고 2	수학 영역 (A형)

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2014학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (A형)

제 2 교시

5 지 선 다 형

1. [eqn: 2 ^{{2} over {3}} TIMES 8 ^{{1} over {9}}]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 2]       ② [eqn: 2sqrt2]      ③ [eqn: 4]       ④ [eqn: 4 sqrt {2}]      ⑤ [eqn: 8]

2. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`a-1````&`4``#`2````&`6``}} `], [eqn: B= {pmatrix{``5````&``4`#``2````&``b+2`}} `]에 대하여 [eqn: A=B`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 9]       ② [eqn: 10]        ③ [eqn: 11]       ④ [eqn: 12]       ⑤ [eqn: 13]

3. [eqn: log` _{9} `36-log` _{3} `2]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 1 over 4]       ② [eqn: 1 over 2]        ③ [eqn: 1]         ④ [eqn: 2]         ⑤ [eqn: 4]

4. 지수방정식 [eqn: LEFT ( {9} over {4} RIGHT ) ^{x} = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{1+x}]의 해는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: - {2} over {3}]      ② [eqn: - {1} over {3}]       ③ [eqn: 0]      ④ [eqn: {1} over {3}]       ⑤ [eqn: {2} over {3}]

5. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`3````&`1`#`7````&`5`}} `], [eqn: B= {pmatrix{`a````&`b`#`c````&`d`}} `]에 대하여 [eqn: (A-E`)B=E`]가 성립할 때, [eqn: a+b+c+d`]의 값은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [[eqn: 3]점]

① [eqn: -2]       ② [eqn: -1]       ③ [eqn: 0]        ④ [eqn: 1]        ⑤ [eqn: 2]

6. 로그부등식 [eqn: log` _{2} LEFT ( x-3 RIGHT ) `+log` _{2} ` LEFT ( x+1 RIGHT ) LEQ 5`]를 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]         ④ [eqn: 4]         ⑤ [eqn: 5]

7. [eqn: 5`]개의 꼭짓점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`], [eqn: rm D`], [eqn: rm E`]로 이루어진 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타낸 행렬이 다음과 같다.

[eqn: `` {matrix{&`````` rm A&`B&`C&`D&`E}} it# ` {matrix{rm A#B#C#D#E}} it `` {pmatrix{``0&```0&```1&```1&```1`#``0&```0&```1&```0&```1`#``1&```1&```0&```1&```0`#``1&```0&```1&```0&```1`#``1&```1&```0&```1&```0`}}]

이 그래프의 꼭짓점 [eqn: rm A`]에서 출발하여 다른 한 꼭짓점을 지나 꼭짓점 [eqn: rm D`]로 가는 경로의 수는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 0]        ② [eqn: 1]         ③ [eqn: 2]         ④ [eqn: 3]         ⑤ [eqn: 4]

8. 함수 [eqn: y=log _{` {1} over {3}} LEFT ( x ^{2} +2x+10 RIGHT ) `]의 최댓값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: -3]       ② [eqn: -2]        ③ [eqn: -1]       ④ [eqn: 0]       ⑤ [eqn: 1]

9. 다항식 [eqn: x ^{2} +2x+3`]을 두 일차식 [eqn: x-log _{`2} `a`]와 [eqn: x-log _{`2} `2a`]로 각각 나눈 나머지가 서로 같을 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {sqrt {2}} over {4}]      ② [eqn: {1} over {2}]      ③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]      ④ [eqn: 1]       ⑤ [eqn: sqrt {2}]

10. 세 수 [eqn: A= 2^sqrt3], [eqn: B= root {3} of {81}], [eqn: C=` root {4} of {256}]의 대소 관계로 옳은 것은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: A<B<C]        ② [eqn: A<C<B]        ③ [eqn: B<A<C]

④ [eqn: C<A<B]        ⑤ [eqn: C<B<A]

[11~12] 지수함수 [eqn: bold {f(x)= a^x}`]([eqn: bold a>0`], [eqn: bold a!=1`])에 대하여 11번과 12번의 두 물음에 답하시오.

11. [eqn: a=2`]일 때 방정식 [eqn: f(x)- sqrt {2} f(-x)+1- sqrt {2} =0]의 해는?

[[eqn: 3]점]

① [eqn: {1} over {2}]       ② [eqn: 1`]       ③ [eqn: {3} over {2}]       ④ [eqn: 2]       ⑤ [eqn: {5} over {2}]

12. 이차정사각행렬 [eqn: M]의 [eqn: (`i`,```j`)]성분 [eqn: m _{ij} ``]가

[eqn: m _{ij} = {cases{f(i)+f(j)&````````(i=j)#f(i) TIMES f(j)&````````(i != j)}}]

일 때 행렬 [eqn: M`]의 모든 성분의 곱이 [eqn: 2 ^{8} `]이다. 이때 상수 [eqn: a`]의 값은?

[[eqn: 3]점]

① [eqn: 2 ^{{1} over {3}} `]       ② [eqn: 2 ^{{2} over {3}} `]       ③ [eqn: 2]       ④ [eqn: 2 ^{{4} over {3}} `]       ⑤ [eqn: 2 ^{{5} over {3}} `]

13. 다음은 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여

[eqn: 2A ^{2} +AB=E`]       [eqn: CDOTS cdots] ㉠

[eqn: AB+2BA=2A+E`] [eqn: CDOTS cdots] ㉡

이 성립할 때, 행렬 [eqn: A`]의 역행렬 [eqn: A ^{-1}]를 [eqn: A`]와 [eqn: E`]로 나타내는 과정이다. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

	㉠ 에서 [eqn: A ^{-1} = {BOX{````(가)````}} ` TIMES A+B] [eqn: CDOTS cdots] ㉢ 또한 [eqn: AA ^{-1`} =A ^{-1} A`]이므로 ㉢ 에서 [eqn: AB=`BA`] 따라서 ㉡ 에서 [eqn: AB= {BOX{````(나)````}} ` TIMES A+ {1} over {3} E``]이고, ㉠ 에서 [eqn: AB=E-2A^2 ``]이므로 [eqn: E-2A^2 `=][eqn: {BOX{````(나)````}} ` TIMES A+ {1} over {3} E``] 그러므로 [eqn: A ^{-1} = {BOX{````(다)`````}} ` TIMES A+E`] 이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r`]라 할 때, 세 수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r`]의 곱 [eqn: p`q`r`]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

14. 어느 해상에서 태풍의 최대 풍속은 중심 기압에 따라 변한다. 태풍의 중심 기압이 [eqn: P``]([eqn: rm hPa])일 때 최대 풍속 [eqn: V`]([eqn: rm m/]초)는 다음 식을 만족시킨다고 한다.

[eqn: V``=`4.86`(1010`-`P) ^{0.5} ``]

이 해상에서 태풍의 중심 기압이 [eqn: 900]([eqn: rmhPa])과 [eqn: 960]([eqn: rmhPa])일 때, 최대 풍속이 각각 [eqn: V _{A it}]([eqn: rm m/]초), [eqn: V_{B}`]([eqn: rm m/]초)이었다. [eqn: {V _{ A it}} over {V _{B}} `]의 값은? (단, [eqn: log`1.1=0.0414`], [eqn: log1.472=0.1679], [eqn: log`1.483=0.1712], [eqn: log`2=0.3010`]으로 계산한다.) [[eqn: 4]점]

① [eqn: 1.301]              ② [eqn: 1.414]              ③ [eqn: 1.472]

④ [eqn: 1.483]              ⑤ [eqn: 1.679]

15. 집합 [eqn: LEFT . S`=` LEFT { {pmatrix{`a&~``````b``#`c&``-a`}} RIGHT | RIGHT .][eqn: a,```b`,```c`]는 양의 실수[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT }]에 대하여 [eqn: S`]의 임의의 두 원소 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A ^{-1} `=kA] (단, [eqn: k]는 실수) ㄴ. [eqn: AB=BA] ㄷ. [eqn: AB`` ^{2} A=BA ^{2} B]

① ㄱ                   ② ㄴ                    ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ               ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. [eqn: x<2`]인 임의의 실수 [eqn: x`]에 대하여 행렬 [eqn: {pmatrix{```2 ^{x} `&````a+4`#-1`&````2 ^{x} -4`}} `]의 역행렬이 존재하도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는? [[eqn: 4]점]

① [eqn: -5 LEQ a`< -1]               ② [eqn: -4leqa`<0]

③ [eqn: -3 LEQ a<1]                  ④ [eqn: a` LEQ -3] 또는 [eqn: a>1`]

⑤ [eqn: a` LEQ -4] 또는 [eqn: a>0`]

17. [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 연립방정식

[eqn: {cases{(a+1)`·`2 ^{`x} -3 ^{y} =0#`2 ^{x} -b`·`3 ^{y-1} =0}} `]

이 해를 갖도록 하는 정수 [eqn: a], [eqn: b`]의 곱 [eqn: ab`]의 최댓값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: -4]        ② [eqn: -2]       ③ [eqn: 0]       ④ [eqn: 2]       ⑤ [eqn: 4]

18. 그림과 같이 직선 [eqn: y=`-x+p] ([eqn: p>1])이 [eqn: x]축, [eqn: y`]축, 곡선 [eqn: y=2 ^{x}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C`]라 하고, 점 [eqn: rm C]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D]라 하자. 삼각형 [eqn: rm BDC]의 넓이가 [eqn: 8]일 때, 삼각형 [eqn: rm OAC]의 넓이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [[eqn: 4]점]

[eqn: rmB]

[eqn: rm D]

[eqn: rm O]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=2 ^{x}]

[eqn: y=`-x+p]

① [eqn: 120]      ② [eqn: 130]      ③ [eqn: 140]      ④ [eqn: 150]      ⑤ [eqn: 160]

19. 부등식 [eqn: (`x-4) ^{2} +(y-1) ^{2} ` LEQ 4`]를 만족시키는 좌표평면 위의 점 [eqn: rmP(`itx`,```y)]에 대하여 행렬 [eqn: A`]를 [eqn: A= {pmatrix{```3&````y`#``4&````x-1`}} `]이라 하자. 행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하지 않을 때, 점 [eqn: rmP(`itx`,```y)]가 나타내는 도형의 길이는? [[eqn: 4]점]

① [eqn: sqrt {3}]      ② [eqn: sqrt {6}]      ③ [eqn: 3]      ④ [eqn: 2 sqrt {3}]      ⑤ [eqn: sqrt {15}]

20. 그림과 같이 직선 [eqn: y=k```]([eqn: k>0`])이 두 곡선 [eqn: y=log _{{1} over {4}} x``], [eqn: `y=log _{`2} `x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,```rmB``]라 하자. 점 [eqn: rmA`]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log_{`2 }`x`]와 만나는 점을 [eqn: rmC`]라 하고, 점 [eqn: rmC`]를 지나고 [eqn: x``]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log_{`1over4 }`x`]와 만나는 점을 [eqn: rmD `]라 하자. [eqn: bar{rm{AB}} overbar{rm{CD}}`=`1over5 `]일 때, 실수 [eqn: k`]의 값은? [[eqn: 4]점]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: y=log_{2}x]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: y=log_{1over4}x]

[eqn: rm `O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=k]

① [eqn: {4} over {9}]        ② [eqn: {5} over {9}]       ③ [eqn: {2} over {3}]       ④ [eqn: {7} over {9}]       ⑤ [eqn: {8} over {9}]

21. 곡선 [eqn: y=log _{`2} `x] 위의 점 [eqn: rm A(`4`,```2`)]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y=4 ^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rm C( it x _{1} `,```y _{1} `)]이라 하고, 곡선 [eqn: y=log _{`2} `x] 위의 점 [eqn: rm B LEFT ( {1} over {2} `,```-1 RIGHT )]을 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y=4 ^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rm D( it x _{2} `,```y _{2} `)]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4]점]

[eqn: y=log _{`2} `x]

[eqn: y=4 ^{x}]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: `x _{1} +x _{2} >`0] ㄴ. [eqn: y _{1} `y _{2} >1] ㄷ. [eqn: {y _{1} -y _{2}} over {x _{1} -x _{2}} > {7} over {6}]

① ㄱ                  ② ㄷ                   ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ              ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

22. [eqn: log` _{a} `3 TIMES log` _{9} `b=10`]일 때, [eqn: log`_{a} `b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>0`], [eqn: a != 1], [eqn: b>0`])[[eqn: 3]점]

23. [eqn: 5`]개의 꼭짓점으로 이루어진 그래프 [eqn: G`]의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타낸 행렬이 다음과 같다.

[eqn: {pmatrix{``0&```1&```1&```0&```0``#``1&```0&```1&```0&```0``#``1&```1&```0&```1&```p``#``0&```0&```1&```0&```1``#``0&```0&```1&```1&```0``}}]

그래프 [eqn: G`]에서 [eqn: 2`]개의 변이 연결된 꼭짓점의 개수를 [eqn: q`]라 할 때, [eqn: p ^{2} +q ^{2} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

24. 함수 [eqn: y=a+ {1} over {2} `log` _{3} (x-b)]의 그래프의 점근선의 방정식이 [eqn: x=4`]이고 이 그래프가 점 [eqn: (13`,```2) `]를 지날 때, [eqn: 5(a+b)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`,```b`]는 상수이다.) [[eqn: 3]점]

25. 두 실수 [eqn: x,``y`]에 대하여 두 행렬 [eqn: A,``B`]를

[eqn: A= {pmatrix{-1&`````x`#``````3&`````0`}}], [eqn: B= {pmatrix{`-2```&```````2`#```````y```&-1`}} ```]

이라 하자. [eqn: (A+B)(A-B)=A ^{2`}-B^2 `]일 때 [eqn: x^2 +y^2 `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

26. 어느 공장에서 두 제품 [eqn: A`,````B`]를 생산하고 있다. 두 제품 [eqn: A`,````B`]의 [eqn: 7`]월의 생산량의 총합은 [eqn: 400`]개였다. 제품 [eqn: A`]의 [eqn: 8`]월의 생산량은 제품 [eqn: A`]의 [eqn: 7`]월의 생산량에 비하여 [eqn: 15]% 증가하였고, 제품 [eqn: B`]의 [eqn: 8`]월의 생산량은 제품 [eqn: B`]의 [eqn: 7`]월의 생산량에 비하여 [eqn: 10]% 감소하여 두 제품 [eqn: A`,````B`]의 8월의 생산량의 총합은 [eqn: 420`]개였다. [eqn: 7]월의 두 제품 [eqn: A`,````B`]의 생산량을 각각 [eqn: x`,```y`]라 하면 다음 등식이 성립한다.

[eqn: {pmatrix{`x`#`y`}} `=` {pmatrix{``a&```40`#``46&```b`}} ` {pmatrix{`40`#`42`}}]

이때 두 상수 [eqn: a`]와 [eqn: b`]에 대하여 [eqn: {ab} over {4} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

27. 연립부등식

[eqn: LEFT . `` {cases{``3 ^{5(1-x)} LEQ ` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x ^{2} -1}&#`(log _{`2} `x) ^{2} -4`log _{`2`} x`+3<0&}} RIGHT .]

을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x`]의 값의 곱을 구하시오. [[eqn: 4]점]

28. 두 지수함수 [eqn: f(x)=4 ^{`x}], [eqn: g(x)=3``․``2 ^{`x+1} -k`]의 그래프가 서로 다른 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rm B`]에서 만난다. 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rm B`]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a,~b`]라 할 때, [eqn: ab<0`]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k`]의 값의 합을 구하시오. [[eqn: 4]점]

29. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=2 ^{x} `]의 제[eqn: 1`]사분면 위의 점 [eqn: rmA`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB`]라 하고, 직선 [eqn: rmAB`]와 곡선 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-4} `]의 교점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rm rmP]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{x} `]과 만나는 점을 [eqn: rm E], 점 [eqn: rmE`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자. [eqn: x`]축 위의 두 점 [eqn: rmC`]와 [eqn: rmG`]를

[eqn: rm {bar{AB}} ``:`` {bar{BC}} `=`2``:``1``], [eqn: rm {bar{EH}} ``:`` {bar{HG}} `=`1``:``2`]

가 되도록 잡아 직사각형 [eqn: rmABCD`]와 직사각형 [eqn: rm EFGH`]를 각각 그린다. 이때 직사각형 [eqn: rmABCD`]의 넓이와 직사각형 [eqn: rm EFGH`]의 넓이의 합의 최솟값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: y=2 ^{x} `]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-4} `]

[eqn: rmA]

[eqn: rm P]

[eqn: rm B]

[eqn: rmC]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm H]

[eqn: rm G]

[eqn: rm F]

30. 양수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: log`n`]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)`]이라 할 때, 다음 두 조건을 모두 만족시키는 자연수 [eqn: x`,```y`]의 순서쌍 [eqn: (`x`,```y`)`]의 개수를 구하시오. [[eqn: 4]점]

	(가) [eqn: f(2x)=f(y)=0] (나) [eqn: g(2x+y)<g(2x)+g(y)`]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.