[eqn: 4^{ 1over2} times 8^{ 1over3}]의 값은? [2점]

2015학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(A형)

제 2 교시

수학 영역(A형)

수학 영역(A형)

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`2&`````2`#`0&`````1`}}], [eqn: B= {pmatrix{`1&`````0`#`2&`````1`}}]에 대하여 행렬 [eqn: A+2B`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

[eqn: lim _{n`->` INF } {{2 TIMES 6 ^{n+1} +3 } over {6 ^{n}}}]의 값은? [2점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의
성분 중 [eqn: 1]의 개수는? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

12

[eqn: log _{`5}` 27 times `log _{`3}` 5]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 좌표평면에서 함수 [eqn: y= a times 2^x]의 그래프가
두 점 [eqn: (`0,``4)], [eqn: (`b,``16)]을 지날 때, [eqn: a+b]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_3 =6], [eqn: a _{4} +a _{6} = 20]일 때, [eqn: a_7]의 값은?
[3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {3n+1 } over {n} RIGHT )]이 수렴할 때,
[eqn: lim _{n`->` INF }` {{a _{n}}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{n} =2n - 3]일 때, [eqn: sum _{k=2} ^{m} a _{k+1} =48]을 만족시키는
[eqn: m]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: S`]의 값은? [3점]

시작

[eqn: n`` larrow ``0]

[eqn: S``` larrow ``0]

[eqn: n`` larrow ``n+1]

[eqn: S`` larrow ``S``+(11-n)]

[eqn: ```S`]를 인쇄

[eqn: ```n=6`?]

끝

아니요

예

① [eqn: 41]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 43]

④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 45]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: lim _{x `->` -1-0} {f LEFT ( x RIGHT ) `=a}]일 때, [eqn: lim _{x`->` a+0} {f LEFT ( x+3 RIGHT )}]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]([eqn: a<b])가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: log` {b} over {a}]의 값은?
[3점]

(가) [eqn: ab=10 ^{2}]

(나) [eqn: log`a times log`b `= -3]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[13 ~ 14] 좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 직선 [eqn: y= sqrt {n} x]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm P _{it n rm}]이라 하자.
[eqn: 13]번과 [eqn: 14]번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: y= x^2]

[eqn: y= sqrt n x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: rmP_ { it n}]

점 [eqn: rmP _{4}]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )]라 할 때, [eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립일차방정식

[eqn: {pmatrix{``k&`````a`#``b`&`````k-2`}} ` LEFT ( ` pile{x#y} ` RIGHT ) `= LEFT ( ` pile{0#0} ` RIGHT )]

이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱은?                                                                                  [3점]

① [eqn: -14]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -10]	④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -6]

점 [eqn: rmP _{itn}]을 지나고 직선 [eqn: y= sqrt n x]와 수직인 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmQ _{itn}`], [eqn: rmR _{itn}]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm OQ _{it n rm} R _{it n rm}]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{5} {2 S _{n}} over {sqrt {n}}]의 값은? (단, [eqn: rm O]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 80]	② [eqn: 85]	③ [eqn: 90]	④ [eqn: 95]	⑤ [eqn: 100]

지수부등식 [eqn: left(2^x -32 right) left( 1over3^x - 27 right)` > 0]을 만족시키는 모든 정수
[eqn: x]의 개수는? [4점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

어떤 앰프에 스피커를 접속 케이블로 연결하여 작동시키면
접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스(스피커에 교류전류가
흐를 때 생기는 저항)에 따라 전송 손실이 생긴다.
접속 케이블의 저항을 [eqn: R], 스피커의 임피던스를 [eqn: r], 전송 손실을 [eqn: L]이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: L = 10` log `LEFT ( 1+{ 2R } over { r } RIGHT )]

(단, 전송 손실의 단위는 [eqn: rm dB], 접속 케이블의 저항과 스피커의
임피던스의 단위는 [eqn: Ω]이다.)
이 앰프에 임피던스가 [eqn: 8]인 스피커를 저항이 [eqn: 5]인 접속 케이블로
연결하여 작동시켰을 때의 전송 손실은 저항이 [eqn: a]인 접속 케이블로 교체하여 작동시켰을 때의 전송 손실의 [eqn: 2]배이다. 양수 [eqn: a]의 값은?
[4점]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]라 할 때,

[eqn: 2S _{n} =3a _{n} -4n+3] ([eqn: n GEQ 1])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

[eqn: 2S _{n} =3a _{n} -4n+3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

에서 [eqn: n=1]일 때, [eqn: 2S _{1} =3a _{1} -1`]이므로 [eqn: a _{1} =1]이다.

[eqn: 2S _{n+1} =3a _{n+1} -4(n+1)+3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉡]에서 [eqn: ㉠]을 뺀 식으로부터

[eqn: a _{n+1} = 3a _{n} +`][eqn: ` {BOX{~~~(가) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}} ~~~}}]

이다. 수열 [eqn: LEFT { a_n +2 RIGHT }]가 등비수열이므로
일반항 [eqn: a _{n}]을 구하면

[eqn: a _{n}=`][eqn: ` {BOX{~~~(나) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}} ~~~}}] ([eqn: n GEQ 1])

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때,
[eqn: p+f(5)]의 값은? [4점]

① [eqn: 225]	② [eqn: 230]	③ [eqn: 235]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 245]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=-x ^{2} +6]과 직선 [eqn: y=x]가 제[eqn: 1]사분면에서
만나는 점을 [eqn: rm A]라 하고, 점 [eqn: rm A]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm B]라 하자. 직선 [eqn: y=x] 위의 점 [eqn: rm P(` it a,``a)]에서 선분 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q]라 하고, 점 [eqn: rm P]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선
[eqn: y=-x ^{2} +6]과 만나는 점을 [eqn: rm R]라 할 때, [eqn: lim _{a `->` 2-0} {{bar{rm PQ}} over {bar{rm PR}}}]의 값은?
(단, [eqn: 0<a<2]) [4점]

[eqn: y= -x^2 +6]

[eqn: y=x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rmP]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

① [eqn: 2 over 15]	② [eqn: 1 over 5]	③ [eqn: 4 over 15]

④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: 2 over 5]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]가

[eqn: AB + E = A^2], [eqn: AB^3 - BA^3 =6E]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: A]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: AB=BA] ㄷ. [eqn: A^2 + B^2 = 4E]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n]에 대하여 그림과 같이 두 점 [eqn: rmA_ {itn} LEFT ( `itn,``0 RIGHT )], [eqn: rm B _{itn} it LEFT ( `0,``itn+1 RIGHT )]이 있다. 삼각형 [eqn: rm OA_{ it n}B _{itn}]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: rmC _{itn}]이라 하고, 두 점 [eqn: rmB_{it n}]과 [eqn: rmC _{itn}]을 지나는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm P _{itn}]이라 하자.
[eqn: lim _{n `->` INF } { bar {rm OP_{it n }} over n]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmA_{it n}]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: rmO]

[eqn: rm C _{itn}]

[eqn: rm P _{itn}]

① [eqn: { sqrt2 -1} over { 2}]	② [eqn: sqrt 2 -1]	③ [eqn: 2 - sqrt 2]

④ [eqn: { sqrt 2} over {2 }]	⑤ [eqn: { 2sqrt 2 -2}]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 모양의 종이 [eqn: rm ABCD]에서 각 변의 중점을 각각 [eqn: rm A_1], [eqn: rm B_1], [eqn: rm C_1], [eqn: rm D_1]이라 하고 [eqn: bar { rm A_1 B_1}], [eqn: bar { rm B_1 C_1}], [eqn: bar { rm C_1 D_1}], [eqn: bar { rm D_1 A_1}]을 접는 선으로 하여 네 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]가 한 점에서 만나도록 접은 모양을 [eqn: S _{1}]이라 하자.
[eqn: S_1]에서 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 각 변의 중점을 각각 [eqn: rm A_2], [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2], [eqn: rm D_2]라 하고 [eqn: bar { rm A_2 B_2}], [eqn: bar { rm B_2 C_2}], [eqn: bar { rm C_2 D_2}], [eqn: bar { rm D_2 A_2}]를 접는 선으로 하여 네 점 [eqn: rm A_1], [eqn: rm B_1], [eqn: rm C_1], [eqn: rm D_1]이 한 점에서 만나도록 접은 모양을 [eqn: S _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 모양을 [eqn: S_n]이라 하고,
[eqn: S_n]을 정사각형 모양의 종이 [eqn: rm ABCD]와 같도록 펼쳤을 때 접힌 모든
선들의 길이의 합을 [eqn: l_n]이라 하자. 예를 들어, [eqn: l_1 = 4 sqrt 2]이다.
[eqn: l_5]의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA_1]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rmA_1]

[eqn: rmC_1]

[eqn: rmD_1]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rmB_2]

[eqn: rmC_2]

[eqn: rmD_2]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rmC_1]

[eqn: rmD_1]

[eqn: rmA_2]

[eqn: rmB_2]

[eqn: rmC_2]

[eqn: rmD_2]

[eqn: S _{1}]

[eqn: S _{2}]

⇩

[eqn: S _{1}]을 펼친 그림

[eqn: S _{2}]를 펼친 그림

⇩

① [eqn: 24 + 28 sqrt 2]	② [eqn: 28 + 28 sqrt 2]	③ [eqn: 28 + 32 sqrt 2]	④ [eqn: 32 + 32 sqrt 2]	⑤ [eqn: 36 + 32 sqrt 2]

단 답 형

[eqn: lim _{ x`->`4 } { {(x-4)(x+6)} over x-4}]의 값을 구하시오. [3점]

행렬 [eqn: A=pmatrix { `1``&-3` # `0``&```````1` }]에 대하여 행렬 [eqn: left( A^-1 right)^2]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

지수방정식 [eqn: 4^x + 2^x+3 -128 = 0]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을
구하시오. [3점]

함수 [eqn: y=log`x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동시킨 그래프가 두 점 [eqn: (`4,``b)], [eqn: (`13,``11)]을 지날 때,
상수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: left { a_n right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a_1 = 36]

(나) [eqn: a _{n+1} -a _{n} =2n-14] ([eqn: n ge1])

[eqn: a_n = 6]일 때, 모든 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오. [4점]

자연수 [eqn: n]에 대하여 그림과 같이 세 곡선 [eqn: y=log _{`2} `x`+1],
[eqn: y=log _{`2} `x], [eqn: y=log _{`2} ` LEFT ( x-4 ^{n} RIGHT )]이 직선 [eqn: y=n]과 만나는 세 점을
각각 [eqn: rmA _{itn}`], [eqn: rm B _{it n rm}`], [eqn: rm C _{it n rm}]이라 하자. 두 삼각형 [eqn: rmA _{itn}O B _{itn}`], [eqn: rm B _{it n rm}O C _{it n rm}]의 넓이를
각각 [eqn: S _{n}`], [eqn: T _{n}]이라 할 때, [eqn: {T _{n}} over {S _{n}} =64]를 만족시키는 [eqn: n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O]는 원점이다.) [4점]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A_ { it n}]

[eqn: x]

[eqn: y= log`_2`x +1]

[eqn: rm B_ { it n}]

[eqn: rm C_ { it n}]

[eqn: y= log`_2`x]

[eqn: y= log`_2` LEFT ( x-4^n RIGHT )]

[eqn: y=n]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =2]

(나) [eqn: a_n]은 [eqn: a _{n-2}]와 [eqn: a _{n-1`}]의 합을 [eqn: 4]로 나눈 나머지 ([eqn: n ge 3])

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} = 166]일 때, [eqn: m]의 값을 구하시오. [4점]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )` = {cases{``x^2 +1 _{{} _{{} _{}}}&````` LEFT ( LEFT | x RIGHT |le2 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}#`-2x+3 ^{{} ^{{} ^{}}}&````` LEFT ( LEFT | x RIGHT |>`2 RIGHT ) ^{{} ^{{} ^{}}}}}]

에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +k RIGHT }]가 [eqn: x=2]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: x ge1]일 때, [eqn: log`x]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 하자.
좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y=LEFT { {f(x)+1} RIGHT } {g(x)}]의
그래프와 직선 [eqn: y= n]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표 중 가장 작은 값을
[eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1 } ^{ 10} LEFT ( log`_`a_n `+ 1 over n+1 RIGHT )]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.