2016학년도 7월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 3	정답 및 해설	2016학년도 7월 전국연합학력평가

2016학년도 7월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 3

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수학 영역

가형 정답

1	①	2	③	3	④	4	④	5	②
6	③	7	⑤	8	③	9	③	10	④
11	②	12	②	13	②	14	④	15	①
16	⑤	17	①	18	⑤	19	①	20	⑤
21	①	22	[eqn: 40]	23	[eqn: 48]	24	[eqn: 6]	25	[eqn: 56]
26	[eqn: 18]	27	[eqn: 12]	28	[eqn: 14`]	29	[eqn: 60]	30	[eqn: 25]

가형 해설

1. [출제의도] 순열의 수와 조합의 수 계산하기

[eqn: {} _{5} rm `P _{2} + _{5} rm `C _{3} =5 TIMES 4+ {5!} over {3! TIMES 2!} =20+10=30]

2. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{x -> 0} {{ln LEFT ( 1+x RIGHT )} over {e ^{x} -1}} = lim _{x -> 0} {LEFT { {ln LEFT ( 1+x RIGHT )} over {x} TIMES {x} over {e ^{x} -1} RIGHT } =1}`]

3. [출제의도] 벡터의 크기 계산하기

[eqn: {vec{a}} + {vec{b}} = LEFT ( 2`,~3 RIGHT ) `]이므로 [eqn: LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT | = sqrt {4+9} = sqrt {13} `]

4. [출제의도] 삼각함수의 정적분 계산하기

[eqn: ` int _{0} ^{{pi } over {3}} {cos LEFT ( theta + {pi } over {6} RIGHT ) `d theta } = LEFT [ sin LEFT ( theta + {pi } over {6} RIGHT ) RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {3}}]

[eqn: =sin {pi} over {2} -sin {pi} over {6} = {1} over {2} `]

5. [출제의도] 사건의 독립 이해하기

두 사건 [eqn: A,~B`]가 서로 독립이므로

[eqn: rm P( it A SMALLINTER B)= rm P( it A)rmP( it B)]

[eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B ^{C} RIGHT ) = rm P LEFT ( it A RIGHT ) - rm P LEFT ( it A SMALLINTER B RIGHT ) `]이므로

[eqn: rm P LEFT ( itA SMALLINTER B ^{C} RIGHT )= rm P( it A)- rm P( it A) rm P( it B)]

[eqn: rm {1} over {4} = rm {1} over {3} - {1} over {3} P LEFT ( it B RIGHT )]

따라서 [eqn: rm P LEFT ( it B RIGHT ) = {1} over {4} `]

6. [출제의도] 삼각함수 사이의 관계 이해하기

[eqn: LEFT ( sin theta -cos theta RIGHT ) ^{2} =sin ^{2} theta -2sin theta `cos theta +cos ^{2} theta `]

[eqn: =1-2sin theta `cos theta = {3} over {4} `]

이므로 [eqn: sintheta`costheta= {1} over {8} `]

따라서 [eqn: tan theta +cot` theta = {sin theta } over {cos theta } + {cos theta } over {sin theta } `]

[eqn: = {1} over {sin theta `cos theta }][eqn: =8`]

7. [출제의도] 여사건의 확률 이해하기

주머니에서 임의로 [eqn: 2`]개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 [eqn: {} _{7} rm C _{2} `], 주머니에서 [eqn: 2`]개의 검은 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 [eqn: {} _{4} rm C _{2} `]

흰 공을 적어도 [eqn: 1]개 이상 꺼내는 사건을 [eqn: A`]라 하면, 모두 검은 공을 꺼내는 사건은 [eqn: A ^{C} `]이다.

따라서 [eqn: rm `P LEFT ( it `A RIGHT ) =1- rm P LEFT ( it `A ^{C} RIGHT ) =1- {{} _{4} rm C _{2} it} over {{} _{7} rm C _{2} it} = {5} over {7} `]

8. [출제의도] 함수의 연속과 부정적분의 성질을 활용하여 문제해결하기

[eqn: f(x)= {cases{`- {1} over {x} +C _{1}&``(x LEQ `-1)`#`x ^{3} +x+C _{2}&``(x>`-1)}} `]

([eqn: C _{1} `], [eqn: C _{2} `]는 적분상수)에서

[eqn: f(-2)= {1} over {2} +C _{1} = {1} over {2} `]이므로 [eqn: C _{1} =0]

[eqn: lim _{x -> -1-} {f(x)} =1], [eqn: lim _{x-> -1+} {f(x)} =-2+C _{2} `]이고,

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=-1`]에서 연속이므로

[eqn: 1=-2+C _{2} `]에서 [eqn: C _{2} =3]

따라서 [eqn: `f(0)=3]

9. [출제의도] 두 평면벡터의 내적 이해하기

[eqn: LEFT | 2 {vec{a}} + {vec{b}} ` RIGHT |^{2}=left(2vec{a}+vec{b}right)cdotleft(2vec{a}+vec{b}right)]

[eqn: =4`left |vec{a}right |^{2}+4vec{a}cdot`vec{b}+left |vec{b}right |^{2}]

[eqn: =4`left |vec{a}right |^{2}+4left | vec{a}right |left |vec{b}right |costheta+left |vec{b}right |^{2}]

[eqn: =13+12costheta=16]

따라서 [eqn: costheta={1}over{4}]

10. [출제의도] 타원의 정의를 활용하여 문제해결하기

타원의 두 초점을 [eqn: rm`F`it(c,~0)`], [eqn: rm `F'` it (-c,~0)`][eqn: (c>0)`]

이라 하면 [eqn: 25-9=c ^{2} ``]이므로 [eqn: c=4]

[eqn: rm bar{PF} = it `m`], [eqn: rm bar{PF prime } = it n`]이라 하면 타원의 정의에 의하여 [eqn: m+n=10`]

삼각형 [eqn: rm `FPF prime `]는 직각삼각형이므로 [eqn: m ^{2} +n ^{2} =8 ^{2} `]

[eqn: m ^{2} +n ^{2} = LEFT ( m+n RIGHT ) ^{2} -2mn`]

[eqn: 8 ^{2} =10 ^{2} -2mn]

[eqn: mn=18`]

따라서 삼각형 [eqn: rm FPF prime `]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} mn=9`]

11. [출제의도] 매개변수로 나타낸 함수의 미분 이해하기

점 [eqn: rm P LEFT ( it 2t+1,~t+ {3} over {t} RIGHT ) `]이 그리는 곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기는

[eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {1} over {2} LEFT ( 1- {3} over {t ^{2}} RIGHT )]

곡선 위의 한 점 [eqn: (a,~b)`]에서의 접선의 기울기가 [eqn: -1`]이므로

[eqn: {1} over {2} LEFT ( 1- {3} over {t ^{2}} RIGHT ) =-1]

[eqn: t=1`(`t>0)`]

따라서 [eqn: a=3], [eqn: b=4`]에서 [eqn: a+b=7`]

12. [출제의도] 표준정규분포를 활용하여 문제해결하기

휴대전화 [eqn: 1`]대의 무게를 확률변수 [eqn: X`]라 하면

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: {rm N} LEFT ( 153,`2 ^{2} RIGHT )`]을 따른다.

[eqn: Z`]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때,

[eqn: rmP LEFT ( it 151 LEQ X leq 154 RIGHT )]

[eqn: =][eqn: rm P LEFT ( it {151-153} over {2} LEQ {X-153} over {2} LEQ {154-153} over {2} RIGHT )]

[eqn: =][eqn: rm P LEFT ( it -1 LEQ Z LEQ 0.5 RIGHT )]

[eqn: =][eqn: rm P LEFT ( it -1 LEQ Z LEQ 0 RIGHT )+ rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ 0.5 RIGHT )]

[eqn: =0.3413+0.1915=0.5328]

13. [출제의도] 좌표평면에서 직선의 방향벡터 이해하기

[eqn: rmP LEFT ( 1,~ {1} over {2} RIGHT ) `], [eqn: rmQ LEFT ( - {1} over {2} ,~-4 RIGHT ) `]이므로

[eqn: {vec{rmPQ}} =- {3} over {2} (1,~3)`]

[eqn: {vec{u}} `]와 [eqn: � {vec{rm PQ it}} `]는 평행하므로 [eqn: {vec{u}} =k(1,~3)`]([eqn: k`]는 실수)

[eqn: LEFT | {vec{u}} RIGHT | = sqrt {10} `]이므로 [eqn: 10k ^{2} =10`], [eqn: k=±1`]

그러므로 [eqn: a=1`], [eqn: b=3`] 또는 [eqn: a=-1`], [eqn: b=-3`]

따라서 [eqn: LEFT | a-b RIGHT | =2`]

14. [출제의도] 여러 가지 함수의 정적분 계산하기

[eqn: lim _{n` -> INF } {{2} over {n} sum _{k=1} ^{n}} f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) `]

[eqn: = int _{1} ^{3} {f(x)dx`}][eqn: = int _{1} ^{3} {{1} over {x ^{2} +x} dx`}][eqn: = int _{1} ^{3} {LEFT ( {1} over {x} - {1} over {x+1} RIGHT ) dx`}][eqn: = LEFT [ ln LEFT | {x} over {x+1} RIGHT | RIGHT ] _{1} ^{3} `][eqn: =ln {3} over {2} `]

15. [출제의도] 지수함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: y`]축과 평행한 한 직선을 [eqn: x=k`]([eqn: k`]는 실수)라 하고, 직선 [eqn: x=k`]와 [eqn: x`]축이 만나는 점을 [eqn: rmC`]라 하자.

삼각형 [eqn: rm AOB`]는 [eqn: rm ` bar{OA} = bar{OB} `]인 이등변삼각형이므로

[eqn: rm ` bar{AC} = bar{BC} `]

[eqn: 2 ^{k} =4 ^{k-2} `]

[eqn: 2 ^{k} =2 ^{2k-4}]

[eqn: k=2k-4`], [eqn: k=4]

[eqn: {bar{rm OC it}} =4], [eqn: {bar{rm AB it}} =32`]

따라서 삼각형 [eqn: rm AOB`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm OC it}} =64`]

16. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: f(x)=sinx-x`cosx`]라 하면

[eqn: f prime (x)=cosx-(cosx-x`sinx)`][eqn: =x`sinx`]

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: pi]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2pi]
[eqn: `f`prime(x)]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]
[eqn: `f(x)]	[eqn: 0]	[eqn: NEARROW]	[eqn: pi]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -2pi]

방정식 [eqn: f(x)=k]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2`]가 되려면 [eqn: 0 LEQ k< pi]

따라서 정수 [eqn: k`]는 [eqn: 0`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`]이므로 합은 [eqn: 6]

17. [출제의도] 역함수의 미분법 추론하기

[eqn: g LEFT ( 3f(x)- {2} over {e ^{x} +e ^{2x}} RIGHT ) =x`]에서

[eqn: 3f(x)- {2} over {e ^{x} +e ^{2x}} =g` ^{-1} (x)`]이므로

[eqn: f(x)= {1} over {{BOX{```e ^{x} +e ^{2x} ````}}}]

이다.

[eqn: f(x)`]의 도함수를 구하면

[eqn: f` prime (x)= {-e ^{x} -2e ^{2x}} over {LEFT ( {BOX{````e ^{x} +e ^{2x} ````}} RIGHT ) ^{2}}]

이다.  [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = {1} over {2} `]이므로 [eqn: g LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =0`]이다.

그러므로

[eqn: g` prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {f` prime LEFT ( g LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) RIGHT )} = {1} over {f` prime (0)} = {BOX{````- {4} over {3} ````}}]

이다.

[eqn: h(x)=e ^{x} +e ^{2x} `], [eqn: p=- {4} over {3} `]

따라서 [eqn: LEFT ( - {4} over {3} RIGHT ) TIMES h(ln2)=-8]

18. [출제의도] 중복조합 이해하기

(ⅰ) [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]가 모두 짝수인 경우

[eqn: rm ` _{7} H _{3} `=` rm ` _{9} C _{3} `=`84]

(ⅱ) [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`] 중 [eqn: 1`]개만 짝수인 경우

짝수 [eqn: 1`]개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 7`]

홀수 [eqn: 8`]개 중 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: {} _{8} rm`H _{2}]

선택한 세 수를 크기순으로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 1`]이므로 [eqn: 7 TIMES _{8} rm `H _{2} TIMES 1=252`]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 [eqn: 336]

19. [출제의도] 두 평면벡터의 내적 이해하기

조건 (가)에서 [eqn: LEFT | {vec{rm AH it}} RIGHT | =2k`], [eqn: LEFT | {vec{rm HB it}} RIGHT | =3k`][eqn: (k>0)]

라 하면 [eqn: LEFT | {vec{rm AB it}} RIGHT | =5k]

조건 (나)에서 [eqn: rm {vec{AB}} cdot rm {vec{AC}} =LEFT | rm {vec{AH}} RIGHT | TIMES LEFT | rm {vec{AB}} RIGHT | =40]

[eqn: 2k TIMES 5k=40`]이므로 [eqn: k=2`]이고 [eqn: LEFT | {vec{rm AB it}} RIGHT | =10]

조건 (다)에서 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이는 [eqn: 30`]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT | rm {vec{AB}} RIGHT | ` TIMES LEFT | rm {vec{CH}} RIGHT | =30`]에서 [eqn: LEFT | rm {vec{CH}} RIGHT | =6]

[eqn: rm ANGLE AHC= {pi } over {2} `]이므로 [eqn: rm {vec{CA}} cdot rm {vec{CH}} `= LEFT | rm {vec{CH}} RIGHT | ^{2} =36]

20. [출제의도] 로그함수의 그래프의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: ln`x`=ln {1} over {x}]에서 [eqn: x=1]

점 [eqn: rm `P`]의 좌표는 [eqn: ( it `1,~0)`] (참)

ㄴ. [eqn: f'(1)=1], [eqn: g prime (1)=-1]이므로

[eqn: f prime (1) TIMES g prime (1)=1 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) =-1``]

그러므로 두 곡선 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 각각의 접선은 서로 수직이다. (참)

ㄷ. [eqn: t>1`]에서 함수 [eqn: f(t)`]는 증가하고, [eqn: f prime (t)= {1} over {t} `]이고 [eqn: f'(1)=1`]이므로

[eqn: t>1`]인 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: 0< {f(t)-f(1)} over {t-1} <1`]

[eqn: t>1`]에서 함수 [eqn: g(t)`]는 감소하고, [eqn: g prime (t)=- {1} over {t} `]이고 [eqn: g prime (1)=-1`]이므로

[eqn: t>1`]인 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: -1< {g(t)-g(1)} over {t-1} `<0`]

그러므로

[eqn: -1< {f(t)-f(1)} over {t-1} TIMES {g(t)-g(1)} over {t-1} `<0`]

[eqn: -1< {f(t)g(t)} over {LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2}} <0`] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. [출제의도] 삼각함수의 극한값 추론하기

선분 [eqn: rm M _{it i rm} N _{iti} `]의 중점을 [eqn: rm B _{it i rm} `]라 하면 [eqn: ANGLE rm A _{it i rm} OM _{it i rm} = it { pi } over {n} `]이므로

[eqn: {bar{rmA _{iti} B _{iti}}} =sin {pi} over {n} `], [eqn: {bar{rm B _{it i rm} M _{it i rm} it}} =1- {bar{rm OB _{it i rm} it}} =1-cos {pi} over {n} `]

[eqn: rm □A _{it i rm} rm M _{it i rm} rm A _{it i+1 rm} rm N _{it i rm} =4 TIMES TRIANGLE rm A _{it i rm} rm M _{it i rm} rm B _{it i rm} `]

[eqn: =4 TIMES {1} over {2} TIMES `sin {pi } over {n} TIMES LEFT ( 1-cos {pi } over {n} RIGHT )]

[eqn: S _{n} `=`n TIMES □ rm A _{it i rm} M _{it i rm} A _{it i+1 rm} N _{iti}][eqn: =2n sin {pi } over {n} LEFT ( 1-cos{pi } over {n} RIGHT )]

[eqn: n ^{2} ` TIMES S _{n} ``=2`n ^{3} `sin` {pi } over {n} ` LEFT ( 1-cos {pi} over {n} RIGHT )]

[eqn: =2 pi ^{3} TIMES {sin {pi } over {n} LEFT ( 1-cos ^{2} {pi } over {n} RIGHT )} over {{pi ^{3}} over {n ^{3}} LEFT ( 1+cos {pi } over {n} RIGHT )} `]

[eqn: =2 pi ^{3} LEFT { {sin {pi } over {n}} over {{pi } over {n}} TIMES {sin ^{2} {pi } over {n}} over {LEFT ( {pi } over {n} RIGHT ) ^{2}} TIMES {1} over {1+cos {pi } over {n}} RIGHT }]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {(`n ^{2} ` TIMES S _{n}} )`=` pi ^{3} `]

22. [출제의도] 이항정리 이해하기

[eqn: LEFT ( x ^{2} +2 RIGHT ) ^{5} = sum _{it r=0} ^{5} ` _{5} rm C _{it r rm} it (x ^{2} ) ^{5-r} 2 ^{r}= sum _{itr=0 } ^{5 } `{ {}_5{ rmC}_ r }2^r x^10-2r]

에서 [eqn: 10-2r=6`], [eqn: r=2`]

따라서 [eqn: x^6`]의 계수는 [eqn: {} _{5} rm C _{2} TIMES 2^2 =40`]

23. [출제의도] 여러 가지 함수의 미분 이해하기

[eqn: f prime (x)=12`sec ^{2} `2x`]

따라서 [eqn: f prime LEFT ( {pi } over {6} RIGHT ) =12`sec ^{2} ` {pi } over {3} =12 TIMES 4=48]

24. [출제의도] 집합의 분할 이해하기

[eqn: S(4,~3)`]은 원소의 개수가 [eqn: 4`]인 집합을 집합의 원소가 각각 [eqn: 2`]개, [eqn: 1`]개, [eqn: 1`]개인 부분집합으로 분할하는 방법의 수와 같다.

[eqn: {} _{4} rm C _{2} TIMES _{2} rm C _{1} TIMES _{1} rm C _{1} TIMES {1} over {2!} =6`]

25. [출제의도] 곡선의 길이 이해하기

[eqn: y prime = {1} over {2} sqrt {x}]이므로

[eqn: l= int _{0} ^{12} {sqrt {1+ LEFT ( y' RIGHT ) ^{2}}} dx= int _{0} ^{12} {sqrt {1+ {x} over {4}}} dx]

[eqn: sqrt {1+ {x} over {4}} =t`]라 놓으면

[eqn: 1+ {x} over {4} =t ^{2} `], [eqn: {1} over {4} {dx} over {dt} =2t``]

[eqn: x=0`]일 때 [eqn: t=1`], [eqn: x=12`]일 때 [eqn: t=2`]이므로

[eqn: l= int _{1} ^{2} {8t ^{2} `dt`=} LEFT [ {8} over {3} t ^{3} RIGHT ] _{1} ^{2} = {64} over {3} - {8} over {3} = {56} over {3} `]

따라서 [eqn: 3l=56`]

26. [출제의도] 확률의 곱셈정리를 활용하여 문제해결하기

[eqn: A]가 꺼낸 사탕이 딸기 맛 사탕일 사건을 [eqn: E``],

[eqn: B`]가 꺼낸 사탕이 포도 맛 사탕일 사건을 [eqn: F`]라 하면

[eqn: rm `P( it `E)= {6} over {15} = {2} over {5} `], [eqn: rm `P( it `F`□`E)= {9} over {14} `]

그러므로

[eqn: rm ` it `p= rm P( it `E SMALLINTER F)= rm P( it `E) rm `P( it `F`□`E)= {2} over {5} TIMES {9} over {14} = {9} over {35} ``]

따라서 [eqn: 70p=18`]

27. [출제의도] 입체도형의 부피 이해하기

선분 [eqn: rm AB`]를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 [eqn: S(x)`]라 하면 [eqn: S(x)=xe ^{x}]

구하는 입체도형의 부피는

[eqn: int _{1} ^{ln6} {xe ^{x}} dx`= LEFT [ xe ^{x} RIGHT ] _{1} ^{ln6} - int _{1} ^{ln6} {e ^{x} dx`} `]

[eqn: = LEFT [ xe ^{x} -e ^{x} RIGHT ] _{1} ^{ln6} =`-6+6ln6`]

[eqn: a=6`], [eqn: b=6`]

따라서 [eqn: a+b=12`]

28. [출제의도] 포물선의 성질 이해하기

포물선의 초점을 [eqn: rm F( it p,~0)], 점 [eqn: rm A( alpha ,~itm( alpha -4))] [eqn: ( alpha >0)`]라 하면, 점 [eqn: rm`B`(it`-p,~0)`],

점 [eqn: rm`C(it`0,~-4m)] 이다.

삼각형 [eqn: rm`ABC`]의 무게중심이 점 [eqn: rm`F`]이므로

[eqn: LEFT ( {alpha -p} over {3} ,`~ {m alpha -4m-4m} over {3} RIGHT ) `]에서

[eqn: {alpha -p} over {3} =p`], [eqn: {m alpha -4m-4m} over {3} =0`]

[eqn: alpha =4p`], [eqn: ( alpha -8)m=0`]

[eqn: m>0`]이므로 [eqn: alpha =8`], [eqn: p=2`]

점 [eqn: rm`A`]에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm`A'`]라 하면, 포물선의 정의에 의하여

[eqn: rm {bar{AF}} = {bar{AA prime }} =10`]

따라서 [eqn: rm {bar{AF}} + {bar{BF}} =14`]

29. [출제의도] 정사영을 활용하여 문제해결하기

구 [eqn: S`]의 중심을 [eqn: rmO]라 하면 한 변의 길이가 [eqn: 2 sqrt {3} `]인 정삼각형 [eqn: rmAPQ]의 무게중심은 점 [eqn: rmO]와 같다. 점 [eqn: rm P`]에서 선분 [eqn: rm`AQ]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmO']라 하면 점 [eqn: rm`O']는 선분 [eqn: rmAQ]의 중점이고

[eqn: rm ANGLE ABQ= {pi } over {2} `]이므로 점 [eqn: rmB`]는 점 [eqn: rm `O prime `]를 중심으로 하고 반지름이 선분 [eqn: rmAO prime `]인 원 위의 점이다.

삼각형 [eqn: rmBO'O`]에서

[eqn: rm {bar{O prime B}} = it sqrt {3} `], [eqn: rm {bar{OB}} = it 2`], [eqn: rm {bar{OO prime }} =1`]이므로

[eqn: rm ANGLE BO prime O= {pi } over {2} `]

그러므로 [eqn: rm {bar{OO prime }} BOT {bar{O prime B}} `], [eqn: rm {bar{PO prime }} BOT {bar{O prime B}} `]

[eqn: rm {bar{AO prime `}} BOT {bar{PO prime }} `], [eqn: rm {bar{PO prime }} BOT {bar{O prime B}} `]이므로 직선 [eqn: rm PO prime `]는 평면 [eqn: rm ABQ`]와 수직이고, 평면 [eqn: rm ABQ`]와 평면 [eqn: rm APQ`]는 수직이다.

그러므로 점 [eqn: rm `B`]에서 선분 [eqn: rm`AQ`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하면 삼각형 [eqn: rm APB`]의 평면 [eqn: rmAPQ] 위로의 정사영은 삼각형 [eqn: rm APH`]이다.

삼각형 [eqn: rm`BO'P`]는 직각삼각형이고 [eqn: rm {bar{O'B}} = it sqrt {3}], [eqn: rm {bar{O prime P}} = it 3`]이므로 [eqn: rm {bar{PB}} =2 sqrt {3} `]

삼각형 [eqn: rm APB`]는 [eqn: rm` {bar{PA}} = {bar{PB}} =2 sqrt {3} `]인 이등변삼각형이고, [eqn: rm` {bar{AB}} =2 sqrt {2} `]이므로 삼각형 [eqn: rm `APB`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2 sqrt {2} TIMES sqrt {10} =2 sqrt {5} `]

삼각형 [eqn: rm ABQ`]와 삼각형 [eqn: rm AHB`]는 닮음이므로

[eqn: rm {bar{AH}} = {4 sqrt {3}} over {3} `]

그러므로 삼각형 [eqn: rmAPH`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {4 sqrt {3}} over {3} TIMES 3=2 sqrt {3} `]

[eqn: cos theta = {(삼각형`` rm APH의``넓이) it} over {(삼각형`` rm APB의``넓이) it} = {sqrt {15}} over {5} `]

따라서 [eqn: `100cos ^{2} theta =100 TIMES {3} over {5} =60`]

30. [출제의도] 삼각함수의 정적분을 활용하여  문제해결하기

곡선 [eqn: y= sqrt {2-x ^{2}} LEFT ( -1leq`x`leq`1 RIGHT )] 위의 양 끝점 [eqn: (-1,~1),~(1,~1)`]을 각각 [eqn: rm `P,~Q`]라 하고, 직선 [eqn: l`]의 [eqn: y`]절편이 직선 [eqn: m`]의 [eqn: y`]절편보다 크다고 하자.

점 [eqn: rmP`]를 지나고 곡선 [eqn: y= sqrt {2-x ^{2}} `]에 접하는 접선이 [eqn: x`]축과 양의 방향으로 이루는 각의 크기가 [eqn: {pi}over4}`]이므로

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ theta < {pi } over {4}]일 때

[eqn: f(theta)`]는 직선 [eqn: l`]이 곡선과 접하고, 직선 [eqn: m`]이 점 [eqn: rm`Q]를 지날 때 점 [eqn: rm`Q`]와 직선 [eqn: l`] 사이의 거리이다.

곡선은 중심이 [eqn: (0,`~0)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {2} `]인 원의 일부이므로 곡선과 접하는 직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: y=tan theta `x+ sqrt {2} `sec` theta `]이므로

[eqn: f(theta)= {LEFT | tantheta-1+ sqrt {2} `sec`theta RIGHT |} over {sqrt {tan ^{2} theta+1}} `]

[eqn: =sin theta -cos theta + sqrt {2} `]([eqn: sin theta -cos theta ` GEQ `-1])

(ⅱ) [eqn: {pi } over {4} LEQ theta LEQ {pi } over {2}]일 때

[eqn: f(theta)`]는 직선 [eqn: l`]이 점 [eqn: rm `P]를 지나고 직선 [eqn: m`]이

점 [eqn: rm`Q]를 지날 때 점 [eqn: rmP`]와 직선 [eqn: m`] 사이의 거리와 같다. 즉, 점 [eqn: rm P`]에서 직선 [eqn: m`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면 [eqn: f(theta)`]는 선분 [eqn: rmPH`]의 길이와 같다.
[eqn: ANGLE rmPQH=theta`]이므로

[eqn: f( theta )=2sin theta `]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: f( theta )= {cases{`sin` theta `-`cos` theta `+ sqrt {2} ```````` LEFT ( 0 LEQ theta < {pi } over {4} RIGHT ) ``````&``#`2sin` theta ```````````````````````````````````````````````````````` LEFT ( {pi } over {4} LEQ theta LEQ {pi } over {2} RIGHT )&`}}]

함수 [eqn: f(theta)`]는 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~ {pi} over {2} RIGHT ] `]에서 연속이므로

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f( theta )d theta } `]

[eqn: =` int _{0} ^{{pi } over {4}} {(sin` theta `-`cos` theta `+ sqrt {2} )`d theta `+ int _{{pi } over {4}} ^{{pi } over {2}} {2`sin theta `d theta }} `]

[eqn: = LEFT [ -cos theta -sin theta + sqrt {2} theta RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} `+ LEFT [ -2cos theta RIGHT ] _{{pi } over {4}} ^{{pi } over {2}} `]

[eqn: =`1+ {sqrt {2}} over {4} pi `]

[eqn: a=1`], [eqn: b= {1} over {4} `]

따라서 [eqn: 20(a+b)=25]