[eqn: 4 ^{{1} over {2}} TIMES log` _{2} `8]의 값은? [2점]

2013학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(B형)

제 2 교시

수학 영역(B형)

수학 영역(B형)

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`1&``````-1`#`0&````````````1}}], [eqn: B```= {pmatrix{`2&``````0`#`1&``````2`}}]에 대하여 행렬 [eqn: A+2B`]의
모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: f(x) =3x^2 -x]에 대하여  [eqn: lim_{x`->`1} {f(x) -f(1)} over {x-1}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

지수방정식 [eqn: 16^x `-`6times 4^x `+`8 `=`0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta`]라 할 때,
[eqn: {alpha +beta`}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3over 2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 5 over 2]	⑤ [eqn: 3]

12

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때,
[eqn: lim _{x` -> `1+0} {} f(x) + lim _{x` -> `1-0} {} f(-x)]의 값은? [3점]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: sin theta + cos theta = root 2over 3]일 때, [eqn: cos ^{2} `LEFT ( theta + {pi } over {4} RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 4 over 9]	② [eqn: 5 over 9]	③ [eqn: 2 over 3]

④ [eqn: 7 over 9]	⑤ [eqn: 8 over 9]

그림은 어느 공원의 입구에서 출발하여 자전거 대여소와
반납 장소를 거쳐 출구에 도착하는 경로를 나타낸 것이고,
구간별 거리는 표와 같다.

구간			거리 ([eqn: rm km])
입구	→	자전거 대여소	[eqn: 1]
자전거 대여소	→	반납 장소	[eqn: 8]
반납 장소	→	출구	[eqn: 2]

공원의 입구에서 자전거 대여소까지 속력 [eqn: v]로 걸은 후,
자전거 대여소에서 반납 장소까지 속력 [eqn: 4v]로 자전거를 타고 이동하고, 반납 장소에서 출구까지 속력 [eqn: v+1]로 걸으려고 한다.
공원의 입구에서 출발하여 출구에 도착할 때까지 걸리는 총 시간이
[eqn: 1]시간 [eqn: 30]분 이하가 되도록 할 때, 속력 [eqn: v]의 최솟값은?
(단, 자전거를 대여하고 반납하는 데 걸리는 시간은 무시하고, 속력의 단위는 [eqn: rm km]/시이다.) [3점]

① [eqn: 5 over 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 7 over 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 9 over 2]

꼭짓점의 좌표가 [eqn: (`0,``-4)]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가
그림과 같다.

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -4]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +x = sqrt {f LEFT ( x RIGHT ) +x} `+2]의 서로 다른 실근의 개수는?
[3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k`a _{k} ``=`n ^{2} `(n`+`1)]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {a _{n}} over {n}]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 7 over 2]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 9 over 2]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 양수 [eqn: k]에 대하여 점 [eqn: rm A(`it k`,``0)]을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 두 곡선 [eqn: y= 2^{`x}], [eqn: y= 4^x]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm B], [eqn: rm C]라 하자.
점 [eqn: rm C]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2^{`x}]과 만나는 점을 [eqn: rm D]라 하자. 삼각형 [eqn: rm BDC]의 넓이가 삼각형 [eqn: rm`OAB]의 넓이의 [eqn: 3]배일 때, 삼각형 [eqn: rm BDC]의 넓이는? (단, 점 [eqn: rm O]는 원점이다.) [3점]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: y=2^{`x}]

[eqn: y=4^x]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

추진제를 연소하여 가스가 분사됨에 따라 로켓의 질량은 감소하고, 로켓의 속력은 증가한다.
질량이 [eqn: m _{0}] ([eqn: rm t o n]), 속력이 [eqn: v _{0}] ([eqn: rmkm/]초)인 로켓이 비행하는 동안
질량이 [eqn: m] ([eqn: rm t o n]), 속력이 [eqn: v] ([eqn: rmkm/]초)로 변할 때, 다음 식이 성립한다고 한다.

[eqn: v=k alpha `log` LEFT ( {m _{0}} over {m} RIGHT ) `+v _{0}]

(단, [eqn: k]는 상수, [eqn: alpha]는 로켓에서 본 분사 가스의 속력을 나타내는
상수이고 단위는 [eqn: rm km/]초이다.)
질량이 [eqn: 200] ([eqn: rm t o n]), 속력이 [eqn: 2] ([eqn: rmkm/]초)인 로켓이 비행하는 동안
질량이 [eqn: 160] ([eqn: rm t o n]), 속력이 [eqn: 2.5] ([eqn: rmkm/]초)로 변하였고,
이후 질량이 [eqn: a] ([eqn: rm t o n]), 속력이 [eqn: 3] ([eqn: rmkm/]초)으로 변하였다.
이때, [eqn: a]의 값은? (단, 로켓은 직선 궤도를 따라 비행하고 로켓에는 가스 분사로 인한 힘만 작용한다.) [3점]

① [eqn: 122]	② [eqn: 125]	③ [eqn: 128]

④ [eqn: 131]	⑤ [eqn: 134]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( na _{n} - {2n ^{2}} over {n+1} RIGHT )` =`2],  [eqn: lim _{n `->` INF } {LEFT ( 3a _{n} -5b _{n} RIGHT ) `=`3}]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` ->` INF } {{2`a _{n} +5`b _{n}} over {a _{n} +10`b _{n}}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 5 over 8]	② [eqn: 7 over 8]	③ [eqn: 9 over 8]
④ [eqn: 11 over 8]	⑤ [eqn: 13 over 8]

[13~14] 함수 [eqn: { f(x)=log` _{2} `(x+3) }]에 대하여 13번과 14번의
두 물음에 답하시오.

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프와
직선 [eqn: y=n]이 만나는 점을 [eqn: rm A_{it n}]이라 하자.

점 [eqn: rm A_{it n}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값은? [3점]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: a_n]

[eqn: y]

[eqn: n]

[eqn: y=`f(x)]

[eqn: rm `A _{it`n}]

① [eqn: 2010]	② [eqn: 2012]	③ [eqn: 2014]

④ [eqn: 2016]	⑤ [eqn: 2018]

함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: lim _{x` -> `0} {} {f(x-2)} over {g(x)+2}]의 값은?

[4점]

① [eqn: (ln2)^2]	② [eqn: ln2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 1 over ln2]	⑤ [eqn: 1 over {(ln2)^2}]

그림과 같이 [eqn: rm bar {A_1 B_1} =1], [eqn: rm bar {A_1 D_1} =2]인 직사각형 [eqn: rm `{A_1 B_1 C_1 D_1]에 대하여
선분 [eqn: rm {A_1 D_1}]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하자.
선분 [eqn: rm {A_1 D_1}]을 지름으로 하는 반원과 선분 [eqn: rm {A_1 M]과 선분 [eqn: rm MD_1]을
각각 지름으로 하는 두 반원을 그려서 얻은  모양의 도형의
둘레의 길이를 [eqn: l_1]이라 하자.
선분 [eqn: rm MB_1]과 선분 [eqn: rm MC_1]이 선분 [eqn: rm {A_1 D_1}]을 지름으로 하는 반원과
만나는 점을 각각 [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2]라 하고, 점 [eqn: rm B_2]와 점 [eqn: rm C_2]에서 선분 [eqn: rm {A_1 D_1}]에
내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A_2], [eqn: rm D_2]라 하자. 선분 [eqn: rm {A_2 D_2}]를 지름으로
하는 반원과 선분 [eqn: rm {A_2 M}]과 선분 [eqn: rm MD_2]를 각각 지름으로 하는
두 반원을 그려서 새로 얻은  모양의 도형의 둘레의 길이를
[eqn: l_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은  모양의 도형의
둘레의 길이를 [eqn: l_n]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n}]의 값은? [4점]

[eqn: rm A_1]

[eqn: rm B_1]

[eqn: rm C_1]

[eqn: rm D_1]

[eqn: rm A_2]

[eqn: rm B_2]

[eqn: rm C_2]

[eqn: rm D_2]

[eqn: rm M]

① [eqn: (1+root 2 )pi]	② [eqn: (2+root 2 )pi]	③ [eqn: (3+2root 2 )pi]	④ [eqn: (4 +2root 2 ) pi]	⑤ [eqn: (5 +3root 2 ) pi]

두 함수

[eqn: f(x) = |`x`|],  [eqn: g(x)= {cases{```2`x+1 _{{} _{{} _{}}}&~~(x GEQ 0) _{{} _{{} _{}}}#`-x-1 ^{{} ^{{} ^{}}}&~~(x<0`) ^{{} ^{{} ^{}}}}}]

에 대하여 [eqn: x=0]에서 미분가능한 함수만을 <보기>에서 있는
대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: xf(x)] ㄴ. [eqn: f(x) g(x)] ㄷ. [eqn: LEFT | `f(x)-g(x)` RIGHT |]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rmA LEFT ( `-1,``0 RIGHT )]을 지나는 직선이 제[eqn: 1]사분면에서 원과 만나는 점을 [eqn: rmP], 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축과
만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.
삼각형 [eqn: rm POQ]의 넓이가 [eqn: {3} over {8}]일 때, [eqn: rm angle PAO = theta]이다.
[eqn: tan theta]의 값은? (단, 점 [eqn: rm`O]는 원점이다.) [4점]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: rm Q]

[eqn: theta]

[eqn: rm P]

[eqn: rm A]

[eqn: -1]

[eqn: rm1]

① [eqn: 2over 9]	② [eqn: root 3 over 6]	③ [eqn: 1 over 3]

④ [eqn: root 6 over 6]	⑤ [eqn: 4 over 9]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]이

[eqn: a_10 =8 a_4 `],  [eqn: a _{3} +a _{7} =10]

을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} {a` _{n+1} -a` _{n}} over {left (`a` _{n} +1 right ) left(`a` _{n+1} +1 right )}]의 값은? [4점]

① [eqn: {31} over {66}]	② [eqn: {17} over {33}]	③ [eqn: {37} over {66}]

④ [eqn: {20} over {33}]	⑤ [eqn: 43 over 66]

함수

[eqn: f(`x`)= lim _{n`-> ` INF } {{`□`x`□` ^{n} +2□`x`□+1`} over {□`x`□` ^{n} `+`1}}]

에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: f` left( 1 over 2 right)`=2] ㄴ. [eqn: lim_{x`->`1-0} f(x) =3] ㄷ. 함수 [eqn: {(x^2 -1)`f`(`x`)}]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =1]이고,

[eqn: n LEFT ( n+2 RIGHT ) `a _{n+1} ` ^{2} = sum _{k=1} ^{n} `a _{k} ` ^{2}] [eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정의 일부이다.

[eqn: a _{n} ` ^{2} =b _{n}], [eqn: sum _{k=1} ^{n} `a _{k} ` ^{2} =S _{`n}]이라 하면

[eqn: b _{1} =1], [eqn: n LEFT ( n+2 RIGHT ) b _{n+1} =S _{n}]

[eqn: b _{n} =S _{n} -S _{n-1}][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]이고, [eqn: b _{1} =1], [eqn: b _{2} = {1} over {3}]이므로
모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b _{n+1} = BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) _{`} ^{{} ^{`}} ~~} `` TIMES b _{n}] [eqn: CDOTS CDOTS LEFT ( ＊ RIGHT )]

[eqn: LEFT ( ＊ RIGHT )]의 [eqn: n]에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots`], [eqn: n-1]을 차례로 대입하여 얻어진

[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT )]개의 등식을 변끼리 곱하여 정리하면
[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: b _{n} = BOX{~~(나) _{`} ^{{} ^{`}} ~~} `]

[eqn: VDOTS]

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], [eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: {f LEFT ( 11 RIGHT )} over {g LEFT ( 12 RIGHT )}]의 값은? [4점]

① [eqn: 66]	② [eqn: 67]	③ [eqn: 68]

④ [eqn: 69]	⑤ [eqn: 70]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]가

[eqn: AB``+B``=A], [eqn: ABA``-A ^{2} =E` _{{} _{`}}]

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: AB``=BA] ㄴ. [eqn: A ^{3} `+B ^{`3} `=E] ㄷ. [eqn: LEFT ( B+E` RIGHT ) ^{30} =`-3 ^{15} E]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

[eqn: x], [eqn: y`]에 대한 연립일차방정식

[eqn: {pmatrix{`4&`````k-9`#`k-5&`````-1`}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{`0`#`0`}}]

이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 갖도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오.
[3점]

수열 [eqn: left{ a_n right}]의 일반항이 [eqn: a_n =2n^2 +n]일 때, 수열 [eqn: left{ a_n right}]의
계차수열을 [eqn: left{ b_n right}]이라 하자. [eqn: sum_{n`=`1}^10 b_n]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 0 le x le 2pi`]일 때, 삼각방정식

[eqn: cos `x +cos `2x =0]

을 만족시키는 모든 해의 합은 [eqn: a` pi]이다. [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

분수방정식

[eqn: {x ^{2}} over {x-1} - {6x} over {x+2} `= {x ^{2} +8x-24} over {x ^{2} +x-2}]

의 모든 실근의 곱을 구하시오. [3점]

삼차함수 [eqn: f`(`x`)]가

[eqn: f`(`0`)=`-3],  [eqn: f`(`1`)= f`(`2`)=f`(`3`)=3]

을 만족시킬 때, [eqn: f` prime (`4`)]의 값을 구하시오. [4점]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: log ``n]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 하자. 두 집합 [eqn: A], [eqn: B`]를

[eqn: A=`left{`n``|`` f(3n)`=f(n)`+1,] [eqn: n]은 [eqn: 50] 이하의 자연수[eqn: `right }]

[eqn: B=`left{`g(n)``|``n in A `right}]

라 할 때, 집합 [eqn: B`]의 원소의 개수를 구하시오. [4점]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]이고 길이가 [eqn: 8]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로
하는 반원 위에 점 [eqn: rmP]가 있다. 점 [eqn: rmA]를 지나고 직선 [eqn: rmOP]에 수직인 직선이 반원과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.
[eqn: rm angle PAO = theta] ([eqn: pi over 4 < theta < pi over 2])일 때, 삼각형 [eqn: rmAOQ]의 넓이를
[eqn: S(theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta ` -> ` {pi } over {4} +0} {``} {S( theta )} over {theta - {pi } over {4}}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rm O]

[eqn: rm 8]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm theta]

[eqn: x]에 대한 연립부등식

[eqn: {cases{ (x-n)(x-2n)(x-3n) GEQ 0 _{{} _{{} _{}}}#{x-20} over {x} LEQ 0 ^{{} ^{{} ^{}}}}}]

을 만족시키는 자연수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 10]이 되도록 하는
모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오. [4점]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(` it 12n+1,``0)], [eqn: rm `B( ` 0,``it 5n)]을 지름의 양 끝으로 하는 원이 있다. 원점 [eqn: rm O]와 원 위의 점 [eqn: rm P]에
대하여 삼각형 [eqn: rm OAP]의 넓이의 최댓값을 [eqn: S`(n)]이라 할 때,
[eqn: lim_{n`->`inf} {S`(n)} over n^2 `]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rm P]는 [eqn: x]축 위의 점이 아니다.)
[4점]

※ 확인사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.