◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

‘나’형

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수 리 영 역

‘나’형

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2006학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수 리 영 역

성명			수험번호						2

‘나’형

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1

8

1. [eqn: 2` ^{x} `=3] 일 때, [eqn: 8 ^{{x} over {2}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: sqrt {3}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 3 sqrt {3}]

2. 세 행렬 [eqn: A= pmatrix{```````1&````2``#`-1`&````3``}], [eqn: B```= pmatrix{``3&`````````1``#``2&``-2``}], [eqn: C```= pmatrix{``1``#``2``}] 에 대하여 행렬 [eqn: (A+B)C``]는? [2점]

① [eqn: pmatrix{``1``#``3``}]	② [eqn: pmatrix{``5``#``3``}]	③ [eqn: pmatrix{``5``#``8``}]

④ [eqn: pmatrix{``10``#``3``}]	⑤ [eqn: pmatrix{``5``#``10``}]

3. [eqn: log _{2} ` {3} over {4} `+`2log _{2} ` sqrt {6} `-`log _{2} `9`]를 간단히 하면? [2점]

① [eqn: -2``]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1``]

④ [eqn: -2``+`log _{2} ``3]	⑤ [eqn: -1``+`log _{2} ``3]

4. [eqn: cos theta = {1} over {sqrt {5}}]일 때, 행렬 [eqn: pmatrix{``````1&````tan theta ```#`-tan theta &``1}]의 역행렬은?

(단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}]) [3점]

① [eqn: {1} over {5} pmatrix{``1&```-2``#``2&`````````1`}]	② [eqn: {1} over {5} pmatrix{``-2&````````1`#``-1&``-2``}]

③ [eqn: {1} over {5}pmatrix{``2&```-1``#``1&`````````2``}]	④ [eqn: ``5`` pmatrix{`-3&`````````2``#```````2&``-3``}]

⑤ [eqn: ``5`` pmatrix{````````1&`````4``#-4&````1`}]

5. [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: pmatrix{`2~&1`#`3~&4`}` pmatrix{`x`#`y`} `+ pmatrix{`1`#`3`} `=`k` pmatrix{`x`#`y`}]의 해가 존재하지 않도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: -3]

2

8

정류장	버스번호
[eqn: S _{1}]	[eqn: 2], [eqn: 3]
[eqn: S _{2}]	[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]
[eqn: S _{3}]	[eqn: 1], [eqn: 3]

6. 번호가 [eqn: 1]번, [eqn: 2]번, [eqn: 3]번인 버스가 있다. 이 버스 중에서 세 정류장 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}], [eqn: S _{3}`]에 정차하는 버스의 번호를 조사한 결과가 표와 같을 때, 행렬 [eqn: A`]의 성분 [eqn: a _{``ij} `(`i`=1,```2,```3,```j`=1,```2,```3)]을 다음과 같이 정의하자.

[eqn: a _{`i`j} = cases{``1``(`i번~버스가~정류장~S _{j}` 에~정차할~때`)# ``0``(`i번~버스가~정류장~S _{j} `에~정차하지~않을~```때`)}]

이때 행렬 [eqn: A`]는? [3점]

① [eqn: pmatrix{```0~&~1~&~1``#```1~&~1~&~1``#```1~&~0~&~1``}]	② [eqn: pmatrix{```1~&~1~&~0``#```1~&~0~&~1``#```1~&~1~&~1``}]

③ [eqn: pmatrix{```1~&~1~&~0``#```0~&~0~&~1``#```1~&~1~&~0``}]	④ [eqn: pmatrix{```0~&~1~&~1``#```1~&~1~&~0``#```1~&~1~&~1``}]

⑤ [eqn: pmatrix{```0~&~1~&~1``#```1~&~1~&~0``#```1~&~0~&~1``}]

7. [eqn: log _{``LEFT | `x` RIGHT |} (x+3)(5-x)]가 정의되기 위한 모든 정수 [eqn: x`]의 개수는?

[3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

8. 행렬 [eqn: A= pmatrix{`1&~~x``#``y`&``-1``}`]이 [eqn: A ^{2006} ``=`O``]를 만족시킬 때 두 실수 [eqn: x], [eqn: y`]사이의 관계식으로 옳은 것은? (단, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [4점]

① [eqn: y=x]	② [eqn: y=2x]

③ [eqn: y=x`+`1]	④ [eqn: y=`- {1} over {x}]

⑤ [eqn: y= {2} over {x}]

9. [eqn: log``25000`]의 지표와 가수를 각각 [eqn: m], [eqn: alpha]라 하고 [eqn: log``0.025`]의 지표와 가수를 각각 [eqn: n], [eqn: beta`]라 하자. 이때 [eqn: {m ^{alpha }} over {LEFT ( n ^{2} RIGHT ) ^{beta }}``]의 값은? [3점]

① [eqn: { 1} over {2 }]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 5]

3

8

10. 양수 [eqn: `m], [eqn: n`]은 정수 부분이 각각 세 자리인 수이고, 두 수의 곱 [eqn: `mn`]은 정수 부분이 다섯 자리인 수이다. [eqn: `m], [eqn: n`]의 상용로그의 가수를 각각 [eqn: x,~y`]라 할 때, 좌표평면 위의 점 [eqn: (x,~y)`]가 나타내는 영역은? (단, 점선 부분은 제외한다.) [4점]

①		②
③		④
⑤

11. 이차정사각행렬 [eqn: A`]에 대하여 실수 [eqn: p], [eqn: q`]가 등식 [eqn: A` pmatrix{``p``#``q``} `=` pmatrix{``p``#``q``} `]를 만족시킬 때, 좌표평면 위의 점 [eqn: (`p`,~q)`]를 행렬 [eqn: A`]의 고정점이라 하자. 다음 그래프 중에서 행렬 [eqn: pmatrix{`-1&~~`2``#```````4&``-3``} `]의 고정점이 나타내는 도형과 만나지 않는 것은? [4점]

①		②
③		④
⑤

12. 두 집합

[eqn: A`=` LEFT {` x``|``(`x`-`1)`(`x`- root {3} of {4} `)>0` RIGHT }]

[eqn: B``=` LEFT { `x``|``(`x`- root {4} of {8} `)`(`x`-` root {6} of {6} `)<0` RIGHT } ``]

에 대하여 [eqn: A` SMALLUNION B```]는? [3점]

① [eqn: LEFT { `x``|~x<1] 또는 [eqn: x> root {3} of {4}`RIGHT }]

② [eqn: LEFT { `x``|~x<1] 또는 [eqn: LEFT. `x> root {4} of {8} ` RIGHT }]

③ [eqn: LEFT { `x``|~x<1] 또는 [eqn: LEFT. `x> root {6} of {6} ` RIGHT }]

④ [eqn: LEFT { `x``|~ 1 `<`x```< root {4} of {8} ` RIGHT }]

⑤ [eqn: LEFT { `x``|~x`]는 실수[eqn: ` RIGHT }]

13. 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수가 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c``]인 세 자리 자연수 [eqn: `n`]에  행렬 [eqn: A= pmatrix{`a&`````b`#`c&`````b+c`} `]를 대응시키는 것을 [그림 1]과 같이 나타내자. 그리고 행렬 [eqn: B```= pmatrix{`p&`````q`#`r&`````s`} `]에 대하여 행렬 [eqn: B`` ^{t} `]를 [eqn: B`` ^{t} ``= pmatrix{`p&`````r`#`q&`````s`} `]라 할 때 행렬 [eqn: B``]에 행렬 [eqn: B`` ^{t} `]를 대응시키는 것을 [그림 2]와 같이 나타내자.

[그림 1]	[그림 2]

아래 그림에서 행렬 [eqn: `X```= pmatrix{``7&``````1``#``9&`````10``} `]일 때 자연수 [eqn: n`]의 값은? [3점]

① [eqn: 179]	② [eqn: 197]	③ [eqn: 719]

④ [eqn: 791]	⑤ [eqn: 971]

4

8

14. 다음은 행렬 [eqn: A= pmatrix{`a&~```b`#`c&~```d`}]에 대하여 등식

[eqn: A ^{2} `-`(a+d)A``+(ad-bc)E```=O``]가 성립함을 증명한 것이다. (단, [eqn: E``]는 단위행렬, [eqn: O``]는 영행렬이다.)

< 증명 >

행렬 [eqn: hat{A} ``]를 [eqn: `hat{A} ``= pmatrix{~~d&~``-b`#`-c&~~a`}`]라 하면,

[eqn: A+ hat{A}`` =]	[eqn: cdots]㉠

(가)

[eqn: A hat{A}`` =]	[eqn: cdots]㉡

(나)

㉠의 양변에 [eqn: A`]를 곱하여 정리하면

[eqn: A ^{2} `+][eqn: =`O``]	[eqn: cdots]㉢

(다)

㉡을 ㉢에 대입하면

[eqn: A ^{2} `-`(a+d)A``+(ad-bc)E```=O``]이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)           (나)              (다)

① [eqn: (a+d)A]     [eqn: (ad-bc)A]     [eqn: (a+d)E-A hat{A}]

② [eqn: (a+d)A]     [eqn: (ad-bc)E]     [eqn: (a+d)A-(ad-bc) hat{A}]

③ [eqn: (a+d)E]     [eqn: (ad-bc)E]     [eqn: (a+d)A-(ad-bc) hat{A}]

④ [eqn: (a+d)E]     [eqn: (ad-bc)E]     [eqn: A hat{A} `-`(a+d)A``]

⑤ [eqn: (a+d)E]     [eqn: (ad-bc)A]     [eqn: A hat{A} `-`(a+d)A``]

15. 양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: loga`]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f(a)], [eqn: g(a)]라 할 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f(80)-1=`g(80)-`3`log`2] ㄴ. [eqn: f(a ^{2} )=`2f(a)`]이면 [eqn: f(a ^{3} )=`3f(a)`]이다. ㄷ. [eqn: g(a ^{2 } )=`g(a )`]이면 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: g(a ^{n} )`=`0`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

5

8

16. 다음은 [eqn: log`5`]가 무리수임을 증명한 것이다.

< 증명 >

[eqn: log`5`]를 유리수라고 가정하면,

[eqn: log`5``=` {n} over {m}]([eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수)로 놓을 수 있다.

[eqn: ∴~5 ~``` ^{(가)}```` `=2 ^{n}]

이때 [eqn: ~5 ~``` ^{(가)}```` `]은 홀수이고 [eqn: 2 ^{n} `]은 짝수가 되어 모순이다.

따라서 [eqn: log`5`]는 무리수이다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 것은? [3점]

① [eqn: m`-`n``]	② [eqn: n`-`m``]	③ [eqn: m+n]

④ [eqn: m``]	⑤ [eqn: 2`m``]

17. 등식 [eqn: x ^{2} +`y ^{2} =1`]을 만족하는 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 행렬 [eqn: pmatrix{``x&`````y-2#``1&````````m``} `]이 역행렬을 갖기 위한 실수 [eqn: m`]의 값의 범위는?

[4점]

① [eqn: m <= - sqrt {2} `]	② [eqn: m< - 2`] 또는 [eqn: m>2]

③ [eqn: -2 <= m <= 1``]	④ [eqn: - sqrt {3} <m< sqrt {3} `]

⑤ [eqn: m <= - sqrt {3} `] 또는 [eqn: m >= sqrt {3}]

18. 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: {`b ^{2}} over {a`}]은 정수 부분이 여섯 자리인 수이고,

[eqn: {`a ^{2}} over {b`}]은 소수 셋째 자리에서 처음으로 [eqn: 0`]이 아닌 숫자가 나타난다. 이때 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: `log` {`b ^{2}} over {a`}`]의 가수를 [eqn: alpha `]라 할 때, [eqn: 10 ` ^{alpha +6`} `= {``b ^{2}} over {a}]이다. ㄴ. [eqn: LEFT [ log {`a ^{2}} over {b`} RIGHT ] `=`-3] (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대 정수이다.) ㄷ. [eqn: a`]는 한 자리 자연수이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

19. 행렬 [eqn: pmatrix{``1~``x``#``2~``y``}]의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 실수 [eqn: x], [eqn: y`]의 순서쌍 [eqn: (`x,~y)`] 전체의 집합을 [eqn: M``]이라 할 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: (2,~4)` IN `M] ㄴ. [eqn: (a,~b)` IN `M``]이면 [eqn: (-a,``-b)` IN `M```]이다. ㄷ. [eqn: (a,~b)` IN `M], [eqn: (c,~d)` IN `M``]이면 [eqn: (`a+c,~b+d`)` IN `M```]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6

8

20. 그림과 같이 세 모서리의 길이가 [eqn: sqrt {10}], [eqn: root {3} of {10 ^{2}}], [eqn: root {6} of {10 ^{5}} `]인 직육면체 모양의 금속 덩어리가 있다.

이 금속 덩어리를 녹여 부피의 비가 [eqn: 3```:`1`]인 정육면체 모양의 금속 덩어리 두 개로 만들었을 때, 부피가 작은 것의 한 모서리의 길이는? [3점]

① [eqn: root {3} of {15}]	② [eqn: root {3} of {25}]	③ [eqn: root {3} of {35}]

④ [eqn: root {3} of {50}]	⑤ [eqn: root {3} of {75}]

21. 어느 스포츠 센터의 회원들은 수영과 요가 중에 한 가지만 배우며 지난달의 전체 회원의 수는 [eqn: 160`]명이었다. 이번 달은 지난달에 비해 수영을 배우는 회원의 수는 [eqn: 5]% 증가하고, 요가를 배우는 회원의 수는 [eqn: 10]% 감소하여 전체 회원의 수는 [eqn: 7`]명이 감소하였다. 지난달에 수영과 요가를 배운 회원의 수를 각각 [eqn: x], [eqn: y`]라 하면 [eqn: x], [eqn: y`]사이의 관계는 [eqn: pmatrix{``a`&``1``#``1`&``b``} pmatrix{`x`#`y`}` `= pmatrix{~```````160`#`-140`} `]과 같이 행렬을 사용하여 나타낼 수 있다. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a`-`b`]의 값은? [4점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

단답형(22～30)

22. 등식 [eqn: log _{3} `2006`` TIMES `log _{2006} ``N```=`5``]를 만족하는 자연수 [eqn: N``]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: 1`]보다 큰 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

[eqn: a CIRC b= cases{``a ^{b} ~~~~`(a >= b)&#log _{a} `b~~(a<b)&`}]

라 정의할 때, [eqn: LEFT ( sqrt {3} CIRC 3 ^{5} RIGHT ) CIRC log``81`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B``]가

[eqn: A+B```=` pmatrix{`1~&`0`#`0~&`1`}],   [eqn: A ^{2} ``-B`` ^{2} ``= LEFT ( matrix{``````11&```````16``#-4&``-7``} RIGHT ) `]

을 만족시킬 때 행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (1,```2)`]성분을 구하시오. [3점]

7

8

25. 단위행렬의 실수배가 아닌 이차정사각행렬 [eqn: A`]에 대하여

[eqn: (A`+E``) ^{2} `=`3A+2E``]가 성립하면 [eqn: (A+E`) ^{3} ``=aA`+`bE```]이다. 두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]의 곱 [eqn: a`b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.)

[3점]

26. 아래 계산기는 화면에 양수 [eqn: x`]가 나타나 있는 상태에서 키를 한 번 누르면 [eqn: 2 ^{x}`]의 정수 부분의 자리수를 화면에 나타낸다.

화면에 [eqn: 100`]이 나타나 있는 상태에서 키를 연속하여 두 번 눌렀을 때 화면에 나타나는 수를 구하시오.

(단, [eqn: log`2``=`0.3010`]으로 계산한다.) [4점]

27. [eqn: log`2]가 무리수임을 이용하여 등식 [eqn: `a`log`20``+ {b} over {log` _{8} 100}`+`3``=0`]을 만족시키는 유리수 [eqn: a], [eqn: b`]의 값을 정할 때, [eqn: a ^{2} ``+`b ^{2}``]의 값을 구하시오. [4점]

28. 이차방정식 [eqn: x ^{2} `-2x-1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 하자. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`alpha^2 &``````beta``#`0&`` ````alpha^2 `} `], [eqn: B```= pmatrix{`beta`^2 &`````alpha`#`0&```` beta`^2 `} `]에 대하여 행렬 [eqn: AB `]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

8

8

29. 꼭지점의 좌표가 [eqn: (`p`,~q)]이고 [eqn: y`]절편이 [eqn: r`]인 이차함수의 그래프에 행렬 [eqn: pmatrix{`p~&q`#`q~&r`}]를 대응시키자.

함수 [eqn: f(x)=2x ^{2} -4x+4`]의 그래프에 대응되는 행렬을 [eqn: F``]라 할 때, 어떤 이차함수 [eqn: g(x)`]의 그래프에 행렬 [eqn: F```^{2}`]이 대응된다. 이때 [eqn: g(0)`]의 값을 구하시오. [4점]

30. 어떤 회사에서 판매하는 두 현미경 A, B는 각각 [eqn: 1`]단계에서 [eqn: 10`]단계까지 확대 비율을 조절할 수 있다. [eqn: n`]단계에서 물체의 길이를 [eqn: M``]배 확대해서 볼 수 있다고 할 때, 다음 표는 두 현미경 A, B의 [eqn: n], [eqn: M``] 사이의 관계식을 나타낸 것이다.

현미경	관계식
A	[eqn: n=log _{2 sqrt {2}} ``M]
B	[eqn: `n=log _{4} ``M]

A

B

길이가 [eqn: x``]마이크로미터인 물체를 현미경 A로 [eqn: 6`]단계에서 보고

길이가 [eqn: `y``]마이크로미터인 물체를 현미경 B로 [eqn: 7`]단계에서 보았더니

두 물체의 확대된 길이가 서로 같았다. 이때 [eqn: {x} over {y} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: n=1,``2,``3, ``CDOTS ,``10]이다.) [4점]

※ 확인 사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.