• 수학 영역 •

로그인/회원가입이 필요 없는 입시 자료 사이트

레전드스터디 닷컴!  http://LegendStudy.com

2017학년도 대학수학능력시험 대비

2016학년도 10월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설

수학 나형 정답

1	②	2	④	3	③	4	②	5	①
6	⑤	7	③	8	①	9	④	10	④
11	①	12	⑤	13	③	14	②	15	③
16	⑤	17	②	18	②	19	⑤	20	④
21	①	22	[eqn: 13]	23	[eqn: 32]	24	[eqn: 9]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 42]	27	[eqn: 18]	28	[eqn: 450]	29	[eqn: 19]	30	[eqn: 396]

해 설

1. [출제의도] 로그를 계산하여 값을 구한다.

[eqn: log _{`6} {`4} + log _{`6} {`9} `][eqn: = log _{`6} {`(4 TIMES 9) }][eqn: = log _{`6} {`6^2 } = 2 {` log _{`6} {`6} } = 2]

2. [출제의도] 차집합의 원소의 합을 계산한다.

[eqn: B`-A= LEFT { 3,~5 RIGHT } `]이므로

모든 원소의 합은 [eqn: 3+5 = 8]

3. [출제의도] 지수를 계산하여 값을 구한다.

[eqn: (a`b) ^{`6} `][eqn: =( sqrt {2} TIMES root {3} of {3} ) ^{6} = LEFT ( `2 ^{` {1} over {2}} TIMES 3 ^{{1} over {3}} ` RIGHT ) ^{6} `]
[eqn: = 2^{`3} times 3^{`2} =` 8 times 9 = 72`]

4. [출제의도] 순열과 조합을 계산하여 값을 구한다.

[eqn: {}_{`n}` rmP _{2} - {}_{`7}` rmC _{`2}=][eqn: n(n-1)`-` {7 TIMES 6} over {2 TIMES 1} `=`21]

정리하면 [eqn: n ^{`2} `-`n`-`42`=`(n-7)(n+6)`=`0`]

[eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: n`=`7]

5. [출제의도] 도함수의 성질을 이해하여 속도를 구한다.

위치 [eqn: x = t^{`3} -6t^{`2} + 5`]이므로

속도 [eqn: v = dx over dt = 3t^{`2} - 12t`]이고

가속도 [eqn: a = dv over dt = 6t -12`]이다.

가속도가 [eqn: 0`]이 되는 순간은 [eqn: t=2`]이고

이때의 속도는 [eqn: v=12-24`=`-12`]

6. [출제의도] 여사건의 성질을 이해하여 확률을 구한다.

한 개의 동전을 [eqn: 4`]번 던질 때 앞면이 적어도 한 번 나오는 사건은, 한 개의 동전을 [eqn: 4`]번 던질 때 뒷면이 [eqn: 4`]번 나오는 사건의 여사건이다.

따라서 구하는 확률은 [eqn: 1`-` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} =1- {1} over {16} = {15} over {16} `]

7. [출제의도] 역함수를 이해하여 함숫값을 구한다.

[eqn: f( 2x+1) = 4x+7`]이므로 역함수
[eqn: f^{`-1} (4x+7) = 2x +1`]이다.

따라서 [eqn: x=1`]일 때, [eqn: f^{`-1} (11) = 3`]

8. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하여 극한값을 구한다.

[eqn: {1+ a_{`n} }over a_{`n }= 1 over a_{`n} +1 = n^{`2} + 2`]

[eqn: 1over a_{`n }= n^{`2} + 1`]이므로
[eqn: a_{`n} = 1 over{n^{`2} + 1} `]

[eqn: lim _{n` rarrow INF } `{ n^{`2} a_{`n} } = lim _{n` rarrow INF } `{ n^{`2} over {n^{`2} + 1} } = lim _{n` rarrow INF } `{ 1 over {1 + {1over n^{`2} }} } = 1 over {1+0} = 1`]

9. [출제의도] 독립사건을 이해하여 확률을 구한다.

두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]가 서로 독립이므로
[eqn: rm P( it A SMALLINTER B`)][eqn: = rm P( it A`)` rm P( it B`)][eqn: = {1} over {2} rm `P( it B`)= {3} over {16}]

[eqn: rm P( it B`)= {3} over {8}]이므로 [eqn: rm P( it B ^{C} `)= {5} over {8}]

10. [출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 참, 거짓을 추론한다.

[eqn: f(x)=` {x} over {1-x} `=` - {1} over {x-1} `-1`]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)`]의 정의역은 [eqn: 1`]이 아닌 모든 실수이고 치역은 [eqn: -1`]이 아닌 모든 실수이다. (거짓)

ㄴ. 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 [eqn: y`=`- {1} over {x}`]의 그래프를 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: 1`], [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한 그래프이다. (참)

ㄷ. 그림과 같이 제[eqn: 2`]사분면을 지나지 않는다. (참)

11. [출제의도] 정규분포를 이해하여 확률을 구한다.

[eqn: 1`]인당 수하물 무게를 확률변수 [eqn: X `]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rm { N}`(15`,``4 ^{`2} )`]을 따른다. 이때, 크기가 [eqn: 16`]인 표본의 표본평균 [eqn: bar{X``}`]는 정규분포 [eqn: rm { N}`(15`,``1 ^{`2} )`]을 따른다.

[eqn: rm P LEFT ( it {bar{X``}} ` GEQ 17 RIGHT ) `][eqn: = rm P LEFT ( it Z` GEQ {17-15} over {1} RIGHT ) `][eqn: = rm P( it {Z} ` GEQ 2)`]
[eqn: = 0.5 - rm P( it 0 le{Z} ` le 2)`]
[eqn: = 0.5- 0.4772 `][eqn: = 0.0228`]

12. [출제의도] 조건부확률을 이해하여 확률을 구한다.

[eqn: rm A], [eqn: rm B`]가 주문한 것이 서로 다른 사건을 [eqn: X``],
[eqn: rm A], [eqn: rm B`]가 주문한 것이 모두 아이스크림인 사건을 [eqn: Y``]라 하자.

[eqn: rm P( it X``)= {{}_{5} rm C _{1} ` TIMES ` _{4} C _{1} it} over {{}_{5} rm C _{1} ` TIMES ` _{5} C _{1} it} `=` {4} over {5}]

[eqn: rm P( it X` SMALLINTER Y``)= {{}_{2} rm C _{1} TIMES _{1} C _{1} it} over {{}_{5} rm C _{1} TIMES _{5} C _{1} it} = {2} over {25}]

구하는 확률 [eqn: rm P( it Y```|`X``)`]는

[eqn: rm P( it Y``|`X`)= {rm P( it X SMALLINTER Y`)} over {rm P( it X`)} `][eqn: rm = {{2} over {25}} over {{4} over {5}} = {1} over {10}]

13. [출제의도] 수열의 규칙성을 추측하여 수열의 합을 구한다.

[eqn: a _{`1} = {1} over {5}`], [eqn: a _{`2} =`2a _{`1} =` {2} over {5}`],
[eqn: a _{`3} =`2a _{`2} } = `{4} over {5}`], [eqn: a _{`4} =`2a _{`3} =` {8} over {5}`],
[eqn: a _{`5} =`a _{`4} -1= {3} over {5}`], [eqn: a _{`6} =`2a _{`5} =` {6} over {5}`],

[eqn: a _{`7} =`a _{`6} -1= {1} over {5}`], [eqn: cdots `]

이므로 [eqn: a _{`n} =`a _{`n+6} `][eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT ) `]이 성립한다.

[eqn: 20=3times6+2`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{20} a _{`n}`][eqn: =3 TIMES LEFT ( {1} over {5} + {2} over {5} + {4} over {5} + {8} over {5} + {3} over {5} + {6} over {5} RIGHT ) +left( {1} over {5} + {2} over {5} right)`]

[eqn: =3 TIMES {24} over {5} + {3} over {5} `][eqn: =15]

14. [출제의도] 함수의 연속의 성질을 이해하여 미정계수를 구한다.

함수 [eqn: f(x)`g(x)`]가 [eqn: x=2`]에서 연속이 되기 위해서는

[eqn: `lim_{x -> 2 }` `f(x)`g(x) = f(2)` g(2) `]이어야 한다.

[eqn: lim _{x -> 2-} {} f(x)`g(x)][eqn: = lim _{x -> 2-} {} LEFT { (-x ^{`2} +a) TIMES (x-4) RIGHT } `]
[eqn: = (-4+a)times(-2)`][eqn: =8-2a `]

[eqn: lim_{x ->2+} f(x)`g(x) `][eqn: = lim_{x ->2+} left{ (x^{`2}-4) times 1 over x-2 right} `]
[eqn: = lim_{x ->2+} ( x+2) = 4`]

[eqn: f(2)`g(2) = (-4+a)times (-2)=8-2a `]

이므로 [eqn: 8-2a=4], [eqn: a=2]

15. [출제의도] 내분하는 점을 구하여 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다.

선분 [eqn: rmOA]를  [eqn: 2 ^{`n} `:`1`]로 내분하는 점 [eqn: rm P_{it n}`]의 좌표는

[eqn: LEFT ( ` {2 ^{`n}} over {2 ^{`n} +1} ,~0` RIGHT )`]이므로 [eqn: l _{`n} `=` {2 ^{`n}} over {2 ^{`n} +1} `]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {l _{`n}} `][eqn: = sum _{n=1} ^{10} ` {2 ^{`n} +1} over {2 ^{`n}} `][eqn: =` sum _{n=1} ^{10} LEFT { 1+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`n} RIGHT } `]
[eqn: = sum _{n=1} ^{10} 1+` sum _{n=1} ^{10} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`n} `][eqn: =`10+ {{1} over {2} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`10} RIGHT }} over {1- {1} over {2}} ``]
[eqn: =`10+ LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`10} RIGHT } `=`11- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`10} `]

16. [출제의도] 확률분포를 이해하여 기댓값을 구하는 문제를 해결한다.

확률의 합이 [eqn: 1`]이므로

[eqn: {1} over {k} LEFT ( rm ` _{4`} rm C _{1} +` _{4`} rm C _{2} `+ _{4`} rm C _{3} + _{4`} rm C _{4} `RIGHT ) `=`1]

이항정리에 의해

[eqn: k= rm ` _{4`} rm C _{1} +` _{4`} rm C _{2} `+ _{4`} rm C _{3} + _{4`} rm C _{4} `=2 ^{`4} -1=15`]

[eqn: rm E` LEFT ( it X`` RIGHT ) `][eqn: = {1} over {15} LEFT ( rm `2 TIMES ` _{4`} rm C _{1} +`2 ^{`2} TIMES ` _{4`} rm C _{2} +`2 ^{`3} TIMES ` _{4`} rm C _{3} +`2 ^{`4} TIMES ` _{4`} rm C _{4`} `RIGHT )`]

[eqn: = {1} over {15} LEFT ( 3 ^{`4} -1 RIGHT )`][eqn: = {1} over {15} TIMES `80`][eqn: = {16} over {3}]

[eqn: rm E` LEFT ( it 3X+1 RIGHT ) `][eqn: rm =`3E` LEFT ( it X`` RIGHT ) +1`]
[eqn: rm =16+1`][eqn: =`17]

17. [출제의도] 모비율의 신뢰구간을 이해하여 실생활과 관련된 문제를 해결한다.

표본비율 [eqn: hat p `][eqn: = 80 over 100`][eqn: = 4 over 5`]이고 표본의 크기는 [eqn: 100`]이므로 출근 소요 시간이 [eqn: 60`]분 이상 [eqn: 120`]분 미만인 직원의 비율 [eqn: p`]에 대한 신뢰도 [eqn: 95`]%의 신뢰구간은

[eqn: 4 over 5 `- 1.96 times root{ { 4 over 5 times 1 over 5}over 100} le p le 4 over 5 `+ 1.96 times root{ { 4 over 5 times 1 over 5}over 100} `]

[eqn: 5000(b-a)`][eqn: = 5000 times 2 times 1.96 times root{ { 4 over 5 times 1 over 5}over 100}]
[eqn: = 5000 times 2 times 1.96 times 4 over 100 `]
[eqn: = 784`]

18. [출제의도] 미분계수와 접선의 기울기의 관계를 이해하여 식과 값을 추론한다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{`2} -2x+2`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=`-x ^{`2} +ax+b`]라 하고,

두 곡선 [eqn: C _{`1}`], [eqn: C _{`2} `]의 한 교점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: t`]라 하자.

두 접선 [eqn: l`], [eqn: m`]이 서로 수직이므로

[eqn: f ` prime LEFT ( t RIGHT )` g ` prime LEFT ( t RIGHT ) `=`-1`]에서

[eqn: 4`t ^{`2} -2 LEFT ( a+2 RIGHT ) t+ {BOX{`2a-1`}}` =0] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `=`g LEFT ( t RIGHT ) `]에서

[eqn: 2`t ^{`2} - LEFT ( a+2 RIGHT ) t+2-b=0`] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: b= {BOX{` {5} over {2} `}} `-a`]를 [eqn: y`=`-x ^{`2} +ax+b`]에 대입하고 [eqn: a`]에 관하여 정리하면,

[eqn: a LEFT ( x-1 RIGHT ) -x ^{2} -y+ {BOX{` {5} over {2} `}} `= 0`] [eqn: CDOTS CDOTS `]㉢

㉢에서 [eqn: x-1=0`], [eqn: -x ^{`2} -y+ {BOX{` {5} over {2} `}}` =0`]을 만족시키는

[eqn: x`]와 [eqn: y`]의 값을 구하면 점 [eqn: rmQ`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,`` {BOX{{3} over {2}}} `` RIGHT ) `]이다.

[eqn: THEREFORE `] [eqn: h LEFT ( a RIGHT ) =2a-1`], [eqn: alpha= {5} over {2} `], [eqn: beta= {3} over {2} `]

따라서 [eqn: h LEFT ( alpha RIGHT ) times h LEFT ( beta RIGHT ) `][eqn: =h LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) times h LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) =4 TIMES 2=8`]

19. [출제의도] 등비수열의 일반항을 추측하여 등비급수의 활용문제를 해결한다.

선분 [eqn: rm BC`]를 [eqn: 1`:`3`]으로 내분하므로 [eqn: rm bar{BE}` = 1`]

선분 [eqn: rm DA`]를 [eqn: 1`:`3`]으로 내분하므로 [eqn: rm bar{DF} `=1`]

따라서 그림 [eqn: R_{`1}`]에서 색칠된 평행사변형 [eqn: rm BEDF`]의 넓이는 [eqn: 1 times 4 =4`]이다.

그림 [eqn: R_{`2}`]에서 삼각형 [eqn: rm ECD] 안의 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x`]라 하자.

삼각형 [eqn: rm ECD`]에서 정사각형을 제외한 두 직각삼각형은 정사각형의 마주보는 두 변이 평행하므로 삼각형 [eqn: rm ECD`]와 닮음이다. 이 중 좌측 직각삼각형의 밑변의 길이는 삼각형 [eqn: rm ECD`]의 밑변과 높이의 비가 [eqn: 3`:`4`]이므로 [eqn: 3 over 4 x`]가 된다. 따라서 [eqn: rm bar EC = it 3 over 4 x + x = 7 over 4 x = 3`]

그러므로 [eqn: x = 12 over 7`]

한 변의 길이가 [eqn: 12 over 7`]인 정사각형과 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형의 닮음비는 [eqn: 12 over 7 `:` 4 `=` 3`:`7`]이므로 넓이의 비는 [eqn: 9`:`49`]이다.

그런데 두 개의 평행사변형이 그려지므로 그림 [eqn: R_{`1}`]에서 색칠된 도형의 넓이의 [eqn: 9 over 49 times 2 = 18 over 49`]이 그림 [eqn: R_{`2}`]에서 새로 색칠된다. 따라서 그림 [eqn: R_{`n}`]에 색칠되어 있는 도형의 넓이는 첫째항이 [eqn: 4`]이고 공비가 [eqn: 18 over 49 `]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합이다.

따라서 [eqn: lim _{n->inf } S_{`n }`][eqn: = 4 over {1- 18 over 49} `= {4 times 49} over {49- 18}`= 196 over 31`]

20. [출제의도] 함수의 극한의 성질을 이해하여 주어진 문제를 해결한다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= lim _{n -> INF } {{2x ^{`2n+1}} over {1+x ^{`2n}} `}]을 구하면

ⅰ) [eqn: LEFT | x RIGHT | >1]일 때, [eqn: lim _{n->inf} {{1} over {x ^{`2n}}} =0`]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )` = lim _{n -> INF } {{2x ^{`2n+1}} over {1+x ^{`2n}} `}][eqn: = lim _{n -> INF } {{2x} over {{1} over {x ^{`2n}} +1}}` =`2x]

ⅱ) [eqn: LEFT | x RIGHT | <1]일 때, [eqn: lim _{n->inf} {x ^{`2n}}` = lim _{n->inf} {x ^{`2n+1}}` =0`]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )` = lim _{n -> INF } {{2x ^{`2n+1}} over {1+x ^{`2n}} `} =0]

ⅲ) [eqn: x=1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {x ^{`2n}}` = lim _{n -> INF } {x ^{`2n+1}}` =1`]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= lim _{n -> INF } {{2x ^{`2n+1}} over {1+x ^{`2n}} `} =1]

ⅳ) [eqn: x`=`-1`]일 때,
[eqn: lim _{n -> INF } {x ^{`2n}} `=1`]이고, [eqn: lim _{n -> INF } {x ^{`2n+1}} `=`-1`]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= lim _{n -> INF } {{2x ^{`2n+1}} over {1+x ^{`2n}} } `=`-1]

ⅰ) ~ ⅳ)에 의해 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{````2x&`````` LEFT ( LEFT | x RIGHT | >1 RIGHT )#``````0&`````` LEFT ( LEFT | x RIGHT | <1 RIGHT )#``````1&`````` LEFT ( x=1 RIGHT )#`-1&`````` LEFT ( x`=`-1 RIGHT )}} `]

두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

(1) [eqn: a=0`]인 경우, 서로 다른 세 점에서 만난다.

(2) [eqn: a=1]인 경우, 서로 만나지 않는다.

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =3`]이고, [eqn: h LEFT ( 1 RIGHT ) =0`]에서 [eqn: lim _{a` -> `1+} {h LEFT ( a RIGHT )} `=1`]이다.

따라서 [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) `+ lim _{a` -> `1+} {h LEFT ( a RIGHT )} `=3+1=4`]

21. [출제의도] 부정적분을 이용하여 실근이 존재하는 구간을 추측한다.

함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) `]는 삼차함수이고

[eqn: f` prime ` LEFT ( 0 RIGHT ) ``][eqn: =`f` prime ` LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) `=`f` prime ` LEFT ( - sqrt {2} RIGHT ) `=0`]이므로

[eqn: f` prime ` LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: =`k`x LEFT ( x+ sqrt {2} RIGHT ) LEFT ( x- sqrt {2} RIGHT )]
[eqn: =`k`x LEFT ( x ^{`2} -2 RIGHT )`][eqn: =`k`x ^{`3} -2k`x`] (단, [eqn: k]는 상수)

[eqn: f` LEFT ( x` RIGHT ) `=` {k} over {4} `x ^{`4} `-`k`x ^{`2} `+`C`] (단, [eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `=C`=1`]

[eqn: f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) `=`k-2k+C`=`-k+1`=`-3`]이므로 [eqn: k=4`]

따라서 [eqn: f` LEFT ( x` RIGHT ) `=`x ^{`4} -4x ^{`2} +1`]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) `=f LEFT ( 2 RIGHT ) `=1>0`],

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) `=f LEFT ( 1 RIGHT ) `=`-2<0`]이므로

[eqn: f LEFT ( m RIGHT )` f LEFT ( m+1 RIGHT ) <0`]을 만족시키는 정수는

[eqn: -2`], [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: 1`]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( m RIGHT )` f LEFT ( m+1 RIGHT ) <0]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: m`]의 값의 합은 [eqn: -2`]

22. [출제의도] 함수의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{x` -> `2} { { (x-2)(x^{`3} +5)} over (x-2) } =lim _{x` -> `2} { (x^{`3} + 5 ) } = 13]

23. [출제의도] 평균변화율을 이해하여 미분계수를 구한다.

[eqn: {f(2) - f(0)} over {2- 0} = { (8+2a) - 0 } over {2-0} = 4+a = 9`]  [eqn: THEREFORE ~ a= 5`]

[eqn: f`'(x) = 3x^{`2} + 5`]

[eqn: f`'(3) = 27 + 5 = 32`]

24. [출제의도] 정적분의 성질을 이해하여 조건을 만족하는 값을 구한다.

[eqn: f(x) `][eqn: =` 4 x^{`3} - 12x^{`2} +k `]이므로

[eqn: int_0 ^3 f(x) dx `][eqn: = int_0 ^3 ( 4 x^{`3} - 12x^{`2} +k `)dx `]
[eqn: = left[ x^{`4} - 4x^{`3}+kx right]_0 ^3]
[eqn: = `81 -108 + 3k `=` -27+3k =0 `]

따라서 [eqn: k= 9`]

25. [출제의도] 로그의 성질을 이해하여 조건을 만족하는 값을 구한다.

ⅰ) [eqn: {log _{`a}` b} over 2a = 3 over 4 `]이므로 [eqn: log_{`a}` b = 3a over2 `]

ⅱ) [eqn: {18` log _{`b} `a } over b = 3 over 4`]이므로 [eqn: {log _{`b} `a } = b over 24 `]

[eqn: log_{`a} `b times log _{`b} `a = 3a over 2 times b over 24 = 1`]

따라서 [eqn: ab = 16`]

26. [출제의도] 유리함수의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족하는 문제를 해결한다.

점 [eqn: rmP LEFT ( ita,~b RIGHT ) `]는 유리함수 [eqn: y= {4} over {x} ` LEFT ( x>0 RIGHT ) `]의 그래프 위의 점이므로 [eqn: b= {4} over {a} `]에서 [eqn: ab=4`] ([eqn: a>0`], [eqn: b>0`])

점 [eqn: rmP LEFT ( ita,``b RIGHT ) `]와 직선 [eqn: x+y=0`] 사이의 거리가 [eqn: 5`]이므로 [eqn: {LEFT | a+b RIGHT |} over {sqrt {1 ^{`2} +1 ^{`2}}} =5`]에서 [eqn: a+b=5 sqrt {2} `]

따라서 [eqn: a ^{`2} +b ^{`2}`][eqn: = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{`2} -2ab`]
[eqn: = LEFT ( 5 sqrt {2} RIGHT ) ^{`2} -2 TIMES 4=42`]

27. [출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 이해하여 조건을 만족하는 값을 구한다.

수열 [eqn: left{ a_{`n} right}`]은 등차수열이므로 [eqn: a_{`1} + a_{`8 }= a_{`4} + a_{`5}`]

수열 [eqn: left{b_{`n} right}`]은 등비수열이므로 [eqn: b_{`2}`` b_{`7} = b_{`4} `` b_{`5}]

이때 [eqn: b_{`4} ``b_{`5 }= a_{`4}`` a_{`5}]이므로

[eqn: a_{`4 }+a_{`5 }= 8`], [eqn: a_{`4}`` a_{`5 }= 12`]

[eqn: a_{`4}`], [eqn: a_{`5}`]가 두 이차방정식의 근이라 하면 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해

이차방정식 [eqn: x^{`2} - 8x +12 =0]의 두 근이다.

따라서 [eqn: a_{`4} = 6`], [eqn: a_{`5} =2`]

([eqn: because `] [eqn: a_{`4} = b_{`4 }`], [eqn: a_{`5} =b_{`5}`], [eqn: b_{`4} >b_{`5} `])

수열 [eqn: left{ a_{`n} right} `]은 공차가 [eqn: -4`]인 등차수열이므로

[eqn: a_{`4} =` a_{`1 }+(4-1)times (-4) = 6]

따라서 [eqn: a_{`1} = 18`]

28. [출제의도] 조합을 활용하여 주어진 조건을 만족하는 문제를 해결한다.

우선 빨간색 공을 넣는 방법의 수는 [eqn: `_5 rm C _3 = 10`]

모든 바구니에 공이 적어도 하나씩 들어가야 하므로 빨간색 공을 넣지 않은 빈 바구니에 파란색 공을 각각 [eqn: 1`]개씩 넣는다.

남은 [eqn: 4`]개의 파란색 공을 서로 다른 [eqn: 5`]개의 바구니에 각각 [eqn: 2`]개 이하로 넣는 경우의 수는 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: 2+2`]인 경우
파란색 공을 넣는 경우의 수는 [eqn: `_5 rm C _2 = 10 `]

ⅱ) [eqn: 2+1+1`]인 경우
파란색 공을 넣는 경우의 수는 [eqn: `_5 rm C _3` times `_3 rm C _1 = 30 `]

ⅲ) [eqn: 1+1+1+1`]인 경우
파란색 공을 넣는 경우의 수는 [eqn: `_5 rm C _4 =5 `]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 10 times( 10+30+5) = 450 `]

29. [출제의도] 명제와 진리집합의 관계를 이해하여 조건을 만족하는 문제를 해결한다.

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`]라 할 때, 명제가 참이 되려면 [eqn: rm P SMALLINTER Q != EMPTYSET `]이어야 한다. 그러므로 부등식 [eqn: x ^{`2} + (y-20) ^{`2} ` LEQ `2 `]가 나타내는 영역과

[eqn: y` le `k- x^{`2} `]이 나타내는 영역의 공통부분이 존재해야 한다.

곡선 [eqn: y = k- x^{`2} `]의 꼭짓점의 좌표 [eqn: (0,~k) `]가

[eqn: (0,~20- root2 ) `]일 때, 그림과 같이

[eqn: x ^{`2} + (y-20) ^{`2} =`2 `]와 한 점에서 만난다. 그러므로 [eqn: k`geq` 20 - sqrt {2}`]이면 명제는 참이 된다. 따라서 이를 만족시키는 정수 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 19`]

30. [출제의도] 순열과 조합을 활용하여 실생활과 관련된 문제를 해결한다.

각 분단에는 같은 학급 학생이 [eqn: 3`]명 올 수 없으므로 [eqn: 1`]분단에는 [eqn: rm A`] 학급 학생이 [eqn: 2`]명 또는 [eqn: 1`]명이 배정된다.

[eqn: 1`]분단에 [eqn: rm A`] 학급 학생 [eqn: 2`]명이 배정되는 경우를 먼저 생각하자.(단, 빈 좌석에는 [eqn: rm B`]학급 학생을 배정한다.)

ⅰ) 첫째 줄에 [eqn: rm A`]학급 학생이 앉지 않는 경우

[eqn: rm C `]
[eqn: rm A`]	[eqn: rm C `]
	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]
([eqn: 1])

	[eqn: rm C `]
[eqn: rm A`]
[eqn: rm C `]	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]
([eqn: 2])

	[eqn: rm C `]
[eqn: rm A`]
	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]	[eqn: rm C `]
([eqn: 3])

ⅱ) 둘째 줄에 [eqn: rm A`]학급 학생이 앉지 않는 경우

[eqn: rm A`]
	[eqn: rm C `]
[eqn: rm A`]
[eqn: rm C `]	[eqn: rm A`]
([eqn: 4])

[eqn: rm A`]	[eqn: rm C `]
[eqn: rm C `]
	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]
([eqn: 5])

[eqn: rm A`]
	[eqn: rm C `]
[eqn: rm C `]	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]
([eqn: 6])

ⅲ) 셋째 줄에 [eqn: rm A`]학급 학생이 앉지 않는 경우

[eqn: rm A`]
[eqn: rm C `]	[eqn: rm A`]
	[eqn: rm C `]
[eqn: rm A`]
([eqn: 7])

[eqn: rm A`]
	[eqn: rm A`]
[eqn: rm C `]
[eqn: rm A`]	[eqn: rm C `]
([eqn: 8])

[eqn: rmC]	[eqn: rmA]
[eqn: rmA]
	[eqn: rmC]
[eqn: rmA]
([eqn: 9])

ⅳ) 넷째 줄에 A 학급 학생이 앉지 않는 경우

[eqn: rm A`]
[eqn: rm C `]	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]
	[eqn: rm C `]
([eqn: 10])

[eqn: rm A`]
	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]	[eqn: rm C `]
[eqn: rm C `]
([eqn: 11])

[eqn: rm A`]	[eqn: rm C `]
	[eqn: rm A`]
[eqn: rm A`]
	[eqn: rm C `]
([eqn: 12])

([eqn: 3`])과 ([eqn: 12`])의 경우 [eqn: rm C] 학급 학생이 같은 분단에 배정되어 학급 번호가 작은 학생이 항상 앞줄에 앉기 때문에 [eqn: rm C] 학급 학생이 배정되는 방법의 수는 [eqn: 1`]이다.

([eqn: 1`]),([eqn: 2`]),([eqn: 4`]),([eqn: 5`]),([eqn: 6`]),([eqn: 7`]),([eqn: 8`]),([eqn: 9`]),([eqn: 10`]),([eqn: 11`])의 경우 [eqn: rm C] 학급 학생이 서로 다른 분단에 배정되는 방법의 수는 [eqn: 2`]이다.

그러므로 [eqn: rm C] 학급 학생이 배정되는 모든 방법의 수는

[eqn: 1 TIMES 2+2 TIMES 10=22`]

[eqn: rm A`]학급 학생이 배정되는 방법의 수는 [eqn: 3`]

[eqn: rm B `]학급 학생이 배정되는 방법의 수는 [eqn: 3`]

[eqn: 1`]분단에 [eqn: rm A`] 학급 학생 [eqn: 2`]명이 배정되는 경우 학생이 배정되는 방법의 수는 [eqn: 22 TIMES 3 TIMES 3`]

[eqn: 1`]분단에 A 학급 학생이 [eqn: 1`]명 배정되는 경우는

[eqn: 2`]분단에 A 학급 학생이 [eqn: 2`]명 배정되는 경우와 같으므로 위에서 구한 [eqn: 1`]분단에 [eqn: rm A`] 학급 학생이 [eqn: 2`]명 배정되는 방법의 수와 같다.

따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 22 TIMES 3 TIMES 3 TIMES 2=396`]