수학 영역

고 1

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2015학년도 6월 고1 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시              수학 영역

5지 선다형(1 ~ 21)

1. 두 다항식 [eqn: A=2x ^{2} +3xy`], [eqn: B=x ^{2} -2xy`]에 대하여 [eqn: A+B`]는?

[2점]

① [eqn: x ^{2} -2xy`]	② [eqn: x ^{2} +3xy`]	③ [eqn: 2x ^{2} +xy`]

④ [eqn: 3x ^{2} +xy`]	⑤ [eqn: 3x ^{2} +2xy`]

2. [eqn: (2-i)+(3+2i)`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [2점]

① [eqn: 1+i`]	② [eqn: 1-i`]	③ [eqn: 3+i`]	④ [eqn: 3-i`]	⑤ [eqn: 5+i`]

3. 다항식 [eqn: x ^{2} -2x+5`]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 나머지는? [2점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

4. 부등식 [eqn: x ^{2} -7x+12 LEQ 0`]의 해가 [eqn: a LEQ x LEQ b`]일 때, [eqn: b-a`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

5. 다음은 다항식 [eqn: 3x ^{3} -2x ^{2} +3x+7`]을 [eqn: x ^{2} -x+2`]로 나누는 과정이다.

		[eqn: ax```+`1]
[eqn: x ^{2} -x+2]	[eqn: )]		[eqn: 3x ^{3} -2x ^{2} +3x+7]
			[eqn: 3x ^{3} -3x ^{2} +6x]
			[eqn: x ^{2} -3x+7]
			[eqn: x ^{2} -````x+2]
				[eqn: -2x+b]

[eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 10]

6. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식

[eqn: 6x-5=a(x-1)+bx`]

가 성립할 때, 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 곱 [eqn: ab`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

7. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식

[eqn: x ^{2} +6x+a GEQ 0`]

이 성립하도록 하는 상수 [eqn: a`]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

8. 이차함수 [eqn: y=`-x ^{2} +4x`]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+k`]가 적어도 한 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

9. 삼차방정식

[eqn: x ^{3} -2x ^{2} +3x-2=0`]

의 두 허근을 [eqn: alpha`], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } `]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

10. 어느 영화동아리 소속 학생 [eqn: 10`]명이 세 편의 영화 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C``] 중에서 한 편씩을 관람하였다. 이 중에서 영화 [eqn: A`]를 관람한 학생의 수는 영화 [eqn: C``]를 관람한 학생의 수보다 [eqn: 3`]명이 많았고, 영화 [eqn: B`]를 관람한 학생의 수는 영화 [eqn: C``]를 관람한 학생의 수보다 [eqn: 1`]명이 많았다. 이때, 영화 [eqn: C`]를 관람한 학생의 수는?
(단, 학생들은 빠짐없이 영화를 관람하였다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

11. 다항식 [eqn: x ^{4} +4x ^{2} +16`]이 [eqn: (x ^{2} +ax+b)(x ^{2} -cx+d)`]로 인수분해
될 때, [eqn: a+b+c+d`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]는 양수이다.) [3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

12. [eqn: 3 LEQ x LEQ 5`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식

[eqn: x ^{2} -4x-4k+3 LEQ 0`]

이 항상 성립하도록 하는 상수 [eqn: k`]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[13~14] 그림과 같이 점 [eqn: bold{rm A it `(a`,```b)`}]를 지나고 꼭짓점이 점 [eqn: bold{rm B` it (0,``-b)`}]인 이차함수 [eqn: bold{y=f(x)`}]의 그래프와 원점을 지나는 직선 [eqn: bold{y=g(x)`}]가 점 [eqn: bold{rm A` it}]에서 만난다. (단, [eqn: bold{a`}], [eqn: bold{b`}]는 양수이고, [eqn: bold{rm O}`]는 원점이다.)

13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: rm A]

[eqn: rmO]

[eqn: rm B]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y]

[eqn: x]

13. [eqn: a+b=5`]이고 삼각형 [eqn: rm `OAB`]의 넓이가 [eqn: {5} over {2} `]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]	④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 23]

14. [eqn: b=2`]이고 [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f(x)=g(x)`]의 두 근의 차가 [eqn: 6`]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=0`]의 두 근의 곱은? [4점]

① [eqn: -12]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -8]	④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -4]

15. 연립부등식

[eqn: 0 LEQ -x ^{2} +5x<-x+9`]

를 만족시키는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

16. 단면의 반지름의 길이가 [eqn: R`]이고 길이가 [eqn: l`]인 원기둥 모양의 혈관이 있다. 단면의 중심에서 혈관의 벽면 방향으로 [eqn: r`]만큼 떨어진 지점에서의 혈액의 속력을 [eqn: v`]라 하면, 다음 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: v= {P} over {4`eta`l} (R ^{2} -r ^{2} )`]

(단, [eqn: P`]는 혈관 양끝의 압력차, [eqn: eta`]는 혈액의 점도이고 속력의 단위는 [eqn: rm cm/초`], 길이의 단위는 [eqn: rm cm`]이다.)

[eqn: R`], [eqn: l`], [eqn: P``], [eqn: eta`]가 모두 일정할 때, 단면의 중심에서 혈관의 벽면 방향으로 [eqn: {R} over {3} `], [eqn: {R} over {2} `]만큼씩 떨어진 두 지점에서의 혈액의 속력을 각각 [eqn: v _{1} `], [eqn: v _{2} `]라 하자. [eqn: {v _{1}} over {v _{2}} `]의 값은? [4점]

① [eqn: {28} over {27}]	② [eqn: {10} over {9}]	③ [eqn: {32} over {27}]	④ [eqn: {34} over {27}]	⑤ [eqn: {4} over {3}]

17. 이차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: x`]에 대한 방정식

[eqn: f(x)+x-1=0`]

의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]라 하자. [eqn: alpha+beta=1`], [eqn: alpha beta =`-3`]이고 [eqn: f(1)=`-6`]
일 때, [eqn: f(3)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

18. 다음은 이차함수 [eqn: y=x^2`]의 그래프 위의 세 점 [eqn: rmP(-1,```1)`], [eqn: rmA(ita,```a ^{2} )`], [eqn: rm B LEFT ( it {a-1} over {2} ,``` LEFT ( {a-1} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT ) `]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm PAB`]의 넓이를 구하는 과정이다. (단, [eqn: a>1`]이다.)

점 [eqn: rmB`]를 지나고 [eqn: y`]축과 평행한 직선이 직선 [eqn: rm PA`]와 만나는 점을 [eqn: rmM`], [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm N`]이라 하자.

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: rmP]

[eqn: rmA]

[eqn: rmM]

[eqn: rmB]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmR]

[eqn: rmN]

[eqn: y]

두 점 [eqn: rm Q LEFT ( -1,```0 RIGHT ) `], [eqn: rm R LEFT ( it a,```0 RIGHT ) `]에 대하여 사각형 [eqn: rm PARQ`]는 사다리꼴이다. 두 점 [eqn: rmM]과 [eqn: rm N]은 각각 두 선분  [eqn: rm PA`], [eqn: rm QR`]의 중점이므로

[eqn: rm bar{MN} =` {1} over {2} TIMES LEFT ( ` bar{PQ} + bar{AR} RIGHT ) `=`][eqn: BOX{````````(가) _{`} ^{`}^{`} ````````} `]

이다.  또한

[eqn: rm bar{MB} =` bar{MN} - bar{BN} `=][eqn: BOX{````````(가) _{`} ^{` ^{`}} ````````} `][eqn: - LEFT ( {a-1} over {2} RIGHT ) ^{2} `][eqn: = BOX{````````(나) _{`} ^{`}^{`} ````````} `]

이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm PAB`]의 넓이를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S`` & =2 TIMES TRIANGLE rm MAB# & = rm 2 TIMES {1} over {2} TIMES bar{MB} ` TIMES bar{NR}# & = {(a+1) ^{3}} over {``BOX{````````(다) _{`} ^{` ^{`}} ````````}`` `} `]

이다.

위의 과정에서 [eqn: (가)`], [eqn: (나)`]에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(a)], [eqn: g(a)]라 하고 [eqn: (다)`]에 알맞은 수를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: f(3)+g(5)+k``]의 값은?

[4점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

19. 두 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -7`]과 [eqn: g(x)=`-2x ^{2} +5`]가 있다.

그림과 같이 네 점 [eqn: rm A` it (a,```f(a))`], [eqn: rm B` it (a,```g(a))`], [eqn: rm C` it (-a,```g(-a))`], [eqn: rm D` it (-a,```f(-a))`]를 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: rm ABCD`]의 둘레의 길이가 최대가 되도록 하는 [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: 0<a<2`]이다.)

[4점]

① [eqn: {1} over {3} `]	② [eqn: {2} over {3} `]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: {4} over {3} `]	⑤ [eqn: {5} over {3} `]

[eqn: f(x)=x ^{2} -7]

[eqn: g(x)=-2x ^{2} +5]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm O]

20. 이차함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(1)=0`]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x) GEQ f(3)`]이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f(5)=0] ㄴ. [eqn: f(2)<f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) <f(6)`] ㄷ. [eqn: f(0)=k`]라 할 때, [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f(x)=kx`]의 두 실근의 합은 [eqn: 11`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. [eqn: ANGLE rm C=90 DEG]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 그림과 같이 점 [eqn: rmD`]는 꼭짓점 [eqn: rm C`]에서 선분 [eqn: rm AB`]에 내린 수선의 발이고 [eqn: rm bar{CD} =1`]이다. 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 둘레의 길이가 [eqn: 5`]일 때, 선분 [eqn: rm AB`]의 길이는?                                                          [4점]

[eqn: rm B]

[eqn: rmC]

[eqn: rmA]

[eqn: rm D]

[eqn: 1]

① [eqn: {7} over {4} `]	② [eqn: {23} over {12} `]	③ [eqn: {25} over {12} `]	④ [eqn: {9} over {4} `]	⑤ [eqn: {29} over {12} `]

단답형(22 ~ 30)

22. 방정식 [eqn: x ^{2} -6x+3=0`]의 두 근의 합을 구하시오. [3점]

23. 부등식 [eqn: LEFT | x-1 RIGHT | LEQ 5`]를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수를 구하시오.

[3점]

24. 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +4c ^{2} =44`], [eqn: ab+2bc+2ca=28`]

일 때, [eqn: (a+b+2c) ^{2} `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 연립부등식

[eqn: {cases{``2x-1 GEQ 7 _{{} _{{} _{{} _{}}}}&#`(x-3)(x-7) LEQ 0&}}]

을 만족시키는 실수 [eqn: x`]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M`timesm`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 등식

[eqn: (a-bi) ^{2} =8i`]

를 만족시키는 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 20a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>0`]이고 [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [4점]

27. 등식

[eqn: (i+i ^{2} )+(i ^{2} +i ^{3} )+(i ^{3} +i ^{4} )+` CDOTS `+(i ^{18} +i ^{19} )=a+bi``]

를 만족시키는 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 4(a+b) ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [4점]

28. 정삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 두 변 [eqn: rm AB`]와 [eqn: rm AC`]의 중점을 각각 [eqn: rm M`], [eqn: rmN`] 이라 하자. 그림과 같이 점 [eqn: rm P`]는 반직선 [eqn: rm MN`]이 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 외접원과 만나는 점이고 [eqn: rm bar{NP} =1`]이다. [eqn: rm bar{MN} = it x`]라 할 때, [eqn: 10 LEFT ( x ^{2} + {1} over {x ^{2}} RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rm P]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rm C]

[eqn: rm N]

[eqn: rm M]

[eqn: x]

[eqn: 1]

29. 삼차다항식 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(1)=2`]

(나) [eqn: f(x)`]를 [eqn: (x-1) ^{2} `]으로 나눈 몫과 나머지가 같다.

[eqn: f(x)`]를 [eqn: (x-1) ^{3} `]으로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)`]라 하자.

[eqn: R(0)=R(3)`]일 때, [eqn: R(5)`]의 값을 구하시오. [4점]

30. 그림과 같이 밑면의 두 변의 길이가 각각 [eqn: a`(a>5)`]와 [eqn: 4`]이고 높이가 [eqn: 4`]인 직육면체 [eqn: rm ABCD-EFGH`]에서 선분 [eqn: rm DE`]와 [eqn: rm CF`]위에 각각 [eqn: rm bar{DP} = bar{FQ} = sqrt {2} `]인 점 [eqn: rm P`]와 [eqn: rm Q`]를 잡는다. 점 [eqn: rm P`]에서 직육면체의 겉면을 따라 점 [eqn: rm Q`]에 도달하는 최단거리가 [eqn: 2 sqrt {34} `]일 때, [eqn: 30a`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm G]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm H]

[eqn: a]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: sqrt {2}]

[eqn: sqrt {2}]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.