[eqn: 4 ^{{3} over {4}} TIMES 8 ^{{1} over {2}}]의 값은? [2점]

2015학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(B형)

제 2 교시

수학 영역(B형)

수학 영역(B형)

수학 영역[B형]

수학 영역[B형]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

12

[eqn: lim _{x` -> `0} {{`ln LEFT ( 1+3x RIGHT )} over {2x}}]의 값은? [2점]

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[eqn: tantheta= {1} over {2}]일 때, [eqn: tan2theta]의 값은? [2점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {5} over {4}]

④ [eqn: {6} over {5}]	⑤ [eqn: 1]

일차변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬이 [eqn: LEFT ( {matrix{`1&`````3`#`2&`````4`}} RIGHT )]일 때,
두 행렬 [eqn: A= LEFT ( pile{`-2`#`````````3`} RIGHT )], [eqn: B= LEFT ( pile{`````````2`#``-1`} RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( A RIGHT ) +2f LEFT ( B` RIGHT )]는? [3점]

① [eqn: LEFT ( pile{``2`#``5`} RIGHT )]	② [eqn: LEFT ( pile{``3`#``6`} RIGHT )]	③ [eqn: LEFT ( pile{``4`#``7`} RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( pile{``5`#``8`} RIGHT )]	⑤ [eqn: LEFT ( pile{``6`#``9`} RIGHT )]

방정식 [eqn: LEFT ( log _{`3} `x RIGHT ) ^{2} +4`log _{`9} `x-3=0]의 모든 실근의 곱은? [3점]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {5} over {9}]

④ [eqn: {7} over {9}]	⑤ [eqn: 1]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{4} +a _{5} +a _{6} +a _{7} +a _{8} =55]
일 때, [eqn: a _{11}]의 값은? [3점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 33]

[eqn: x]에 대한 두 부등식 [eqn: {x-k} over {x+1} LEQ 0], [eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-8 RIGHT ) ^{2} LEQ 0]을
동시에 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 4]가 되도록 하는 모든 자연수
[eqn: k]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n+1} - {1} over {2} RIGHT )]이 수렴할 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {4n+1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {5} over {8}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {8}]

[eqn: 0 le x < 2pi]일 때, 방정식 [eqn: cos2x+6cos ^{2} {x} over {2} =1]의 서로 다른
모든 실근의 합은? [3점]

① [eqn: pi]	② [eqn: {3} over {2} pi]	③ [eqn: 2 pi]

④ [eqn: {5} over {2} pi]	⑤ [eqn: 3 pi]

좌표평면에서 두 일차변환 [eqn: f]와 [eqn: g]를 나타내는 행렬을 각각

[eqn: {pmatrix{`a&``````````0`#``0&``-a`}}], [eqn: {pmatrix{`0&`````1`#`1&`````0`}}]

이라 하자. 일차변환 [eqn: f]의 역변환 [eqn: f ^{`-1}]에 의하여 점 [eqn: LEFT ( `2,``4 RIGHT )]가
점 [eqn: LEFT ( -1,``2 RIGHT )]로 옮겨질 때, 합성변환 [eqn: f CIRC g]에 의하여 점 [eqn: LEFT ( `3,``2 RIGHT )]가 옮겨지는 점은? (단, [eqn: a]는 [eqn: 0]이 아닌 상수이다.) [3점]

① [eqn: LEFT ( -6,``4 RIGHT )]	② [eqn: LEFT ( -4,``6 RIGHT )]	③ [eqn: LEFT ( `2,`-3 RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( `3,`-2 RIGHT )]	⑤ [eqn: LEFT ( `6,``2 RIGHT )]

어떤 앰프에 스피커를 접속 케이블로 연결하여 작동시키면
접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스(스피커에 교류전류가
흐를 때 생기는 저항)에 따라 전송 손실이 생긴다.
접속 케이블의 저항을 [eqn: R], 스피커의 임피던스를 [eqn: r], 전송 손실을 [eqn: L]이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: L = 10` log `LEFT ( 1+{ 2R } over { r } RIGHT )]

(단, 전송 손실의 단위는 [eqn: rm dB], 접속 케이블의 저항과 스피커의
임피던스의 단위는 [eqn: Ω]이다.)
이 앰프에 임피던스가 [eqn: 8]인 스피커를 저항이 [eqn: 5]인 접속 케이블로
연결하여 작동시켰을 때의 전송 손실은 저항이 [eqn: a]인 접속 케이블로 교체하여 작동시켰을 때의 전송 손실의 [eqn: 2]배이다. 양수 [eqn: a]의 값은?
[3점]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, <보기>에서
옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

[eqn: x]

[eqn: -1]

[eqn: y]

[eqn: rm 2]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

		보 기
ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `+0} {LEFT { f(x)+f(-x) RIGHT } =0}] ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `1+0} {f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} =1] ㄷ. 함수 [eqn: LEFT { f(x-1) RIGHT } ^{2}]은 [eqn: x=1]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[13 ~ 14] [eqn: 1]보다 큰 실수 [eqn: t]에 대하여 그림과 같이 점 [eqn: rm P LEFT ( ` it t+ {1} over {t} ,``0 RIGHT )]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} = {1} over {2t ^{2}}]에 접선을 그었을 때, 원과 접선이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm Q], 원 위의 점 [eqn: {} _{rm } LEFT ( `0,``- {1} over {sqrt {2} it t rm } RIGHT )]을 [eqn: rm R]라 하자.
13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: x]

[eqn: rmP]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: {bar{rm OP it}} TIMES rm {bar{OQ}}]를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: f` prime LEFT ( sqrt {2} RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: - {1} over {4}]

④ [eqn: - {1} over {8}]	⑤ [eqn: - {1} over {16}]

삼각형 [eqn: rm ORQ]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{t` -> ` INF } {` LEFT { t ^{4} TIMES S` LEFT ( t RIGHT ) RIGHT }}]의 값은?

[4점]

① [eqn: {sqrt {2}} over {8}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]가

[eqn: AB + E = A^2], [eqn: AB^3 - BA^3 =6E]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: A]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: AB=BA] ㄷ. [eqn: A^2 + B^2 = 4E]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]라 할 때,

[eqn: 2S _{n} =3a _{n} -4n+3] ([eqn: n GEQ 1])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

[eqn: 2S _{n} =3a _{n} -4n+3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

에서 [eqn: n=1]일 때, [eqn: 2S _{1} =3a _{1} -1`]이므로 [eqn: a _{1} =1]이다.

[eqn: 2S _{n+1} =3a _{n+1} -4(n+1)+3] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉡]에서 [eqn: ㉠]을 뺀 식으로부터

[eqn: a _{n+1} = 3a _{n} + `{BOX{~~~(가) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}} ~~~}}]

이다. 수열 [eqn: LEFT { a_n +2 RIGHT }]가 등비수열이므로
일반항 [eqn: a _{n}]을 구하면

[eqn: a _{n} =` {BOX{~~~(나) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}} ~~~}}] ([eqn: n GEQ 1])

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때,        [eqn: p+f(5)]의 값은? [4점]

① [eqn: 225]	② [eqn: 230]	③ [eqn: 235]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 245]

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = int _{1} ^{n} {x ^{3} e ^{x ^{2}} dx}]라 할 때,
[eqn: {f LEFT ( 5 RIGHT )} over {f LEFT ( 3 RIGHT )}]의 값은? [4점]

① [eqn: e ^{14}]	② [eqn: 2e ^{16}]	③ [eqn: 3e ^{16}]

④ [eqn: 4e ^{18}]	⑤ [eqn: 5e ^{18}]

그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {3}]이고 반지름의 길이가 [eqn: 6]인
부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다.

부채꼴 [eqn: rmOAB]에 내접하는 원 [eqn: O _{1}]이 두 선분 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB], 호 [eqn: rmAB]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A _{1}], [eqn: rm B _{1}], [eqn: rm C _{1}]이라 하고, 부채꼴 [eqn: rm OA _{1} B _{1}]의 외부와 삼각형 [eqn: rm A _{1} C _{1} B _{1}]의 내부의 공통부분의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자.
부채꼴 [eqn: rm OA _{1} B _{1}]에 내접하는 원 [eqn: O _{2}]가 두 선분 [eqn: rm OA _{1}], [eqn: rm OB _{1}], 호 [eqn: rm A _{1} B _{1}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A _{2}], [eqn: rm B _{2}], [eqn: rm C _{2}]라 하고, 부채꼴 [eqn: rm OA _{2} B _{2}]의 외부와
삼각형 [eqn: rm A _{2} C _{2} B _{2}]의 내부의 공통부분의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자.
위와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 부채꼴 [eqn: rm OA _{itn} B _{itn}]의 외부와

삼각형 [eqn: rm A _{it n rm} C _{it n rm} B _{it n rm}]의 내부의 공통부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때,

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은? [4점]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: S_2]

[eqn: S_1]

[eqn: O` _{2}]

[eqn: O _{1}]

① [eqn: 8 sqrt {3} -3 pi]	② [eqn: 8 sqrt {3} -2 pi]	③ [eqn: 9 sqrt {3} -3pi]

④ [eqn: 9 sqrt {3} -2 pi]	⑤ [eqn: 10 sqrt {3} -3 pi]

그림과 같이 원점에 대하여 대칭인 삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 일차함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: x=-1]에서 접하고 [eqn: x=2]에서
만난다. [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =2]이고 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) <0]일 때,
방정식 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) -2} over {g LEFT ( x RIGHT ) -2} - {g LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )} =0]의 서로 다른 실근의 개수는? [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rmO]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: -1]

[eqn: 2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 원점 [eqn: rmO]로부터의 거리가 [eqn: 1]인 점 [eqn: rm P]에 대하여 선분 [eqn: rm OP]가
[eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta][eqn: LEFT ( {pi } over {4} < theta < {pi } over {2} RIGHT )]라 하자.

점 [eqn: rm P]에서 직선 [eqn: y=x]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q]라 하고,
선분 [eqn: rm PQ]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하자. 점 [eqn: rmM]의 [eqn: y]좌표가 최대일 때,
[eqn: tan`theta]의 값은? [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: y=x]

[eqn: rmO]

[eqn: rm M]

[eqn: theta]

① [eqn: 2]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {8} over {3}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{` LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} e ^{x} +k _{{} _{{} _{}}}&~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}#`-x ^{2 ^{{} ^{{} ^{}}}}&~ LEFT ( x<0 RIGHT ) ^{{} ^{{} ^{}}}}}]에 대하여
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족하도록 하는
정수 [eqn: k]의 개수는? [4점]

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 모든 실수에서 연속이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 미분가능하지 않은 점이 [eqn: 2]개다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

단 답 형

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립일차방정식 [eqn: {pmatrix{`k-1&`````-1#`2&``````k-4`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`0`#`0`}}]이
[eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱을
구하시오. [3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{3} +lnx]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: lim _{x` -> `0} {f LEFT ( x RIGHT ) LEFT ( 1-cos {x} over {2} RIGHT ) =1}]일 때,
[eqn: lim _{x` -> `0} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT )}]의 값을 구하시오. [3점]

모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f` prime (x)= {cases{`3 sqrt {x}&(x>1)#`2x&(x<1)}}]
이다. [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =13]일 때, [eqn: f LEFT ( -5 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =3]이고,

가 성립한다. [eqn: a _{k} =3]을 만족시키는 [eqn: 50] 이하의 모든 자연수 [eqn: k]의
값의 합을 구하시오. [4점]

([eqn: a_n]은 짝수)

([eqn: a_n]은 홀수)

[eqn: a _{n+1} = {cases{` {a _{n}} over {2}&#` {a _{n} +93} over {2}&}}]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log`x]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 하자.

[eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +3g LEFT ( x RIGHT )]의 값이 [eqn: 3]이 되도록 하는 모든 [eqn: x]의 값의

곱은 [eqn: 10 ^{{q} over {p}}]이다. [eqn: 10 LEFT ( p+q RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인

자연수이다.) [4점]

그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}]이고, 반지름의 길이가 [eqn: 8]인

부채꼴 [eqn: rm OAB]가 있다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여
호 [eqn: rm AB]를 [eqn: n]등분한 각 분점을 점 [eqn: rmA]에서 가까운 것부터
차례로 [eqn: rmP _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}], [eqn: CDOTS], [eqn: rm P _{it `n-1}]이라 하자. [eqn: 1 LEQ k LEQ n-1]인

자연수 [eqn: k]에 대하여 점 [eqn: rm B]에서 선분 [eqn: rm OP _{it k`}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q _{it k`}]라 하고, 삼각형 [eqn: rm OQ _{it k` rm} B]의 넓이를 [eqn: S _{k`}]라 하자. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}} `= {alpha } over {pi }]일 때, [eqn: alpha]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rm P _{it n rm -1}]

[eqn: rm Q _{it k rm}]

[eqn: rmO]

[eqn: rm P _{it k rm}]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P _{it 3 rm}]

[eqn: rm P _{it 2}]

[eqn: rm P _{it 1}]

[eqn: 8]

그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 [eqn: rmA LEFT ( `1,``1 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `2 sqrt {3} ,``2 RIGHT )],
[eqn: rm C LEFT ( `3,``2 sqrt {2} RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다.

일차변환에 의하여 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]가 옮겨지는 점을
각각 [eqn: rm A prime], [eqn: rm B'], [eqn: rm C']이라 하자. 삼각형 [eqn: rmA'B'C']과 직선 [eqn: y=- sqrt {3} x]가
만나도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오. [4점]

행렬

[eqn: {matrix{cos {n pi } over {24}&```-sin {n pi } over {24}#sin {n pi } over {24}&``````````cos {n pi } over {24}}}]

([eqn: 0<n<48])로 나타내어지는

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: y=- sqrt {3} x]

그림과 같이 원점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 10]인
원이 있다. 직선 [eqn: y= sqrt {3} x]와 원이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm A]라 하자. 점 [eqn: rmP]는 원점 [eqn: rmO]를 출발하여 [eqn: x]축을 따라 양의 방향으로
매초 [eqn: 2]의 일정한 속력으로 움직인다. 점 [eqn: rmP]가 원점 [eqn: rmO]를 출발하여
[eqn: t]초가 되는 순간, 점 [eqn: rm P]를 지나고 직선 [eqn: y= sqrt {3} x]에 평행한 직선이
제[eqn: 1]사분면에서 원과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.
세 선분 [eqn: rm AO], [eqn: rm OP], [eqn: rm PQ]와 호 [eqn: rm QA]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 5]가 되는 순간, 넓이 [eqn: S]의 시간(초)에 대한 변화율을 구하시오. (단, [eqn: 0<t<5]) [4점]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P]

[eqn: y= sqrt { 3}x]

※ 확인사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.