2016학년도 9월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 1	정답 및 해설	2016학년도 9월 전국연합학력평가

2016학년도 9월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 1

16

로그인/회원가입이 필요 없는 학습자료 사이트

레전드스터디 닷컴!

http://www.LegendStudy.com

수학 영역

정 답

1	②	2	①	3	③	4	⑤	5	③
6	③	7	④	8	②	9	⑤	10	②
11	②	12	③	13	①	14	④	15	③
16	①	17	②	18	④	19	⑤	20	⑤
21	④	22	[eqn: 7]	23	[eqn: 11]	24	[eqn: 14]	25	[eqn: 8]
26	[eqn: 22]	27	[eqn: 24]	28	[eqn: 180]	29	[eqn: 20]	30	[eqn: 17]

수학 영역

해 설

1. [출제의도] 합집합의 원소의 합 계산하기

[eqn: A SMALLUNIONB= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }]이므로

모든 원소의 합은 [eqn: 15]

2. [출제의도] 다항식의 연산 계산하기

[eqn: X-A=B`]에서

[eqn: LEFT . X=A+B RIGHT .]

[eqn: = LEFT ( 2x ^{2} -4x-2 RIGHT ) +(3x+3)]

[eqn: =2x ^{2} -x+1]

3. [출제의도] 평행이동한 점의 좌표 계산하기

점 [eqn: (2,~3)`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동하면

점 [eqn: (1,~5)`]이므로 [eqn: a=1`], [eqn: b=5`]

따라서 [eqn: a+b=6`]

4. [출제의도] 두 점 사이의 거리 계산하기

[eqn: sqrt {(a-2) ^{2} +(3-1) ^{2}} = sqrt {13} `]

양변을 제곱하면

[eqn: a ^{2} -4a-5=0]

[eqn: (a+1)(a-5)=0]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=5`]

5. [출제의도] 다항식의 인수분해 계산하기

[eqn: 2x+y=t`]라 하면

[eqn: (2x+y) ^{2} -2(2x+y)-3]

[eqn: =t ^{2} -2t-3]

[eqn: =(t+1)(t-3)]

[eqn: =(2x+y+1)(2x+y-3)]

즉 [eqn: a=2`], [eqn: b=1`], [eqn: c=`-3]

따라서 [eqn: a+b+c=2+1+(-3)=0]

6. [출제의도] 항등식 이해하기

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: b=12]

즉

[eqn: x ^{2} +3x+2=(x-2) ^{2} +a(x-2)+12] [eqn: cdotscdots]㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: 2=4-2a+12]

즉 [eqn: a=7]

따라서 [eqn: a+b=7+12=19]

7. [출제의도] 두 점을 지나는 직선의 [eqn: boldy]절편 이해하기

주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 풀면

[eqn: x=2], [eqn: y=2]

두 점 [eqn: (`2,~2`)], [eqn: rm (`4,~0`)]을 지나는 직선의 기울기는

[eqn: {0-2} over {4-2} =`-1]이므로

[eqn: y=`- LEFT ( x-4 RIGHT )]

즉 [eqn: y=`-x+4]

따라서 [eqn: y]절편은 [eqn: 4]

(별해)

주어진 두 직선이 만나는 점을 지나는 직선의

방정식은 상수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: x-2y+2+k(2x+y-6)=0`] [eqn: cdotscdots]㉠

이 직선이 [eqn: (`4,~0`)]을 지나므로 ㉠에 대입하면

[eqn: k=`-3]

구하는 직선의 방정식은 [eqn: x+y-4=0`]

따라서 [eqn: y]절편은 [eqn: 4]

8. [출제의도] 원의 방정식 이해하기

선분 [eqn: rmAB]를 외분하는 점 [eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: (`x,~y`)]라고 하면

[eqn: x= {3 TIMES 2-2 TIMES 1} over {3-2} =4]

[eqn: y= {3 TIMES 1-2 TIMES 3} over {3-2} =`-3]

즉 [eqn: rm C(`4,~-3`)]

원의 중심은 선분 [eqn: {rm BC it}}]의 중점이므로

[eqn: a= {2+4} over {2} =3]

[eqn: b= {1+(-3)} over {2} =`-1]

즉 원의 중심의 좌표는 [eqn: (`3,~-1`)]

따라서 [eqn: a+b=3+(-1)=2]

9. [출제의도] 복소수가 서로 같을 조건 이해하기

주어진 식을 정리하면

[eqn: 3x ^{2} -10xy+(2x ^{2} -5x)i=8+12i]

양변의 두 복소수가 서로 같으므로

[eqn: {cases{3x ^{2} -10xy=8&` CDOTS CDOTS ㉠#2x ^{2} -5x=12&` CDOTS CDOTS ㉡}}]

㉡에서

[eqn: 2x ^{2} -5x-12=0]

[eqn: (2x+3)(x-4)=0]

[eqn: x]는 정수이므로 [eqn: x=4] [eqn: cdotscdots]㉢

㉠에 ㉢을 대입하면

[eqn: 48-40y=8`]이므로 [eqn: y=1]

따라서 [eqn: x+y=5]

10. [출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 이해하기

이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -2ax+9a`]이고

이차부등식 [eqn: f(x)<0`]에서

주어진 이차부등식을 만족시키는 해가 없으려면 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -2ax+9a`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 한 점에서 만나거나 만나지 않아야 한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2ax+9a=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 할 때, [eqn: {D} over {4} =a ^{2} -9a=a(a-9)le0`]이므로

[eqn: 0lea`le9`]

따라서 정수 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 10`]

11. [출제의도] 필요조건을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q``]라 할 때

[eqn: P= LEFT { x`|`x le-2RIGHT .] 또는 [eqn: x ge5 right}]

[eqn: Q=left{x `|`8-a<x<8+a right}]

[eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: Q SUBSET P]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: 5le8-a`]

즉 [eqn: 0<a le3`]

따라서 자연수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 3`]

[eqn: -2]

[eqn: 5]

[eqn: 8-a]

[eqn: 8+a]

[eqn: x]

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: P]

12. [출제의도] 연립부등식의 영역 이해하기

[eqn: LEFT ( x ^{2} -y RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +y-1 RIGHT )ge0]에서

[eqn: {cases{x ^{2} -y GEQ 0#x ^{2} +y-1ge0}} `] 또는 [eqn: {cases{x ^{2} -y le0#x ^{2} +y-1 LEQ 0}} `]

(ⅰ) [eqn: {cases{x ^{2} -y GEQ 0#x ^{2} +y-1ge0}} `]의 영역은

이차함수 [eqn: y=x ^{2} `]의 그래프의 아랫부분(경계선 포함)과 이차함수 [eqn: y=`-x ^{2} +1`]의 그래프의 윗부분(경계선 포함)의 공통부분으로

[그림 [eqn: 1]]의 어두운 부분이다.

(ⅱ) [eqn: {cases{x ^{2} -y le0#x ^{2} +y-1 LEQ 0}} `]의 영역은

이차함수 [eqn: y=x ^{2} `]의 그래프의 윗부분(경계선 포함)과 이차함수 [eqn: y=`-x ^{2} +1`]의 그래프의 아랫부분(경계선 포함)의 공통부분으로

[그림 [eqn: 2]]의 어두운 부분이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 영역은 [그림 [eqn: 3]]의 어두운 부분이다. (단, 경계선은 포함한다.)

[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]	[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]	[eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y]
[그림 [eqn: 1]]	[그림 [eqn: 2]]	[그림 [eqn: 3]]

13. [출제의도] 연립방정식 이해하기

[eqn: {cases{`x ^{2} +y ^{2} =40```````````````` CDOTS CDOTS ㉠#`4x ^{2} +y ^{2} =4xy```````` CDOTS CDOTS ㉡}}]

㉡에서 [eqn: (2x-y) ^{2} =0`]이므로 [eqn: y=2x]

㉠에 대입하면 [eqn: x ^{2} =8`]이므로

[eqn: {cases{x=2 sqrt {2}#y=4 sqrt {2}}}] 또는 [eqn: {cases{x=`-2 sqrt {2}#y=`-4 sqrt {2}}}]

따라서 [eqn: alphabeta=`16]

14. [출제의도] 직선의 기울기를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

점 [eqn: rm B]의 좌표를 [eqn: rm ( it ` alpha ,~0`)]이라 할 때

점 [eqn: rm A]가 이차함수의 그래프의 꼭짓점이므로

[eqn: 2= {0+ alpha } over {2} `],  즉 [eqn: alpha =4`]

삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이를 이등분하기 위해서는

직선 [eqn: y=mx]는 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 지나야 한다.

선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표는 [eqn: (`3,~-2`)]이므로

[eqn: -2=3m]

따라서 [eqn: m=`- {2} over {3}]

15. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: g(x)=0`]에서

[eqn: ax+2a ^{2}=a(x+2a)=0`]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: x=`-2a`]

따라서 점 [eqn: rmC`]의 좌표는 [eqn: (`-2a,~0`)]

[eqn: f(x)=g(x)`]에서

[eqn: x^{2}=ax+2a^{2}`]

[eqn: (x-2a)(x+a)=0`]

[eqn: x=-a`] 또는 [eqn: x=2a`]

점 [eqn: rmA`]는 제[eqn: 1`]사분면 위에 있으므로

점 [eqn: rmE]의 좌표는 [eqn: (`2a,~0`)]

삼각형 [eqn: rmCOD]와 삼각형 [eqn: rmCEA]의 닮음비는 [eqn: 1`:`2]

이므로 넓이의 비는 [eqn: 1`:`4]

즉 [eqn: S _{1} `:`S _{2} =1`:`3]이므로

[eqn: S _{2} =3S _{1}]

따라서 [eqn: k=3]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

[eqn: rmE]

[eqn: rmD]

[eqn: rmC]

16. [출제의도] 여러 가지 방정식의 실근을 가질 조건을 이용하여 추론하기

[eqn: x ^{3} +(8-a)x ^{2} +(a ^{2} -8a)x-a ^{3} =0]

[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +8x+a ^{2} RIGHT ) =0`]

서로 다른 세 실근을 갖기 위해서는

방정식 [eqn: x ^{2} +8x+a ^{2} =0`]은

서로 다른 두 실근을 가져야 하므로

판별식을 [eqn: D`]라 할 때

[eqn: {D} over {4} =16-a ^{2} >0]

따라서 [eqn: -4<a<4] [eqn: cdotscdots]㉠

또한 [eqn: x=a]는 [eqn: x ^{2} +8x+a ^{2} =0]의 근이

아니어야 하므로

[eqn: 2a ^{2} +8a != 0]

따라서 [eqn: a!=0]이고 [eqn: a != `-4] [eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에 의해 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 6]

17. [출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

퇴적물 입자 [eqn: A], [eqn: B]의 직경을 각각 [eqn: D_A], [eqn: D_B]라 할 때

[eqn: D_A :D_B =2:5]이므로 양수 [eqn: t]에 대하여

[eqn: D _{A} =2t], [eqn: D _{B} =5t]로 나타낼 수 있다.

[eqn: V _{A} `= LEFT ( {4c-c} over {18k} RIGHT ) TIMES g TIMES (2t) ^{2} ``]

[eqn: V _{B} `= LEFT ( {7c-c} over {18k} RIGHT ) TIMES g TIMES (5t) ^{2} `]

따라서 [eqn: {V _{A}} over {V _{B}} = {2} over {25} `]

18. [출제의도] 부등식 영역에서의 최대, 최소를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

꽃다발 [eqn: A], [eqn: B]의 개수를 각각 [eqn: x], [eqn: y]라 하면

점 [eqn: (`x,~y`)]는 네 부등식

[eqn: x GEQ 0], [eqn: y GEQ 0], [eqn: 5x+4y LEQ 310], [eqn: 3x+4y LEQ 250]

을 모두 만족시키는 영역에 있다.

판매 이익을 [eqn: k]라 하면

[eqn: 1000x+1200y=k] [eqn: cdotscdots]㉠이므로

두 직선

[eqn: 5x+4y=310], [eqn: 3x+4y=250]

이 만나는 점 [eqn: (`30,~40`)]을 직선 ㉠이 지날 때,

[eqn: k]는 최댓값을 가진다.

따라서 최대 판매 이익은

[eqn: 1000 TIMES 30+1200 TIMES 40=78000](원)

[eqn: (`30,~40`)]

[eqn: 5x+4y=310]

[eqn: 3x+4y=250]

[eqn: 1000x+1200y=k]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

19. [출제의도] 원과 직선의 위치관계를 이용하여 추론하기

직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y= sqrt {3} x]이고

직선 [eqn: m]의 방정식은 [eqn: y= {BOX{`- sqrt {3} `}} `x]이다.

원 위의 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점을 [eqn: rm P( it `a,~b`)`]라 하면 [eqn: a>0`], [eqn: b>0`]이고 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =r ^{2} `]이다.

점 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x`]축과 두 직선 [eqn: l], [eqn: m`]에 내린 수선의 발이 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]이므로

[eqn: {bar{rm PA it}} =b`]

[eqn: {bar{rm PB it}} = {LEFT | sqrt {3} a-b` RIGHT |} over {{BOX{~2~}}}]

[eqn: {bar{rm PC it}} = {LEFT | sqrt {3} a+b` RIGHT |} over {{BOX{~2~}}}]

따라서 [eqn: {bar{rmPA}}^{2}+{bar{rmPB}}^{2}+{bar{rmPC}}^{2}][eqn: = BOX{~{3}over{2}r^{2}~}`]

[eqn: s=- sqrt {3}], [eqn: t=2], [eqn: f(r)= {3} over {2} r ^{2}]

따라서 [eqn: f(s`timest)=f(-2 sqrt {3} )=18]

20. [출제의도] 두 직선이 수직일 조건을 이용하여 추론하기

ㄱ. 직선 [eqn: rmAP]의 기울기는 [eqn: {1-0} over {0-1} =`-1]이므로

직선 [eqn: l]의 기울기는 1이다. (참)

ㄴ. 직선 [eqn: rmAP`]의 기울기는 [eqn: - {1} over {t} ``]이므로

직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: t`]이다.

따라서 직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y=t(x-t)] [eqn: CDOTS]㉠

㉠에 점 [eqn: (`3,~2`)`]를 대입하여 정리하면

[eqn: t ^{2} -3t+2=0`]이므로

[eqn: t]의 값은 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]

따라서 직선 [eqn: l]의 개수는 2이다. (참)

ㄷ. 주어진 부등식에 ㉠을 대입하면

[eqn: t(x-t) LEQ ax ^{2}]

즉 [eqn: ax ^{2} -tx+t ^{2} ge0] [eqn: cdotscdots]㉡

㉡이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로

[eqn: a>0]이고

[eqn: ax ^{2} -tx+t ^{2} =0]의 판별식을 [eqn: D`]라 할 때

[eqn: D=t ^{2} -4at ^{2}][eqn: =t ^{2} (1-4a)le0]

[eqn: t ^{2} >0]이므로 [eqn: 1-4a le0] 즉 [eqn: a ge {1} over {4}]

따라서 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: {1} over {4}]이다. (참)

21. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선이 만나는 점을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가

일차함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프와

[eqn: x=alpha`]에서 접하므로

이차방정식 [eqn: f(x)-h(x)=0]은 [eqn: x=alpha]인 중근을 가진다.

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(x)-h(x)=(x- alpha ) ^{2} `]

따라서 [eqn: `f(x)=(x- alpha ) ^{2} +h(x)`]

같은 방법으로 [eqn: g(x)=4(x- beta ) ^{2} +h(x)`]

[eqn: beta =2 alpha]이고

두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]가

만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면

[eqn: f(t)=g(t)]이므로

[eqn: (t- alpha ) ^{2} +h(t)=4(t-2 alpha ) ^{2} +h(t)]

[eqn: 3t ^{2} -14 alpha t+15 alpha ^{2} =0]

[eqn: (3t-5 alpha )(t-3 alpha )=0]

이때 [eqn: alpha <t<2 alpha `]이므로 [eqn: t= {5} over {3} alpha `]

따라서 [eqn: {t} over {alpha } ={5} over {3}]

22. [출제의도] 명제의 참, 거짓 이해하기

명제가 참이기 위해서는

[eqn: x=a`]가 [eqn: x ^{2} -5x-14=0`]의 근이어야 하므로

[eqn: a ^{2} -5a-14=0]

[eqn: (a+2)(a-7)=0]

[eqn: a=`-2] 또는 [eqn: a=7]

[eqn: a]는 양수이므로 [eqn: a=7]

23. [출제의도] 이차방정식이 허근을 가질 조건 이해하기

주어진 방정식이 허근을 갖기 위해서는

판별식을 [eqn: D`]라 할 때

[eqn: D=a ^{2} -36<0`]이므로 [eqn: -6<a<`6`]

따라서 부등식을 만족시키는 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 11]

24. [출제의도] 나머지정리 이해하기

나머지정리에 의해

[eqn: f(-1)=1-a+b=2]

[eqn: f(1)=1+a+b=8]

이므로 두 식을 정리하면

[eqn: {cases{`-a+b=1```````````````````` CDOTS CDOTS ㉠#a+b=7`````````````````````````````` CDOTS CDOTS ㉡}}]

㉠과 ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=3], [eqn: b=4]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{2} +3x+4]이므로

[eqn: f(2)=4+6+4=14]

25. [출제의도] 근과 계수의 관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: f(x)=(x-alpha)(x-beta)]

[eqn: =x ^{2} -( alpha + beta )x+ alpha beta]

[eqn: =x ^{2} -6x+ alpha beta]

[eqn: =(x-3) ^{2} -9+ alpha beta]

따라서 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: (`3,`-9+ alpha beta `)]이다.

[eqn: y=f(x)]의 그래프의 꼭짓점이 직선 [eqn: y=2x-7`] 위에 있으므로

[eqn: -9+ alpha beta =`-1`]이고 [eqn: alpha beta =8]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{2} -6x+8`]이므로

[eqn: f(0)=8]

(별해)

이차함수의 그래프는 축에 대하여 대칭이고 [eqn: {alpha + beta } over {2} =3`]이므로 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 3`]

이차함수의 그래프의 꼭짓점이 직선 [eqn: y=2x-7] 위에 있으므로 꼭짓점의 좌표는 [eqn: (3,`-1)`]

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이므로 [eqn: f(x)=(x-3) ^{2} -1`]

따라서 [eqn: f(0)=8]

26. [출제의도] 원과 직선 사이의 거리를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

원점에서의 거리가 최대인 직선 [eqn: l`]은 원점과 점 [eqn: (`3,~4`)]를 연결한 직선과 수직으로 만나야 한다.

점 [eqn: (`3,~4`)]를 지나는 직선의 방정식을

[eqn: y=a(x-3)+4`]라 할 때

원점과 점 [eqn: (`3,~4`)]를 연결한 직선의 기울기는 [eqn: {4} over {3}]

이므로 [eqn: a=`- {3} over {4}]

따라서 직선 [eqn: l]의 방정식을 정리하면

[eqn: 3x+4y-25=0]

원의 중심 [eqn: (`7,~5`)]와 직선 [eqn: l] 사이의 거리는

[eqn: {|`21+20-25`|} over {sqrt {9+16}}][eqn: = {16} over {5}]

이고 원의 반지름의 길이가 [eqn: 1]이므로

원 위의 점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: l] 사이의 거리의 최솟값은

[eqn: m= {16} over {5} -1= {11} over {5}]

따라서 [eqn: 10m=22]

27. [출제의도] 집합의 연산법칙을 이용하여 집합의 원소의 합 추론하기

[eqn: S(`A SMALLINTER B`)=8]

[eqn: A ^{C} SMALLINTER B ^{C} =(`A CUP B`) ^{C} `]이므로

[eqn: A CUP B= LEFT { `2,~3,~4,~5,~6,~8` RIGHT }]이고

[eqn: S`(`A CUP B`)=28]

[eqn: S(`A`)+S(`B`)=S(`A CUP B`)+S(`A SMALLINTER B`)=36]

이때 [eqn: S(`A`)+S`(`B`)={3}over{2}S(A)`]이므로

[eqn: S`(A)=24`]

(참고)

[eqn: A= LEFT { `2,~3,~5,~6,~8` RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `3,~4,~5` RIGHT }]

28. [출제의도] 선분을 내분하는 점의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: {bar{rm AO it}} =2 sqrt {5} `], [eqn: {bar{rm BO it}} =3 sqrt {5} `]이므로

각의 이등분선의 성질에 의해

[eqn: {bar{rm AC it}} : {bar{rm BC it}} = {bar{rm AO it}} : {bar{rm BO it}} =2:3`]

[eqn: 3 {bar{rm AC it}} =2 {bar{rm BC it}}]

[eqn: 3 sqrt {(a+2) ^{2} +(b-4) ^{2}} =2 sqrt {(a-3) ^{2} +(b+6) ^{2}}]

[eqn: 5a^2 +60a+5b^2 -120b=0]

[eqn: (a+6)^{2}+(b-12)^{2}=180`]

즉 점 [eqn: rm C( it `a,~b`)`]는 원 [eqn: (x+6)^{2}+(y-12)^{2}=180`]

위의 점이다. (단, 점 [eqn: rm C(it`a,~b`)]는 직선 [eqn: rmAB] 위에 있지 않다.)

직선 [eqn: rmAB]는 [eqn: y=`-2x`]이므로

원의 중심 [eqn: (`-6,~12`)`]가 직선 [eqn: rmAB] 위에 있다.

따라서 점 [eqn: rmC`]와 직선 [eqn: rmAB`] 사이의 거리의 최댓값은 원 [eqn: (x+6) ^{2} +(y-12) ^{2} =180`]의

반지름의 길이와 같으므로

[eqn: m ^{2} =180]

29. [출제의도] 이차함수의 최댓값을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: rmD]

[eqn: rm F]

[eqn: rm E]

[eqn: rm G]

[eqn: rm H]

[eqn: rm J]

[eqn: rm I]

두 변 [eqn: rm JG], [eqn: rm JI]의 길이를 각각 [eqn: x`]([eqn: rmm]), [eqn: y`]([eqn: rmm])라 할 때 삼각형 [eqn: rm DJI]와 삼각형 [eqn: rm DEF]는 닮음이므로

[eqn: (4-x)`:`4=y`:`6]

[eqn: 4y=6(4-x)]

[eqn: y=6- {3} over {2} x]

오벨리스크의 부피는

[eqn: {1} over {3} TIMES 10 TIMES x TIMES y]

[eqn: =20x-5x ^{2} `]

[eqn: =`-5(x-2) ^{2} +20`] ([eqn: 0<x<4])

[eqn: x=2]일 때 최대 부피는 [eqn: 20`]([eqn: rmm ^{3}])

따라서 [eqn: V=20]

30. [출제의도] 두 점 사이의 거리의 최솟값을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmB]

[eqn: rm F _{1}]

[eqn: rmF_2]

[eqn: rmA]

[eqn: rmF]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: rmC]

[eqn: rm B(`0,~0`)], [eqn: rm C(`4,~0`)]이 되도록

좌표평면 위에 삼각형 [eqn: rmABC]를 나타내고

제1사분면 위의 점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: LEFT ( ` alpha ,~ beta ` RIGHT )]라 할 때

[eqn: {bar{rm AB it rm }} ^{2} =alpha ^{2} +beta ^{2} =18]

[eqn: {bar{rm AC it rm }} ^{2} =(alpha-4) ^{2} +beta ^{2} =10]

이므로 [eqn: rm A(`3,~3`)]

직선 [eqn: rmAC]의 방정식은 [eqn: y=`-3x+12]

점 [eqn: rm F]의 좌표를 [eqn: LEFT ( `a,~b` RIGHT )]라 할 때 [eqn: b=`-3a+12]

직선 [eqn: rmAB]의 방정식은 [eqn: y=x]이므로

점 [eqn: rmF]를 직선 [eqn: rm AB]와 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 [eqn: rm F _{1} `], [eqn: rmF_2]라 하면

[eqn: rmF _{1}][eqn: (`b,~a`)], [eqn: rm F _{2}][eqn: (`a,~-b`)`]이다.

이때 [eqn: {bar{rm DF it}} = {bar{rmDF _{1}}}], [eqn: {bar{rm EF it}} = {bar{rm EF _{2} it}}]이므로

삼각형 [eqn: rmDEF]의 둘레의 길이는

[eqn: {bar{rm DF _{1} it}} + {bar{rm DE it}} + {bar{rm EF _{2} it}}]의 값과 같다.

[eqn: {bar{rm DF _{1} it}} + {bar{rm DE it}} + {bar{rm EF _{2} it}} GEQ bar{rmF _{1} F _{2} }]

[eqn: {bar{rm F _{1} F _{2} it}} `= sqrt {(a-b) ^{2} +(-b-a) ^{2}}]

[eqn: `= sqrt {2a ^{2} +2b ^{2}}]

[eqn: `= sqrt {2a ^{2} +2(-3a+12) ^{2}}]

[eqn: `= sqrt {LEFT . 20 LEFT ( a- {18} over {5} RIGHT ) ^{2} + RIGHT . {144} over {5}}] ([eqn: `3<a<4`])

삼각형 [eqn: rm DEF]의 둘레의 길이의 최솟값은 [eqn: {12} over {5} sqrt {5} `]

따라서 [eqn: p+q=17]