2011학년도 대수능 6월 모의평가 수리영역-나형 해설지

1.

[eqn: `^3 root 8 = `^3 root 2^3 = 2`]

[eqn: log_3``81 = log_3``3^4 = 4`]

∴ [eqn: 1over{ `^3 root 8} times log_3``81`]

[eqn: = 1over2 times 4`]

[eqn: = 2`]

□ ②

2. [eqn: A+B=2E]에서 [eqn: B=2E-A]이므로

[eqn: A-B=A-(2E-A)]

[eqn: =2A-2E]

[eqn: =2 LEFT { {pmatrix{```````1&````2#-2&````3}} - {pmatrix{1&0#0&1}} RIGHT }]

[eqn: =2 {pmatrix{```````0&````2#-2&````2}}]

[eqn: = {pmatrix{```````0&````4#-4&```4}}]

따라서 모든 성분의 합은 4이다.

□ ④

3.

[eqn: lim _{n -> INF } {{3 CDOT 4 ^{n} -3 ^{n}} over {4 ^{n} +3 ^{n} +2}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{3- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} +2 LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n}}}]

[eqn: =3]

□ ③

4.

[eqn: 16^{`x} over2 = 2^x+3`]에서

[eqn: (2^4 ) ^x = 2 cdot 2^x+3]

[eqn: 2^4x = 2^x+4]

[eqn: 4x= x+4]

∴ [eqn: x= 4over 3]

□ ④

5. [eqn: ( f circ g)(2) + ( g circ h )(2)]

[eqn: = f( g(2)) + g (h(2))]

[eqn: = f( 4)+g(1)]

[eqn: = 2^4 + 1 = 17]

□ ①

6. 첫째항이 1, 끝항이 2, 항의 개수가 [eqn: n+2]이므로

[eqn: {(n+2)(1+2)} over 2 = 24]

[eqn: n+2 = 16]

[eqn: therefore] [eqn: n = 14]

□ ④

7.

[eqn: log_2 (x^2 +x-2) < log_2 (-2x+2)]에서

진수조건에서

[eqn: x^ 2 +x - 2>0]

[eqn: (x+2)(x-1)>0]

∴ [eqn: x< - 2] 또는 [eqn: x>1`] [eqn: cdots㉠]

[eqn: -2x+2 >0]

∴ [eqn: x<1`] [eqn: cdots㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: x< -2][eqn: cdots ㉢]

주어진 로그부등식의 밑이 [eqn: 2`]이므로

[eqn: x^2 +x-2 < -2x+2`]

[eqn: x^2 +3x-4 <0]

[eqn: (x+4)(x-1)<0]

∴ [eqn: -4 <x<1][eqn: cdots㉣]

㉢, ㉣에서

[eqn: -4 < x< - 2]

∴ [eqn: alpha= -4 , ``beta= -2]

∴ [eqn: alpha beta = 8]

□ ④

8.

직선 [eqn: AB`]의 방정식은

[eqn: y-3 = -(x-2)`]

즉, [eqn: y= -x+5`]

한편, 두 함수 [eqn: y= 2^x -1`], [eqn: y= log_2 `(x+1)`]은 서로 역함수이므로 두 함수의 그래프는 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다.

직선 [eqn: AB`]가 직선 [eqn: y=x`]와 수직으로 만나므로

점 [eqn: B`]의 좌표는 점 [eqn: A`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 것과 같다.

∴ [eqn: B(3,``2)`]

사각형 [eqn: ACDB`]에서

[eqn: bar AC = 3`], [eqn: bar BD = 2`], [eqn: bar CD = 1`]이므로

사각형 [eqn: ACDB`]의 넓이는

[eqn: 1over2 times ( 3+2 ) times 1 = 5 over 2`]

□ ①

9.

[eqn: t_1 = 10`]일 때, [eqn: T_1 = 200`]

[eqn: t_2 = 20`]일 때, [eqn: T_2 = 202`]이므로

[eqn: kappa = C times { log20- log10} over 202-200}` = C times log2 over 2`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: t_3 = x]일 때, [eqn: T_3 = 206`]이므로

[eqn: kappa = C times { log x - log 20} over 206-202]

[eqn: = C times { logx - log20} over 4`] [eqn: cdots㉡`]

㉠,㉡에서

[eqn: {log x - log20} over 4 = log2 over 2`]

[eqn: log x - log20 = 2 log2`]

[eqn: log x = log20 + 2log2 = log 80`]

∴ [eqn: x = 80`]

□ ②

10. 도형 [eqn: R _{1}]에서 색칠된 직사각형의 가로의 길이를 [eqn: x]라 하면

[eqn: 2x+ {1} over {4} TIMES 5=5] [eqn: THEREFORE ``x= {15} over {8}]

또, 세로의 길이를 [eqn: y]라 하면

[eqn: 2y+ {1} over {5} TIMES 4=4] [eqn: THEREFORE] [eqn: y= {8} over {5}]

그러므로

[eqn: S _{1} =4 TIMES {15} over {8} TIMES {8} over {5} =12]

한편, 색칠된 하나의 직사각형의 가로의 길이, 세로의 길이는 각각 [eqn: {3} over {8}], [eqn: {2} over {5}]인 등비수열을 이루고 직사각형의 개수는 공비가 4인 등비수열을 이룬다.

따라서, 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 12], 공비가 [eqn: 4 TIMES {3} over {8} TIMES {2} over {5}] 즉, [eqn: {3} over {5}]인 등비수열을 이루므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {12} over {1- {3} over {5}} =30]

□ ②

11. 역행렬을 갖지 않으므로

[eqn: t TIMES (t ^{2} +t)-(t+1) TIMES 2t=0]

[eqn: t ^{3} -t ^{2} -2t=0]

[eqn: t(t ^{2} -t-2)=0]

[eqn: t(t+1)(t-2)=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: t=0] 또는 [eqn: t=-1] 또는 [eqn: t=2]

따라서 모든 [eqn: t]의 값의 합은

[eqn: 0+(-1)+2=1]

□  ①

12.

[eqn: 7a_1 + 7^2 a_2 + cdots + 7^n-1 a_n-1 + 7^n a_n = 3^n -1`]

[eqn: cdots㉠`]

[eqn: 7a_1 + 7^2 a_2 + cdots + 7^n-1 a_n-1 = 3^n-1 -1`]

[eqn: cdots㉡`]

㉠-㉡에서

[eqn: 7^n a_n = 3^n - 3^n-1 = 2 cdot 3^n-1`]

∴ [eqn: a_n = { 2 cdot 3^n-1 } over 7^n`] ([eqn: n>=2`])

[eqn: n=1`]일 때, [eqn: 7a_1 = 3^1 -1`]에서

[eqn: a_1 = 2over7`]이므로

[eqn: a_n = { 2 cdot 3^n-1 } over 7^n`] ([eqn: n>=1`])

∴ [eqn: sum_n=1^inf``{ a_n } over 3^n-1`][eqn: = sum_n=1^inf`` left( `1over 3^n-1 times { 2 cdot 3^n-1 } over 7^n `right)`]

[eqn: = sum_n=1^inf`` 2over 7^n`]

[eqn: = {2over7 } over{ 1- 1over7 }`]

[eqn: = 1over3`]

□ ①

13. [eqn: 0 = k a_k+1 + sum from m=1 to k m a_m]

[eqn: = k a_k+1 + sum from m=1 to k-1 ma_m + k a_k]

[eqn: = k a_k+1 + (1-k)a_k + k a_k]

이므로

[eqn: ka_k+1 = (k-1)a_k -k a_k = - a_k]

[eqn: therefore] [eqn: a_k+1 = - 1 over k a_k]

따라서 (가), (나)에 들어갈 식은 각각

[eqn: 1-k], [eqn: - 1 overk]

이므로

[eqn: f(k) = (1-k) ( - 1 overk ) = 1 - 1 over k]

[eqn: therefore] [eqn: f(10) = 1- 1 over 10 = 9 over 10]

□ ⑤

14.

[eqn: pmatrix{1&&~~0#0&&-4}`pmatrix{x#y}`= k pmatrix{~~y#-x}`][eqn: = k pmatrix{~~0&&1#-1&&0}`pmatrix{x#y}`]

[eqn: = pmatrix{~~0&&k#-k&&0}`pmatrix{x#y}`]

[eqn: left{ pmatrix{1&&~~0#0&&-4}`-pmatrix{~~0&&k#-k&&0}``right} pmatrix{x#y}` = pmatrix{0#0}`]

[eqn: pmatrix{1&&-k#k&&-4}`pmatrix{x#y}`= pmatrix{0#0}`]

연립방정식이 [eqn: x=0 ,``y=0`] 이외의 해를 가지려면

행렬 [eqn: pmatrix{1&&-k#k&&-4}`]의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.

따라서, [eqn: 1 cdot (-4) - (-k) cdot k =0`]에서

[eqn: k^2 = 4`]

[eqn: k= -2`] 또는 [eqn: k=2`]

그러므로 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은 0이다.

□ ③

15.

[eqn: b _{n} =a _{n}]이므로

[eqn: a _{n+1} =a _{n} +b _{n}]

[eqn: =2a _{n}]

또, [eqn: a _{1} =1]이므로

[eqn: a _{n} =2 ^{n-1}]

따라서,

[eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{k} = sum _{k=1} ^{6} 2 ^{k-1}]

[eqn: = {1 TIMES LEFT ( 2 ^{6} -1 RIGHT )} over {2-1}]

[eqn: =][eqn: 63]

□ ③

16.

점 [eqn: \P_{it n }]의 좌표를 [eqn: (a_n , ``0)]이라 하면

점 [eqn: \A_{it n }]의 좌표는 [eqn: (a_n , ``-a_n +2 )]

점 [eqn: \B _ {it n }]의 좌표는 [eqn: left( - 1over 4 (a_n +2 ) , ```-a_n +2 right)]

점 [eqn: \C _ {it n }]의 좌표는 [eqn: left( - 1over 4 (a_n +2 ) , ```0 right)]

따라서 점 [eqn: \P_{ it n+ 1}]의 좌표는

[eqn: left( 1over 4 (a_n +2 ) , ```0 right)]

∴ [eqn: a_n+1 = 1over 4 (a_n + 2)]

[eqn: lim_n->inf a_n = alpha]라 하면 [eqn: lim_n->inf a_n+1 =alpha]이므로

[eqn: lim_n->inf a_n+1 = lim_n->inf 1over 4 (a_n + 2)]에서

[eqn: alpha = 1over 4 ( alpha + 2)]

∴ [eqn: alpha = lim_n->inf a_n = 2 over 3]

□ ⑤

17.

주어진 삼각형을 포함하는 사각형을 만들려면 점 [eqn: O(0,`0)`]을 반드시 꼭짓점으로 해야 한다.

점 [eqn: O`]와 연결된 변의 꼭짓점은

[eqn: (4,``0),``(8,``0)`] 중에서 한 개,

[eqn: (0,4),``(0,`8)`] 중에서 한 개 선택하며,

점 [eqn: O`]와 변으로 연결되지 않은 한 꼭짓점은

[eqn: (4,`4),``(4,`8),`(8,`4),`(8,`8)`] 중에서 한 개를 선택해야 한다.

따라서, 꼭짓점을 선택하는 방법의 수는

[eqn: `_2 C_1 times `_2 C_1 times `_4 C_1 = 16`](개)

이 중에서 [eqn: (0,`0),(8,0),`(4,`4),`(0,`8)`]을 꼭짓점으로 선택하면 사각형을 만들 수 없다.

따라서, 구하는 사각형의 개수는

[eqn: 16-1 = 15`](개)

□ ②

18. [eqn: a_2 a_4 = a_3 ^2 = 16]

[eqn: therefore] [eqn: a_3 = 4] ([eqn: BECAUSE][eqn: a_n >0])

[eqn: a_3 a_5 = 4a_5 = 64]

[eqn: therefore] [eqn: a_5 = 16]

따라서 공비를 [eqn: r]([eqn: r>0])라 하면

[eqn: a_5 = a_3 r^2 = 4r^2 = 16]

[eqn: r^2 = 4]

[eqn: therefore] [eqn: r = 2]

[eqn: therefore] [eqn: a_7 = a_5 r^2 = 16 times 2^2 = 64]

□ 64

19. 일반항은

[eqn: `_6 C_r ( x over 2 )^6-r ( 2 over x )^r = `_6 C_r 2^-6+2r x^6-2r]

(단, [eqn: r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6])

따라서 상수항은 [eqn: 6-2r =0]에서 [eqn: r = 3]일 때이므로

[eqn: `_6 C_3 2^-6+6 = 6TIMES5TIMES4 OVER 3TIMES2TIMES1 = 20]

□ 20

20. [eqn: 2A^2 - A = 2E] 에서

[eqn: (2A-E)A = 2E]

[eqn: (2A-E)( 1 OVER 2 A ) = E]

[eqn: THEREFORE] [eqn: (2A-E)^-1 = 1 OVER 2 A]

따라서 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합이 24이므로 행렬 [eqn: 2A-E]의 역행렬의 모든 성분의 합은

[eqn: 24 TIMES 1 OVER 2 = 12]

□  12

21. [eqn: SUM from n=1 to inf (3^n a_n - 2 )]가 수렴하므로

[eqn: lim _{ n->inf} (3^n a_n - 2 )=0]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} 3^n a_n = 2]

[eqn: lim _{ n->inf} {6a_n + 5 cdot 4^-n} over {a_n + 3^-n}]

[eqn: = lim _{ n->inf} {6 cdot 3^n a_n + 5 ( 3 over 4 ) ^n} over {3^n a_n +1}]

[eqn: = {6times2 } over {2+1} = 4]

□  4

22.

[eqn: a= log_2 (2+ root3 )]에서

[eqn: 2^a = 2+ root3]

[eqn: 4^a = (2^a )^2][eqn: = (2+ root3 )^2]

[eqn: = 7+4root3]

∴ [eqn: 4^a + 4 over 2^a = 7+ 4 root3 + 4 over { 2+ root3}]

[eqn: = 7+ 4 root3 + 4 (2- root3 )]

[eqn: = 15]

□ 15

23

(ⅰ) A, B가 공통으로 가입한 동아리가 1개인 경우

공통으로 가입하는 동아리 1개를 선택하고 이를 제외한 3개의 동아리 중에서 A, B가 각각 하나씩 택하면 되므로 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rm C _{1} TIMES 3 TIMES 2=24](가지)

(ⅱ) A, B가 공통으로 가입한 동아리가 없는 경우

A가 2개의 동아리를 선택한 후 B가 나머지 중에 2개의 동아리를 선택하면 되므로 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rm C _{2} TIMES _{2} rm C _{2} =6](가지)

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 24+6=30](가지)

□ 30

24.

[eqn: n`]이 두 자리 자연수이므로

[eqn: log n = 1+ alpha`] ([eqn: 0<= alpha <1`]) [eqn: cdots㉠`]

로 놓을 수 있다.

[eqn: log 1over2 = - log 2 = -1+ (1- log2 )`]

[eqn: = -1 + log 5`]

이므로 [eqn: log 1over2`]의 가수는 [eqn: log 5`]이다.

[eqn: log n`]의 가수가 [eqn: alpha`]이므로

문제의 조건에서 [eqn: alpha `< log 5`]

따라서, [eqn: 0<= alpha < log 5`]이므로 ㉠에서

[eqn: 1<= log n < 1+ log 5`]

[eqn: log 10 <= log n < log 50`]

∴ [eqn: 10 <= n < 50`]

따라서, 자연수 [eqn: n`]의 개수는

[eqn: 50-10 = 4`0](개)

□ 40

25.

[eqn: a_n = 16 times left( 2^{ 1over10} `right)^n-1 = 2^{ 1over10 n +4- 1over10 }`]이므로

[eqn: log a_n = left( 1over 10 n + 4 - 1over10 right) `log2`]

[eqn: = left( 1over10 n + 4 - 1over10 right) times 0.301`]

[eqn: = 0.0301 n + 1.204 - 0.0301`]

[eqn: = 0.0301 n + 1.1739`]

[eqn: = 1+ (0.0301 n + 0.1739 )`]

[eqn: 0.0301 n + 0.1739 >= 1`]에서

[eqn: 0.0301 n >= 0.8261`]

[eqn: n>= 27.4 ×××`]

따라서, [eqn: 1<= n<= 27`]일 때,

[eqn: log a_n`]의 가수 [eqn: b_n`]은

[eqn: b_n = 0.0301 n + 0.1739`]

이므로 수열

[eqn: b_1 ,``b_2 ,`` b_3 ,`` cdots , `b_27`]

은 공차가 [eqn: 0.0301`]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: b_28 = 0.0301 times 28 + 0.1739 -1`]이므로

[eqn: b_28 +1 = 0.0301 times 28`+ 0.1739`]

[eqn: b_29 = 0.0301 times 29 + 0.1739-1`]이므로

[eqn: b_29 +1 = 0.0301 times 29`+ 0.1739`]

따라서, 수열

[eqn: b_1 ,``b_2 ,``cdots ,``b_27 ,``b_28 +1 ,``b_29 +1 `]

은 공차가 [eqn: 0.0301`]인 등차수열을 이룬다.

그러므로 수열

[eqn: b_1 ,``b_2 ,``b_3 , `` cdots , ``b_k ,``b_k+1 +1`]

이 등차수열을 이루는 [eqn: k`]의 값은

[eqn: 27`]이다.

□ [eqn: 27`]

26. [eqn: AB= pmatrix { -2 #```4 } pmatrix {1`` & { 3} over {2 }`` & 5} = pmatrix { -2&``-3&``-10 #`` 4&``6 &``20}]

이므로 행렬 [eqn: AB]의 모든 성분의 합은

15이다.

□  ③

27. 곡선 [eqn: y=a^-x-2]가 직선 [eqn: y=1]과 만나는 점

[eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: rmA (t, ``1)]이라 하면

[eqn: 1=a^-t-2] 에서 [eqn: a>1] 이므로 [eqn: -t-2=0]이다.

[eqn: THEREFORE```` t=-2]

또 곡선 [eqn: y=log_a (x-2)]가 직선 [eqn: y=1]과 만나   는 점 [eqn: rm B]의 좌표를 [eqn: rmB (k, ``1)]이라 하면

[eqn: 1=log_a (k-2) ,````k-2 =a]

[eqn: THEREFORE````k=a+2]

따라서

[eqn: rm barAB = root{ LEFT { a+2 -(-2) RIGHT }^2 +(1-1)^2 }]

[eqn: =(a+4) =8]

이므로 [eqn: a=4] 이다.

□ ②

28. [eqn: rmA]보다 [eqn: rm B]가 본사로부터 거리가 먼 지사에

발령이 나야하므로 다음과 같이 경우를     나누어 생각한다.

(i) [eqn: rmA]가 ‘가’지사에 발령 나는 경우

‘나’ 지사에 나머지 사람을 발령하는 경우     의 수는 [eqn: rm B]를 제외한 3가지이므로

각 지사에 발령하는 경우의 수는

[eqn: 3TIMES 3 TIMES 2TIMES 1 =18]

(ii) [eqn: rmA]가 ‘나’지사에 발령 나는 경우

‘가’ 지사에 나머지 사람을 발령하는 경우     의 수는 [eqn: rm B]를 제외한 3가지이므로

각 지사에 발령하는 경우의 수는

[eqn: 3TIMES 3 TIMES 2TIMES 1 =18]

(iii) [eqn: rmA]가 ‘가’, ‘나’지사 이외의 곳에 발령 나     는 경우

‘가’, ‘나’지사에 나머지 사람을 발령하는

경우의 수는 [eqn: `_3 P_2] 이고 나머지의 곳에

[eqn: rm A,``B]를 포함하여 세 명을 발령하는 경우    의 수는 3가지뿐이므로 구하는 경우의 수    는  [eqn: `_3 P_2 TIMES 3 =18]

따라서 (i), (ii), (iii)에서 구하는 모든 경우   의 수는  [eqn: 18 +18+18 =54] (가지)이다.

□ ③

29. ㄱ.   [eqn: A =P pmatrix{a&```0#0&```b}`P^-1]

[eqn: B =P pmatrix{c&```0#0&```d}`P^-1]

이므로 [eqn: a=c,```b=d] 이면 [eqn: A=B] 이다.  (참)

ㄴ. [eqn: AB =P pmatrix{a&```0#0&```b}`P^-1 P pmatrix{c&```0#0&```d}`P^-1]

[eqn: =P pmatrix{a&```0#0&```b} pmatrix{c&```0#0&```d}`P^-1]

[eqn: =P pmatrix{ac&```0#0&```bd}`P^-1]

[eqn: BA =P pmatrix{c&```0#0&```d}`P^-1 P pmatrix{a&```0#0&```b}`P^-1]

[eqn: =P pmatrix{c&```0#0&```d} pmatrix{a&```0#0&```b}`P^-1]

[eqn: =P pmatrix{ac&```0#0&```bd}`P^-1]

[eqn: THEREFORE ```AB =BA] (참)

ㄷ.  [eqn: A-B =P pmatrix{a&```0#0&```b}`P^-1 - P pmatrix{c&```0#0&```d}`P^-1]           [eqn: =P LEFT [ pmatrix{a&```0#0&```b}- pmatrix{c&```0#0&```d} RIGHT ] `P^-1]

[eqn: =P pmatrix{a-c&```0#0&```b-d}`P^-1]

에서 [eqn: A-B]의 역행렬이 존재하므로

[eqn: (a-c)(b-d) != 0] 이다.

따라서 [eqn: a!= c] 이고 [eqn: b!=d] 이다. (참)

따라서 옳은 것은  ㄱ, ㄴ, ㄷ

□ ⑤

30.  각 자리의 숫자의 합이 5인 다섯 자리     자연수 중에서

0을 한 개도 사용하지 않고

만든 숫자는 11111 한 가지 뿐이다.

0을 한 개 사용하여 만든 숫자는

0, 1, 1, 1, 2 로 이루어져 있으므로

(i) 맨 앞자리에 1이 오는 경우

나머지 숫자 0, 1, 1, 2를 배열하는 방법의    수는 [eqn: { 4!} over {2! } =12](가지)

(ii) 맨 앞자리에 2가 오는 경우

나머지 숫자 0, 1, 1, 1을 배열하는 방법의    수는 [eqn: { 4!} over {3! } =4](가지)

따라서 구하는 모든 자연수의 개수는

17 가지이다.

□  17