수학 영역(가형)

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수학 영역(가형)

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2016학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

5지선다형

1. 두 다항식 [eqn: A=3x ^{2} -x+5`], [eqn: B=x ^{2} -2x-3`]에 대하여 [eqn: A-B``]를 간단히 하면? [2점]

12

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① [eqn: x ^{2} -3x+8`]	② [eqn: x ^{2} -x+2`]	③ [eqn: 2x ^{2} -3x+2`]	④ [eqn: 2x ^{2} -x+2`]	⑤ [eqn: 2x ^{2} +x+8`]

2. [eqn: LEFT ( 2-3i RIGHT ) +i LEFT ( -1+4i RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [2점]

① [eqn: -4-2i]	② [eqn: -2-4i]	③ [eqn: -2+4i]

④ [eqn: 2-4i]	⑤ [eqn: 2+4i]

3. [eqn: log` _{6} `3+log` _{6} 12]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

4. 두 함수 [eqn: f(x)=2x+1`], [eqn: g(x)=3x-1`]에 대하여 [eqn: (`f CIRC g)(1)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

5. 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2x+4=0`]의 두 근을 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]라 할 때, [eqn: alpha ^{2} `+ beta ^{``2} `]의 값은? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -4`]	⑤ [eqn: -5]

6. 공차가 [eqn: 3`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{4} =14`]일 때, [eqn: a _{10} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 32]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 34]	④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 36]

7. [eqn: 0 LEQ x LEQ 3`]에서 정의된 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=x ^{2} -4x+a`]의 최댓값이 [eqn: 12`]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

8. 유리함수 [eqn: f(x)= {ax+1} over {x+b} `]의 그래프의 점근선의 방정식이

[eqn: x=2`], [eqn: y=3`]일 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: {13} over {2}]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: {15} over {2}]	⑤ [eqn: 8]

9. 다항식 [eqn: 2x ^{3} -3x ^{2} -12x-7`]을 인수분해하면 [eqn: (x+a) ^{2} (bx+c)`]일 때, [eqn: a+b+c`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

10. 좌표평면에서 원 [eqn: (x+1) ^{2}+(y+2)^2 =9 `]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼 평행이동한 원을 [eqn: C``]라 하자.

원 [eqn: C``]의 넓이가 직선 [eqn: 3x+4y-7=0`]에 의하여 이등분되도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {5} over {4}]	④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: {9} over {4}]

11. 전체집합 [eqn: U= LEFT { `x` LEFT | `x`는~10~이하의~자연수` RIGHT } RIGHT .]의 두 부분집합

[eqn: A= LEFT { `x`left|`x`는~6`의~약수` RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,```3,```5,```7 RIGHT } RIGHT .]

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: 5` NOTIN `A SMALLINTER B``] ㄴ. [eqn: n` LEFT ( `B-A` RIGHT ) =2`] ㄷ. [eqn: U`]의 부분집합 중 집합 [eqn: A CUP B``]와 서로소인 집합의 개수는 [eqn: 16`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 좌표평면에서 연립부등식

[eqn: {cases{``x ^{2} +y ^{2} ` LEQ 4 _{` _{`}} `&#``y GEQ it- sqrt {3} x` ^{` ^{}} ` _{` _{}}&{} _{` _{` _{}}}#``y GEQ sqrt {3} x-2 sqrt {3}&{} ^{`} ` ^{` ^{` ^{` ^{`}}}}}}]

이 나타내는 영역의 넓이는? [3점]

① [eqn: {2} over {3} pi + sqrt {3}]	② [eqn: {2} over {3} pi +2 sqrt {3}]	③ [eqn: pi + sqrt {3}]

④ [eqn: {4} over {3} pi+ sqrt {3}]	⑤ [eqn: {4} over {3} pi +2 sqrt {3}]

[13 ~ 14] 자연수 [eqn: {bold{n}}`]에 대하여 좌표평면에서 점 [eqn: {bold{rm A` LEFT ( `0`,```2` RIGHT ) it}} `]를 지나는 직선과 점 [eqn: {bold{rm B` LEFT ( ` it n`,```2` RIGHT )}} `]를 지나는 직선이 서로 수직으로 만나는 점을 [eqn: rm boldP`]라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13. 점 [eqn: rmP`]의 좌표가 [eqn: LEFT ( 4,```4 RIGHT ) `]일 때, 삼각형 [eqn: rmABP`]의 무게중심의 좌표를 [eqn: (a,```b)`]라 하자. [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: {17} over {3}]	③ [eqn: {19} over {3}]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: {23} over {3}]

14. 점 [eqn: rmP`]가 나타내는 도형의 넓이를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{n} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 51pi]	② [eqn: 53` pi]	③ [eqn: 55` pi]	④ [eqn: 57` pi]	⑤ [eqn: 59` pi]

15. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =log``n]

을 만족시킨다. [eqn: 10 ^{`a _{n}} =1.04]일 때, [eqn: n]의 값은? [4점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26]	④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

16. 세 조건 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: r`]의 진리집합을 각각

[eqn: P= LEFT { `3 RIGHT }], [eqn: Q= LEFT { `a ^{2} -1,````b` RIGHT }], [eqn: R= LEFT { `a,````ab` RIGHT }]

라 하자. [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이고, [eqn: r`]는 [eqn: p`]이기 위한 필요조건일 때, [eqn: a+b`]의 최솟값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 실수이다.)

[4점]

① [eqn: - {3} over {2}]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - {5} over {2}]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: - {7} over {2}]

17. 약물을 투여한 후 약물의 흡수율을 [eqn: K``], 배설률을 [eqn: E`], 약물의 혈중농도가 최고치에 도달하는 시간을 [eqn: T``](시간)라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: T=c` TIMES {`log`K-log`E} over {`K-E}] (단, [eqn: c`]는 양의 상수이다.)

흡수율이 같은 두 약물 [eqn: A`], [eqn: B`]의 배설률은 각각 흡수율의 [eqn: {1} over {2}]배, [eqn: {1} over {4}]배이다. 약물 [eqn: A`]를 투여한 후 약물 [eqn: A`]의 혈중농도가 최고치에 도달하는 시간이 [eqn: 3`]시간일 때, 약물 [eqn: B`]를 투여한 후 약물 [eqn: B`]의 혈중농도가 최고치에 도달하는 시간은 [eqn: a`](시간)이다. [eqn: a`]의 값은?

[4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

18. 그림과 같이 유리함수 [eqn: y= {k} over {x} `][eqn: (k>0)`]의 그래프가

직선 [eqn: y= it -x+6`]과 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]에서 만난다.

삼각형 [eqn: rm OPQ`]의 넓이가 [eqn: 14`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

(단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 32 over 9]	② [eqn: 34 over 9]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 38 over 9]	⑤ [eqn: {40} over {9}]

19. 모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = {a _{n} ` ^{2} +1} over {2a _{n}}]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n} `]이

[eqn: a _{n} = sqrt {n} - sqrt {n-1}]  …… (*)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,

[eqn: a _{1} = {a _{1} ` ^{2} +1} over {2a _{1}} `]에서 [eqn: a _{1} >0`]이므로 [eqn: (좌변)=a _{1} =1],
[eqn: (우변)=1-0=1]
이다. 따라서 [eqn: n=1`]일 때 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때 (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: a _{m} = sqrt {m} - sqrt {m-1} `]이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} a _{k} +a _{m+1}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( sqrt {k} - sqrt {k-1} ` RIGHT ) +a _{m+1}]
[eqn: = {BOX{~ ^{`} (가) _{`} ~}} `+a _{m+1}]
이다. 이때
[eqn: {a _{m+1} ` ^{2} +1} over {2a _{m+1}}][eqn: =`` {BOX{~ ^{`} (가) _{`} ~}} `+a _{m+1}]
즉,

[eqn: a _{m+1} ` ^{2} + {BOX{~ ^{`} (나) _{`} ~}} `` TIMES `a _{m+1} -1=0`]
이고, [eqn: a _{m+1} >0`]이므로
[eqn: a _{m+1} = sqrt {m+1} - sqrt {m}]

이다. 따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n} = sqrt {n} - sqrt {n-1} `]이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: f(49)+g(16)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

20. 두 집합

[eqn: LEFT . A`= LEFT { LEFT ( x,```y RIGHT ) RIGHT . LEFT | ` RIGHT . y LEQ 2-x ^{2} ` RIGHT } `]

[eqn: LEFT . B`= LEFT { LEFT ( x,```y RIGHT ) RIGHT . LEFT | ` RIGHT . a LEQ x LEQ y LEQ a+1` RIGHT } `]

에 대하여 [eqn: A SMALLINTER B`=B`]를 만족시키는 실수 [eqn: a`]의 최솟값은? [4점]

① [eqn: {-2-3 sqrt {5}} over {2}]	② [eqn: { - 1-3 root5 } over 2]	③ [eqn: { -1 -2 root5 } over 2]

④ [eqn: { -2- root5 } over 2]	⑤ [eqn: { -1 - root5 } over 2]

21. 좌표평면에 두 점 [eqn: rm A it ` LEFT ( 1,```-1 RIGHT )], [eqn: rm B it `(4,```3)`]이 있다. 반지름의 길이가 [eqn: 1`]이고 선분 [eqn: rmAB`]와 만나는 원의 중심을 [eqn: rmP`]라 할 때, 선분 [eqn: rmOP`]의 길이의 최댓값은 [eqn: M``], 최솟값은 [eqn: m`]이다. [eqn: M`+m`]의 값은? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: {61} over {10} `]	② [eqn: {31} over {5} `]	③ [eqn: {63} over {10} `]	④ [eqn: {32} over {5} `]	⑤ [eqn: {13} over {2}]

단답형

22. 다항식 [eqn: x ^{2} -x+4`]를 [eqn: x-3`]으로 나눈 나머지를 구하시오. [3점]

23. 무리함수 [eqn: y= sqrt {ax+b} `]의 역함수의 그래프가 두 점 [eqn: (2,```0)], [eqn: (5,```7)`]을 지날 때, [eqn: a +b`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

24. 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) it=8`]이고 부등식 [eqn: f(x) le 0`]의 해가 [eqn: -3 LEQ x LEQ 0`]일 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: 9 ^{a} =8`]일 때, [eqn: {3 ^{`a} -3 ^{-a}} over {3 ^{`a} +3 ^{-a}} `]의 값을 [eqn: {q} over {p} `]라 하자.  [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[3점]

26. 어느 학교 학생 [eqn: 200]명을 대상으로 두 체험 활동 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 신청한 학생 수를 조사하였더니 체험 활동 [eqn: rm A`]를 신청한 학생은 체험 활동 [eqn: rm B`]를 신청한 학생보다 [eqn: 20]명이 많았고, 어느 체험 활동도 신청하지 않은 학생은 하나 이상의 체험 활동을 신청한 학생보다 [eqn: 100]명이 적었다. 체험 활동 [eqn: rmA`]만 신청한 학생 수의 최댓값을 구하시오. [4점]

27. 그림과 같이 좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A(2,```0)`], [eqn: rm B(1,```2)`]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점을 각각 [eqn: rm C`], [eqn: rm D`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm OAB] 및 그 내부와 삼각형 [eqn: rm ODC] 및 그 내부의 공통부분의 넓이를 [eqn: S``]라 할 때, [eqn: 60S``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

[4점]

28. 두 함수 [eqn: f(x) =k(x-1)`], [eqn: g(x) = 2x^2 -3x+1`]에 대하여 함수

[eqn: h(x)= {cases{```f(x)```~`(``f(x) GEQ g(x)`) _{` _{`}}#```g(x)```~`(``f(x)<`g(x)`) ^{` ^{}}}}]

가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [4점]

(가) 세 수 [eqn: h(2)], [eqn: h(3)], [eqn: h(4)]는 이 순서대로 등차수열을
이룬다.

(나) 세 수 [eqn: h(3)], [eqn: h(4)], [eqn: h(5)]는 이 순서대로 등비수열을
이룬다.

29. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면에서 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 네 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표는 모두 자연수이다.

(나) 네 꼭짓점은 모두 부등식

[eqn: {y-10} over {4} LEQ x LEQ n]

이 나타내는 영역에 포함된다.

서로 다른 정사각형의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: a _{2} +a _{6} `]의 값을 구하시오. [4점]

30. [eqn: x`]에 대한 삼차방정식 [eqn: ax ^{3} +2bx ^{2} +4bx+8a=0``]이 서로 다른 세 정수를 근으로 갖는다. 두 정수 [eqn: a`], [eqn: b`]가 [eqn: LEFT | a RIGHT | LEQ 50`], [eqn: LEFT | b RIGHT | LEQ 50`]일 때, 순서쌍 [eqn: (a,```b)`]의 개수를 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.