수학 영역(나형)

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2015학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

5지선다형

1. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,``2,``3 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 2,``3,``4,``5 RIGHT } `]에 대하여 [eqn: A SMALLINTER B``]는?

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12

[2점]

① [eqn: LEFT { 1 RIGHT } `]	② [eqn: LEFT { 2,``3 RIGHT } `]	③ [eqn: LEFT { 4,``5 RIGHT } `]

④ [eqn: LEFT { 1,``4,``5 RIGHT } `]	⑤ [eqn: LEFT { 2,``3,``4,``5 RIGHT } `]

2. [eqn: (1+i)(1-i)`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]) [2점]

① [eqn: -2i]	② [eqn: -i]	③ [eqn: i]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: 2]

3. [eqn: LEFT ( x+2y RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +xy RIGHT )`]의 전개식에서 [eqn: x ^{2} y`]의 계수는? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4. [eqn: 2 ^{{1} over {3}} TIMES 4 ^{{1} over {3}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2 root {3} of {2} `]	④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4]

5. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2ax+3=0`]이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 정수 [eqn: a`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

6. 세 수 [eqn: 3], [eqn: 12`], [eqn: a`]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 48]	④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 72]

7. 유리함수 [eqn: y= {2x-3} over {x-4} `]의 그래프에서 점근선의 방정식이 [eqn: x=p`], [eqn: y=q`]일 때, [eqn: p+q`]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

8. 두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -1`], [eqn: g(x)= sqrt {x+3} +1`]에 대하여 [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) (1)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

9. 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가 다음과 같다.

[eqn: p`:`2x+4>0]

[eqn: q`:`x GEQ a]

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 최댓값은?

[3점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

10. 연립방정식

[eqn: {cases{`2x-y=5&#`x ^{2} -2y=6&}}]

의 해를 [eqn: x= alpha `], [eqn: y= beta `]라 할 때, [eqn: alpha+beta`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

11. 그림은 전체집합 [eqn: U``]의 서로 다른 두 부분집합 [eqn: A`], [eqn: B] 사이의 관계를 벤 다이어그램으로 나타낸 것이다.

다음 중 어두운 부분을 나타낸 집합과 같은 것은? [3점]

① [eqn: `A SMALLINTER B ^{`C}]

② [eqn: LEFT ( A SMALLINTER B`` RIGHT ) CUP B ^{`C}]

③ [eqn: LEFT ( A SMALLINTER B ^{`C} `` RIGHT ) CUP A ^{C}]

④ [eqn: LEFT ( A` CUP B` RIGHT ) SMALLINTER LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) ^{`C}]

⑤ [eqn: LEFT . LEFT ( A-B` RIGHT ) ` CUP ` LEFT ( A RIGHT . ^{`C} cap B ^{`C} `` RIGHT )]

12. [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: (k`x ^{3} +3)(k`x ^{2} -4)-k`x`]가 [eqn: x+1`]로 나누어떨어지도록 하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 7`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

[13 ~ 14] 그림과 같이 [eqn: bold{3] 이상의 자연수 [eqn: {bold{n}} `]에 대하여 곡선 [eqn: {boldy=x ^{2}}} `]과 직선 [eqn: {bold{y=n`x-2}} `]가 두 점 [eqn: {bold{rm A it}} `], [eqn: {bold{rm B it}} `]에서 만난다.

13번과 14번의 두 물음에 답하시오. (단, [eqn: {bold{rm O it}} `]는 원점이다.)

13. [eqn: n=4`]일 때, 선분 [eqn: rm AB`]의 길이는? [3점]

①　[eqn: sqrt { 17}]	② [eqn: sqrt { 34}]	③ [eqn: 2sqrt {17 }]

④ [eqn: 2 sqrt {34}]	⑤ [eqn: 4sqrt { 17}]

14. 두 직선 [eqn: rm OA], [eqn: rm OB`]의 기울기를 각각 [eqn: a _{n}], [eqn: b _{n}`]이라 할 때, [eqn: sum _{n=3} ^{20} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT )`]의 값은? [4점]

① [eqn: 195]	② [eqn: 199]	③ [eqn: 203]	④ [eqn: 207]	⑤ [eqn: 211]

15. 좌표평면에 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -10`x=0`]이 있다. 이 원의 현 중에서 점 [eqn: rm A` it (`1,```0)`]을 지나고 그 길이가 자연수인 현의 개수는? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

16. 좌표평면에서 중심이 [eqn: (`1,```1)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원과 직선 [eqn: y=m`x] ([eqn: m>0`])가 두 점 [eqn: RM A`], [eqn: rm B`]에서 만난다. 두 점 [eqn: RM A`], [eqn: RM B`]에서 각각 이 원에 접하는 두 직선이 서로 수직이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: m`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: { 5} over {2 }]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

17. 수열 [eqn: left{`a _{n} `right}]은 [eqn: a _{1} =1]이고

[eqn: {a _{n+1}} over {n+2} = {a _{n}} over {n} + {1} over {2}] [eqn: LEFT ( n`ge1 RIGHT )] [eqn: cdots][eqn: CDOTS `]㉠

을 만족시킨다. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n} = LEFT ( 1+2+3+ RIGHT .][eqn: CDOTS][eqn: LEFT. +n RIGHT )][eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +][eqn: cdots][eqn: LEFT. + {1} over {n} RIGHT )] [eqn: cdots][eqn: CDOTS `]㉡

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

(좌변)[eqn: =a _{1} =1], (우변)[eqn: =1times1=1]

따라서 ㉡이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때, ㉡이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{k} = LEFT ( 1+2+3+ RIGHT .][eqn: CDOTS][eqn: +k RIGHT)][eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +][eqn: cdots][eqn: +{ 1} over { k} right)]

이다. ㉠에서

[eqn: a _{k+1}][eqn: = {BOX{```(가)```}} ``a _{k} + {k+2} over {2}]
[eqn: = {BOX{```(가)```}} ` LEFT ( 1+2+3+][eqn: CDOTS][eqn: +k RIGHT)][eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +][eqn: cdots][eqn: +{ 1} over { k} right)][eqn: + {k+2} over {2}]
[eqn: = {BOX{```(나)```}} `][eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + RIGHT .][eqn: cdots][eqn: LEFT . LEFT . + {1} over {k} RIGHT ) + {k+2} over {2}]
[eqn: = LEFT { 1+2+3+ RIGHT . RIGHT .][eqn: CDOTS][eqn: LEFT. +left(k+1 RIGHT ) right}][eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +][eqn: cdots][eqn: LEFT . + {1} over {k+1} RIGHT )]

이다.

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ㉡이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉡이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때, [eqn: f(10)timesg(9)]의 값은? [4점]

① [eqn: 66]	② [eqn: 68]	③ [eqn: 70]	④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 74]

18. 좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A( it 4,```a)], [eqn: rm B(2,```1)`]을 직선 [eqn: y=x``]에 대하여 대칭이동한 점을 각각 [eqn: rmA'], [eqn: rmB']이라 하고, 두 직선 [eqn: rm AB`], [eqn: rm A prime `B prime `]의 교점을 [eqn: rm P`]라 하자. 두 삼각형 [eqn: rm APA prime `], [eqn: rm BPB prime `]의 넓이의 비가 [eqn: 9`:`4`]일 때, [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: a>4`]) [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: {13} over {2}]	⑤ [eqn: 7]

19. 정의역이 [eqn: LEFT { `x` LEFT | ``0` LEQ `x` LEQ 6` RIGHT } RIGHT . `]인 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)`]는 일대일 대응이고 그래프는 그림과 같다.

등식 [eqn: f ^{`-1} (a)=g`(b)`]를 만족시키는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a,```b` RIGHT ) `]의 개수는? (단, 두 함수의 그래프는 각각 세 선분으로  되어 있다.) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

20. 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k(x-1) ^{2} -4k+2`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 꼭짓점을 [eqn: rm A`]라 하고, 이 곡선이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rmB`]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: k=1`]일 때, [eqn: {bar{rm OA it}} `= sqrt {5} `]이다. ㄴ. [eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]가 항상 지나는 점은 [eqn: 2`]개이다. ㄷ. [eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 직선 [eqn: rmAB`]는 항상 점 [eqn: (-3,```2)`]를 지난다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 그림과 같이 점 [eqn: rm A(-2,```2)`]와 곡선 [eqn: y= {2} over {x}] 위의 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rm C`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 [eqn: rm B]와 점 [eqn: rm C`]는 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다.

(나) 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이는 [eqn: 2 sqrt {3} `]이다.

점 [eqn: rm B]의 좌표를 [eqn: LEFT ( alpha ,``` beta ` RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: alpha ^{2} + beta ` ^{`2}]의 값은? (단, [eqn: alpha > sqrt {2} `])

[4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

12

단답형

22. [eqn: log _{`2} 16` TIMES log` _{3} `27`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 두 점 [eqn: rm A(3,```4)`], [eqn: rm B( it 5,```7)`]에 대하여 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 2:1`]로 외분하는 점의 좌표가 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT ) `]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

[3점]

24. 좌표평면에서 부등식

[eqn: (x ^{2} +y ^{2} -4)(x ^{2} +y ^{2} -64) LEQ 0`]

이 나타내는 영역의 넓이가 [eqn: a `pi`]일 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오.

[3점]

25. 등차수열 [eqn: left{`a _{n} `right}`]에서

[eqn: a _{1} +2a _{10} =34`], [eqn: a _{1} -a _{10} =`-14`]

일 때, 첫째항부터 제[eqn: 10`]항까지의 합을 구하시오. [3점]

26. 곡선 [eqn: y=`-x ^{2} +4] 위의 점과 직선 [eqn: y=2x+k] 사이의 거리의 최솟값이 [eqn: 2 sqrt {5}`]가 되도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [4점]

27. 통신 이론에서 가용 대역폭을 [eqn: B` rm]([eqn: rmHz]), 수신 신호 전력을 [eqn: S` rm]([eqn: rmW]), 잡음 전력을 [eqn: N``]([eqn: rmW])이라고 할 때, 채널 용량 [eqn: C`` rm]([eqn: rm b`p`s])는 다음과 같은 관계식을 만족시킨다고 한다.

[eqn: C`=B``log` _{2} ` LEFT ( 1+ {S} over {N} RIGHT ) `]

가용 대역폭이 일정하고, 수신 신호 전력이 [eqn: 1.2`][eqn: rm W`]일 때, 잡음 전력을 [eqn: 0.4`][eqn: rmW`]에서 [eqn: a`]([eqn: rmW`])로 변경하였더니 채널 용량이 [eqn: 3`]배가 되었다. 상수 [eqn: a`]의 값이 [eqn: {q} over {p} `]일 때, [eqn: p+q``]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

28. 다음은 어떤 학생이 자전거를 탄 전체 시간과 줄넘기를 한 전체 시간에 대한 설명이다.

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(가) 자전거를 탄 전체 시간과 줄넘기를 한 전체 시간의 차는 [eqn: 10`]분 이하이다.

(나) 자전거를 탄 전체 시간과 줄넘기를 한 전체 시간의 합은 [eqn: 1`]시간 이하이다.

이 학생이 자전거를 [eqn: 1`]분 동안 탔을 때 칼로리 소모량은 [eqn: 4`][eqn: rm `kcal]이고, 줄넘기를 [eqn: 1`]분 동안 했을 때 칼로리 소모량은 [eqn: 8`][eqn: rm `kcal]이다. 이 학생이 자전거 타기와 줄넘기를 했을 때, 칼로리 소모량의 합을 [eqn: a`]([eqn: rmkcal])라 하자. [eqn: a`]의 최댓값을 구하시오. [4점]

29. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]을 다음과 같이 정의하자.

집합 [eqn: A _{n} = LEFT { `x`` LEFT □ ` LEFT ( x-n RIGHT ) (x-2n+1) LEQ 0` RIGHT } RIGHT . `]에 대하여

[eqn: 25 IN A _{n} `]이면 [eqn: a _{n} =1`]이고, [eqn: 25 NOTIN A _{n} `]이면 [eqn: a _{n} =`-1`]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =`-20`]을 만족시키는 자연수 [eqn: m`]의 값을 구하시오. [4점]

30. 두 집합

[eqn: A="{"`x` LEFT | ``x RIGHT .]는 [eqn: 100] 이하의 자연수[eqn: `right}]

[eqn: B`][eqn: ="{"`x`left|``x]는 [eqn: 50`]과 서로소인 자연수[eqn: `right}]

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 집합 [eqn: X`]의 개수를 구하시오.

[4점]

(가) [eqn: X` SUBSET A`], [eqn: X`!=emptyset`]

(나) [eqn: X` SMALLINTER B`= EMPTYSET `]

(다) 집합 [eqn: X`]의 모든 원소는 [eqn: 12`]와 서로소이다.

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.