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2011학년도 11월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설

1	②	2	④	3	③	4	④	5	②
6	①	7	⑤	8	⑤	9	②	10	②
11	②	12	②	13	④	14	①	15	④
16	③	17	③	18	①	19	⑤	20	③
21	①	22	52	23	4	24	17	25	7
26	18	27	35	28	50	29	14	30	720

[출제의도] 무리식의 뜻을 알고 계산하기

[eqn: sqrt {6+2 sqrt {5}} - sqrt {6-2 sqrt {5}} `= sqrt {5} +1-( sqrt {5} -1)=2]

[출제의도] 항등원 구하기

연산 [eqn: ◎]에 대한 항등원을 [eqn: e]라 하면

[eqn: a◎e=ae+2(`a+e+1)=a],

[eqn: ae+a+2e+2=0],

[eqn: a(e+1)+2(e+1)=0]

이므로 [eqn: e=`-1]

[출제의도] 이차방정식에서 판별식 이해하기

이차방정식 [eqn: x^{2} +2ax-3a=0]이 중근을 가지므로

판별식 [eqn: D over 4 =0]에서

[eqn: a ^{2} +3a=0]

[eqn: therefore] [eqn: a=0] 또는 [eqn: a=`-3]

따라서 [eqn: x^{`2} +2ax`-3a=0]이 중근을 갖도록 하는

모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: -3]이다.

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리 구하기

점 [eqn: left(root3 ,~1 right)]과 직선 [eqn: y=root3 x+n] 사이의

거리가 [eqn: 3]이므로

[eqn: {LEFT | `3-1+n` RIGHT |} over {sqrt {3+1}} `=3], [eqn: LEFT | `2+n` RIGHT |` =6]

[eqn: therefore] [eqn: n=`-8] 또는 [eqn: n=4]

따라서 양수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 4]이다.

[출제의도] 합성함수와 역함수의 뜻을 알고 성질 이해하기

[eqn: (`f CIRC g^{`-1} `)(1)=f`(`g^{`-1} (`1`))]

[eqn: =f`(2)=3],

[eqn: (`g CIRCf`)^{`-1} (4)=(`f^{`-1} CIRCg^{`-1} )(4)]

[eqn: =f^{`-1} (g^{`-1} (4))]

[eqn: =f^{`-1} (3) = 2]

따라서

[eqn: (`f CIRC g ^{`-1} )(1)+(`g CIRC f`) ^{`-1} (4)=3+2=5]

[출제의도] 항등식 이해하기

등식 [eqn: (`a+b+3)x+ab-1=0]이

[eqn: x]의 값에 관계없이 항상 성립하므로

[eqn: a+b=`-3], [eqn: ab=1]

이때, [eqn: a+b<0], [eqn: ab>0]이므로

[eqn: a<0], [eqn: b<0]이고 [eqn: roota rootb =`-rootab]

[eqn: ( sqrt {a} + sqrt {b} `) ^{2}][eqn: =left(roota `right)^{2}+left(rootb` right)^{2}+2 sqrt {a}sqrt{b}]

[eqn: =a+b-2 sqrt {ab}]

[eqn: =`-3-2 sqrt {1}]

[eqn: =`-5]

따라서 [eqn: ( sqrt {a} + sqrt {b}` ) ^{2}]의 값은 [eqn: -5]이다.

[출제의도] 집합의 연산법칙을 알고 추론하기

ㄱ. [eqn: A-B^{C} = A cap (B^{C} `) ^{C} =A cap B] (참)

ㄴ. [eqn: (A-B)`-C] [eqn: =(A SMALLINTER B ^{C} `)-C]

[eqn: =A SMALLINTER B ^{C} SMALLINTER C ^{`C}]

[eqn: =A SMALLINTER (B` cup C `) ^{C}]

[eqn: =A -(B `cupC`)] (참)

ㄷ. [eqn: A cap (B-A ) ^{C} = A cap (B` cap A^{C}` )^{C}]

[eqn: =A cap (B^{`C}` cup A)]

[eqn: =A]

[eqn: (B-A) SMALLINTER A=(B `SMALLINTER A ^{C} `) SMALLINTER A= EMPTYSET]이므로

[eqn: LEFT { A SMALLINTER (B-A) ^{`C} ` RIGHT } CUP LEFT { (B-A) SMALLINTER A RIGHT }][eqn: =A CUP EMPTYSET]

[eqn: =A] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[출제의도] 이차방정식에서 근과 계수의 관계
이해하기

[eqn: x ^{2} +px+q=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha+beta=`-p], [eqn: alpha beta =q]

[eqn: x ^{2} +rx+p=0]의 두 근이 [eqn: 2alpha], [eqn: 2beta]이므로

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: 2alpha+2beta=2( alpha + beta )=`-r],

[eqn: (2 alpha )(2 beta )=4 alpha beta =p]

[eqn: therefore] [eqn: q= {p} over {4}], [eqn: r=2p]

따라서 [eqn: {r} over {q} =8]

[출제의도] 이차부등식의 해 이해하기

[eqn: x]에 대한 이차부등식

[eqn: ax ^{2} +bx+c GEQ 0]의 해가 오직 [eqn: x=3]뿐이므로

[eqn: a<0], [eqn: a(x-3)^2 ge0]가 되어야 한다.

[eqn: ax ^{2} +bx+c=a(x-3) ^{2}][eqn: =ax ^{2} -6ax+9a]

[eqn: therefore] [eqn: b=`-6a], [eqn: c=9a]

[eqn: bx ^{2} +cx+6a`][eqn: =`-6ax ^{2} +9ax+6a]

[eqn: =`-3a(2x ^{2} -3x-2)]

[eqn: =`-3a(2x+1)(x-2)<0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: - {1} over {2} <x<2]

따라서 정수 [eqn: x]는 [eqn: 0]과 [eqn: 1]뿐이므로 개수는 [eqn: 2]이다.

[출제의도] 원과 직선의 위치관계 이해하기

접선이 점 [eqn: (`-6,~0)]을 지나므로

[eqn: 0=`-6m+n], [eqn: n=6m]

그러므로 접선의 방정식은 [eqn: y=mx+6m]이다.

원 [eqn: x^{2} +y^{2} =9]의 중심 [eqn: (0,~0)]에서

접선 [eqn: y= mx+6m] 사이의 거리가

반지름의 길이 [eqn: 3]과 같으므로

[eqn: {LEFT | `6m` RIGHT |} over root{m^2 +1} `=3]

[eqn: 36m ^{2} =9(m ^{2} +1)], [eqn: m ^{2} ={1} over {3}]

[eqn: therefore] [eqn: m=root3 over 3] 또는 [eqn: m=`- {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: n=6m]이므로

[eqn: m=root3 over 3]일 때, [eqn: n=2root3]

[eqn: m=`- {sqrt {3}} over {3}]일 때, [eqn: n=`-2 sqrt {3}]

따라서 [eqn: mn=2]

[출제의도] 선분의 외분을 이해하고 실생활 문제해결하기

시청의 위치를 좌표평면 위의 원점이라 하면,

혜미네 집의 좌표는 [eqn: rmA(`-4,~-2)],

학교의 좌표는 [eqn: rmB(0,~1)], 도서관의 좌표는 [eqn: (ita,~b)]이다.

이때, 혜미네 집에서 도서관까지의 거리는

학교에서 도서관까지의 거리의 [eqn: 3.5]배이므로

도서관의 좌표는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 7:2]로 외분하는 점이다.

[eqn: (a,~b)][eqn: = LEFT ( ` {7 TIMES 0-2 TIMES (`-4)} over {7-2} `,~ {7 TIMES 1-2 TIMES (`-2)} over {7-2} ` RIGHT )]

[eqn: = left(8 over 5 , ~ 11 over 5 right)]

따라서 [eqn: a+b= 19 over 5]

[출제의도] 역함수의 성질 이해하기

[eqn: f`(x)= sqrt {x-2} +2 LEFT ( x GEQ 2 RIGHT )]는

[eqn: g(x)=x ^{2} -4x+6]의 역함수이므로

두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는

직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 교점은
두 함수 [eqn: y=g(x)]와 [eqn: y=x]의 그래프의 교점이다.

[eqn: x ^{2} -4x+6=x], [eqn: (x-2)(x-3)=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=3]

따라서 두 교점의 좌표는 [eqn: (2,~2)]와 [eqn: (3,~3)]이므로

두 점 사이의 거리는 [eqn: root2]이다.

[출제의도] 부등식 영역을 활용하여 최대, 최소
문제해결하기

목걸이와 팔찌의 개수가 각각 [eqn: x], [eqn: y]이므로

[eqn: x GEQ 0], [eqn: y GEQ 0], [eqn: 30x+10y LEQ 250], [eqn: 2x+y LEQ 20]이다.

연립부등식을 동시에 만족시키는 영역은

그림의 어두운 부분이다.

[eqn: (5,~10)]

[eqn: 10000x+4000y=k]

[eqn: 30x+10y=250]

[eqn: rmO]

[eqn: 2x+y=20]

[eqn: y]

[eqn: x]

이때, 판매 이익을 [eqn: k]라고 하면

[eqn: k=10000x+4000y]이고

[eqn: k]의 값은 두 직선 [eqn: 3x+y=25]와 [eqn: 2x+y=20]의 교점 [eqn: (5,~10)]에서 최대이다.

따라서 [eqn: x+y=15]

[출제의도] 복소수의 뜻을 알고 기본 성질 이해하기

[eqn: z+ bar{z} =0]을 만족시키는 복소수 [eqn: z(!=0)]는

순허수이므로

[eqn: z=(i-2)x ^{2} -3x i-4i+32]

[eqn: =`-2x ^{2} +32+(x ^{2} -3x-4)i]에서

[eqn: -2x ^{2} +32=0]이고 [eqn: x ^{2} -3x-4 != 0]이어야 한다.

그러므로

[eqn: -2x ^{2} +32=0]에서 [eqn: x=4] 또는 [eqn: x=`-4]

[eqn: x ^{2} -3x-4 != 0]에서 [eqn: x != 4]이고 [eqn: x!=`-1]

따라서 [eqn: x=`-4]

[출제의도] 나머지정리의 성질을 활용하여 추론하기

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (2x-3)(x+1)]로

나눈 몫이 [eqn: Q`(x)]이고 나머지가 [eqn: x+7]이므로

[eqn: f(x)=(2x-3)(x+1)Q`(x)+x+7]이다.

한편,

[eqn: f(3x+1)]

[eqn: =(6x-1)(3x+2)Q`(3x+1)+]

[eqn: 3x+8]

[eqn: =(3x+2) LEFT { (6x-1)Q`(3x+1)+1 RIGHT } +]

[eqn: 6]

이므로

[eqn: f(3x+1)]을 [eqn: 3x+2]로 나눈 나머지는  이다.

[eqn: 6]

[eqn: P(x)=3x+8]이고 [eqn: r=6]

따라서 [eqn: r TIMES P(2)=6 TIMES 14=84]

[출제의도] 평행이동을 활용하여 문제해결하기

원 [eqn: rm O _{1}]의 방정식은 [eqn: left (x + 1over2 right )^{2} +y^{2} = 1]이다.

원 [eqn: rm O _{1}]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한

원 [eqn: rm O _{2}]의 방정식은 [eqn: left (x - 1over2 right )^{2} +y^{2} = 1]이고

원 [eqn: rm O _{1}]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한

원 [eqn: rm O _{3}]의 방정식은 [eqn: left (x - 3over2 right )^{2} +y^{2} = 1]이다.

그림과 같이

원 [eqn: rm O _{1}]의 내부와 원 [eqn: rm O _{2}]의 내부의 공통부분의 넓이와 원 [eqn: rm O _{2}]의 내부와 원 [eqn: rm O _{3}]의 내부의 공통부분의 넓이의 합 [eqn: S`]는

반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: 60 DEG]인

부채꼴의 넓이에서 밑변의 길이가 [eqn: {1} over {2}]이고 높이가

[eqn: {sqrt {3}} over {2}]인 직각삼각형의 넓이를 뺀 것의 [eqn: 8]배이다.

[eqn: - {1} over {2}]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 60 DEG]

[eqn: 3over 2]

[eqn: root3 over 2]

[eqn: rmO_3]

[eqn: rmO_2]

[eqn: rmO_1]

따라서 [eqn: S`=8left( {pi } over {6} - {sqrt {3}} over {8} right)= {4} over {3} pi - sqrt {3}]

[출제의도] 필요조건과 충분조건 추론하기

ㄱ. [eqn: p ``-> ``q] (참)

[eqn: ab>0]이면 [eqn: a>0], [eqn: b>0] 또는 [eqn: a<0], [eqn: b<0]이다.

[eqn: a>0], [eqn: b>0]이면 [eqn: LEFT | `a+b` RIGHT | `=a+b =LEFT |` a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT |]이다.

[eqn: a<0], [eqn: b<0]이면 [eqn: LEFT | `a+b` RIGHT | `=`-a-b= LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT |]이다.

[eqn: q ``->`` p] (거짓)

(반례) [eqn: a=0]이고 [eqn: b=1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이지만 필요조건은      아니다.

ㄴ. [eqn: p ``->`` q] (참)

[eqn: p ``->`` q]의 대우 명제는 참이다. 즉,

[eqn: a<1]이고 [eqn: b<1]이면 [eqn: a+b<2]이다.

[eqn: q ``->`` p] (거짓)

(반례) [eqn: a=`-3]이고 [eqn: b=2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이지만 필요조건은      아니다.

ㄷ. [eqn: p ``->`` q] (거짓)

(반례) [eqn: a= 0]이고 [eqn: b=1]

[eqn: q ``->`` p] (참)

[eqn: a ^{2} +ab+b ^{2} =][eqn: LEFT ( a+ {b} over {2} RIGHT ) ^{2} + {3} over {4} b ^{2} LEQ 0]에서

[eqn: a=b=0]이므로 [eqn: |`a+b`|=|`a-b`|]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건

따라서 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[출제의도] 부등식의 영역 이해하기

연립부등식을 만족시키는 점 [eqn: (x,~ y)]를 좌표평면 위에  나타내면 그림과 같다.

[eqn: (3,3)]

[eqn: rm O]

[eqn: x^2 +y^2 =k^2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =k ^{2}]이라 하면, [eqn: k ^{2}]은 주어진 부등식의 영역에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =k ^{2}]이 점 [eqn: (3,~3)]을 지날 때 최소이다.

따라서 [eqn: x ^{2} +y ^{2}]의 최솟값은 [eqn: 18]이다.

[출제의도] 삼차방정식 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 직사각형 모양의 종이를 대각선을 따라 접었을 때, 겹쳐지지 않은 두 직각삼각형은 합동이다.

[eqn: a]

[eqn: x]

[eqn: 8-x]

[eqn: x]

[eqn: a]

[eqn: 8-x]

이때, 두 직각삼각형의 빗변의 길이를 [eqn: x]라 하면

다른 두 변의 길이는 [eqn: 8-x], [eqn: a]이다.

피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: x ^{2} =a ^{2} +(8-x) ^{2}]이므로 [eqn: x= {a ^{2} +64} over {16}]

한편, 겹쳐진 부분의 넓이는 [eqn: 1over2 ax]이므로

[eqn: {1} over {2} ax=10],

[eqn: 1 over 2 TIMES a TIMES {a ^{2} +64} over {16} =10],

[eqn: a ^{3} +64a-320=(a-4)(a^2 + 4a+80)=0]

따라서 [eqn: a=4]

[출제의도] 무리함수의 그래프의 성질을 이해하여 추론하기

이차함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c]의

꼭짓점의 좌표가 [eqn: left( 1over2 ,~ 9over2 right)]이므로

[eqn: f(x)=a left(x- 1over2 right) ^{`2} + 9over2]

[eqn: y=f(x)]의 그래프가 점 [eqn: left( 0 ,~ 4 right)]를 지나므로 [eqn: a=`-2]

[eqn: f(x)=`-2 LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) ^{`2} + {9} over {2} =`-2x ^{2} +2x+4]이므로

[eqn: b=2], [eqn: c=4]

무리함수 [eqn: g(x)=`-2 sqrt {x+2} +4]에 대하여

ㄱ. 정의역은 [eqn: LEFT { x` |` x GEQ -2 RIGHT }]이고 치역은 [eqn: LEFT {` y` |` y LEQ 4 RIGHT }]

이다. (참)

ㄴ. 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 제[eqn: 3]사분면을 지나지      않는다. (거짓)

ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)=`-2(x+1)(x-2)=0]의 두 근이      [eqn: -1] 또는 [eqn: 2]이므로 [eqn: alpha=`-1], [eqn: beta=2]

[eqn: -1 le x le2]에서 함수 [eqn: g(x)]의 최댓값은

[eqn: g(-1)=2] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

[eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: y= {2} over {x}]의 그래프를

[eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼

평행이동한 함수 [eqn: y= {2} over {x-1} +2]의 그래프는

그림과 같다.

[eqn: rm O]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= 2 over x-1 +2]

[eqn: y= {2} over {x-1} +2]의 그래프 위의

점 [eqn: rm P` it LEFT ( t,~ {2} over {t-1} +2 RIGHT )](단, [eqn: t>1])에 대하여

직사각형 [eqn: rmROQP]의 넓이 [eqn: S`]는 [eqn: S=t` LEFT ( {2} over {t-1} +2 RIGHT )]이다.

이때, 산술평균, 기하평균의 관계에 의하여

[eqn: S=(t-1+1) LEFT ( {2} over {t-1} +2 RIGHT )][eqn: =4+2` LEFT ( t-1 RIGHT ) + {2} over {t-1}]

[eqn: GEQ 4+2 sqrt {2`(t-1) LEFT ( {2} over {t-1} RIGHT )} =8]

(단, 등호는 [eqn: t=2]일 때 성립한다.)

따라서 직사각형 [eqn: rm ROQP]의 넓이의 최솟값은 [eqn: 8]이다.

[출제의도] 다항식의 곱셈 이해하기

[eqn: a ^{3} +b ^{3} =(a+b) ^{3} -3ab(a+b)=64-12=52]

[출제의도] 절댓값을 포함한 일차부등식 이해하기

(ⅰ) [eqn: x< `-1]일 때, [eqn: -2x+1<5]에서

[eqn: -2<x<`-1]

(ⅱ) [eqn: -1 LEQ x<2]일 때, [eqn: x+1-x+2<5]가

항상 성립하므로 [eqn: -1 LEQ x<2]

(ⅲ)  [eqn: x GEQ 2]일 때, [eqn: 2x-1<5]에서 [eqn: 2 LEQ x<3]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

부등식 [eqn: |`x`+1`|+|`x`-2`|<5]의 해는 [eqn: -2 < x<3]이다.

따라서 정수 [eqn: x]는 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]이므로 개수는 [eqn: 4]이다.

[출제의도] 두 직선의 평행과 수직 이해하기

직선 [eqn: l:x-ay+2=0]과

직선 [eqn: m:4x+by+2=0]이 수직이므로 [eqn: 4-ab=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab=4]

직선 [eqn: l:x-ay+2=0]과

직선 [eqn: n:x-(b-3)y-2=0]이 평행하므로

[eqn: {1} over {1} = {-a} over {-b+3} != 2 over -2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a-b=`-3]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =(a-b) ^{2} +2ab=(-3) ^{2} +2 TIMES4 =17]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =17]

[출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 이해하기

[eqn: x^2 -2x+3 LEQ -x^2 + k]를 정리하면

[eqn: 2x^2 -2x + 3-k LEQ 0]이므로

[eqn: f(x)=2x^2 -2x + 3-k]라 하면

[eqn: f(x)=2` LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {5} over {2} -k]이다.

[eqn: -1 LEQx LEQ1]에서

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=` -1]에서 최댓값을 갖고

그 최댓값이 [eqn: 0]보다 작거나 같아야 하므로

[eqn: f(-1)=`-k+7 LEQ 0]

[eqn: therefore] [eqn: k GEQ 7]

따라서 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 7]이다.

[출제의도] 연립이차부등식 문제해결하기

[eqn: bar{rm QC it} =a]이므로 [eqn: 0<a<12]이고 [eqn: rm bar{BQ} = it 12-a]

이때, 세 [eqn: rmTRIANGLE ABC], [eqn: rmTRIANGLE APR], [eqn: rm TRIANGLE PBQ]는 각각

직각이등변삼각형이므로

[eqn: rm bar{AR} = bar{PR} = it a], [eqn: rm bar{PQ} = bar{BQ} = it 12-a]이다.

직사각형 [eqn: rm PQCR]의 넓이는 [eqn: a(12-a)],

[eqn: rm TRIANGLE PBQ]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} (12-a) ^{2}],

[eqn: rm TRIANGLE APR]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} a ^{2}]이므로

주어진 조건에 의하여

연립이차부등식

[eqn: {cases{``a(12-a)> {1} over {2} (12-a) ^{2}#``a(12-a)> {1} over {2} a ^{2}}}]

의 해를 구하면 [eqn: 4<a<8]

따라서 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이므로 합은 [eqn: 18]이다.

[출제의도] 유리식의 뜻을 알고 실생활 문제해결하기

후보 [eqn: A]를 지지하는 남학생과 여학생의 수를

각각 [eqn: 2a], [eqn: 3a]라 하고

후보 [eqn: B]를 지지하는 남학생과 여학생의 수를

각각 [eqn: 4b], [eqn: 3b]라 하자.

후보 [eqn: B]를 지지하는 학생 수가

후보 [eqn: A]를 지지하는 학생 수의 [eqn: 2]배이므로

[eqn: 5a:7b=1:2]

[eqn: therefore] [eqn: a= 7over10 b]

조사에 참여한 남학생과 여학생의 수의 비 [eqn: m:n]은

[eqn: m:n=(2a+4b):(3a+3b)][eqn: = 54 over 10 b: 51 over 10 b][eqn: =18:17]

이다.

따라서 [eqn: m=18], [eqn: n=17]이므로 [eqn: m+n=35]

[출제의도] 미지수가 3개인 연립일차방정식을
활용하여 실생활 문제해결하기

[eqn: 1]교시에

국어를 신청한 학생 수를 [eqn: x],

수학을 신청한 학생 수를 [eqn: y],

영어를 신청한 학생 수를 [eqn: z]라 하면

주어진 조건으로부터

[eqn: {cases{`0.5x+0.3y+0.4z=49 _{{} _{{} _{}}}#`0.2x+0.5y+0.4z=47 _{{} _{{} _{}}}#`0.3x+0.2y+0.2z=29}}]

연립방정식의 해를 구하면

[eqn: x=40], [eqn: y=50], [eqn: z=35]

따라서 [eqn: 1]교시에 수학을 신청한 학생 수는 [eqn: 50]이다.

[출제의도] 켤레복소수의 성질을 이용하여 삼차방정식의 해 구하기

조건 (가)에 의하여

[eqn: 2+i]가 삼차방정식 [eqn: P`(x)=0]의 근이므로
[eqn: 2-i]도 [eqn: P`(x)=0]의 근이다.
삼차방정식 [eqn: P`(x)=0]의 또 다른 한 근을 [eqn: alpha]라 하면

[eqn: P`(x)=x ^{3} -ax ^{2} +bx-c]

[eqn: =(x-2-i)(x-2+i)(x-alpha)]

[eqn: =(x ^{2} -4x+5)(x- alpha )]

조건 (나)에 의하여

[eqn: P`(1)=2`(1- alpha )=1]이므로 [eqn: alpha = {1} over {2}]이고

[eqn: P`(x)=(x ^{2} -4x+5)(x- 1 over 2 )]이다.

[eqn: P`(-1) =`-15]이고

[eqn: P`(x)=x ^{3} -ax ^{2} +bx-c]에서

[eqn: P`(-1)=`-1-a-b-c=`-15]

따라서 [eqn: a+b+c=14]

[출제의도] 다항식의 최대공약수와 최소공배수
추론하기

두 다항식

[eqn: x ^{3} -x ^{2} -x+1=(x+1)(x-1) ^{2}], [eqn: x ^{3} -4x ^{2} +5x-2=(x-1) ^{2} (x-2)]

의 최대공약수가 [eqn: (x-1) ^{2}]이고 [eqn: x ^{3} -x ^{2} -x+1]은

[eqn: x^2 -1]과 [eqn: (x-1) ^{2}]의 최소공배수이므로 조건 (나), (가)에 의하여 도형 [eqn: A]에는 [eqn: (x-1) ^{2}]을 적을 수 있다.

조건 (가)에 의하여 도형 [eqn: B]에 적을 식과 도형 [eqn: A]에 적을 식 [eqn: (x-1) ^{2}]의 최소공배수가 [eqn: (x-1) ^{2} (x-2)]이므로 도형 [eqn: B]에는

[eqn: x-2] 또는 [eqn: (x-1)(x-2)] 또는 [eqn: (x-1) ^{2} (x-2)]를

적을 수 있다.

(ⅰ) 도형 [eqn: B]에 [eqn: x-2]를 적으면 조건 (가)에 의하여

도형 [eqn: C`]에는 [eqn: (x-1)(x-2)]를 적을 수 있다.

이때, 도형 [eqn: B]에 적은 [eqn: x-2]는 조건 (나)에 의하여

[eqn: (x-1)^2 (x-2)]와 [eqn: (x-1)(x-2)]의

최대공약수 [eqn: (x-1)(x-2)]가 되어야 하므로

모순이다.

따라서 도형 [eqn: B]에 [eqn: x-2]를 적을 수는 없다.

(ⅱ) 도형 [eqn: B]에 [eqn: (x-1)(x-2)]를 적으면

도형 [eqn: C`]에는 [eqn: (x-1)(x-2)]를 적을 수 있다.

(ⅲ) 도형 [eqn: B]에 [eqn: (x-1) ^{2} (x-2)]를 적으면

도형 [eqn: C`]에는 [eqn: (x-1)^2 (x-2)]를 적을 수 있다.

그러므로 도형 [eqn: C`]에 적을 수 있는

다항식은 [eqn: (x-1)(x-2)]와 [eqn: (x-1) ^{2} (x-2)]뿐이다.

이때, 합 [eqn: P`(x)=(x-1)(x-2)+(x-1) ^{2} (x-2)]

[eqn: =x(x-1)(x-2)]

따라서 [eqn: P`(10)=720]