQR]의 한 면 [eqn: \PQR]가 [eqn: z`]축과 만난다. 면 [eqn: \PQR]의 [eqn: xy`]평면 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: S`]의 최솟값은 [eqn: k`]이다. [eqn: 160`k` ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: \O]는 원점이다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.