고 2	수학 영역 (B형)

	수학 영역 (B형)	고 2

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2014학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (B형)

제 2 교시

5 지 선 다 형

1. [eqn: root {3} of {(-8) ^{2}} TIMES 9 ^{{1} over {2}}]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 6]        ② [eqn: 9]        ③ [eqn: 12]        ④ [eqn: 18]        ⑤ [eqn: 24]

2. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``2````&``1`#``1````&``1`}}], [eqn: B= {pmatrix{``````1```&2``#-1```&`0``}} `]에 대하여 행렬 [eqn: AB`-A`]의 모든 성분의 합은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: -2]        ② [eqn: -1]        ③ [eqn: 0]        ④ [eqn: 1]       ⑤ [eqn: 2]

3. [eqn: lim _{n` -> `` INF } {} {sqrt {n ^{2} -n} +2n} over {sqrt {n ^{2} +1}} `]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

4. 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: a _{1} +a _{3} =6`], [eqn: a _{3} +a _{5} =26`]일 때, [eqn: a_3 `]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 7]        ② [eqn: 8]        ③ [eqn: 9]        ④ [eqn: 10]        ⑤ [eqn: 11]

5. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 [eqn: 0]의 개수는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 7]        ② [eqn: 9]       ③ [eqn: 11]       ④ [eqn: 13]       ⑤ [eqn: 15]

6. 이차정사각행렬 [eqn: A`]가 다음 조건을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: A+2E`]의 역행렬은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [[eqn: 3]점]

	(가) 행렬 [eqn: A-E`]의 역행렬이 존재한다. (나) [eqn: (A ^{2} -E`)(A+E`)=O`]

① [eqn: -A]                 ② [eqn: - {1} over {2} A]             ③ [eqn: A-E]

④ [eqn: {1} over {2} A]                ⑤ [eqn: A]

7. 첫째항이 [eqn: 10`]이고 공비가 양수인 등비수열 [eqn: left{ `a_ n `right} `]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_n `]이라 하자. [eqn: {a _{8}} over {S _{10} -S _{`8}} = {4} over {3}]일 때, [eqn: a_2]의 값은?

[[eqn: 3]점]

① [eqn: 1]         ② [eqn: 3]         ③ [eqn: 5]         ④ [eqn: 7]         ⑤ [eqn: 9]

8. 정의역이 [eqn: LEFT . LEFT { `x```|``-1 LEQ `x` LEQ 2` RIGHT }]인 함수 [eqn: y=log _{` {1} over {2}} (x ^{2} -2x+3)`]의 최솟값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: -log _{`2} `7]            ② [eqn: -log _{`2`} 6]           ③ [eqn: -log` _{2`} 5]

④ [eqn: -2]              ⑤ [eqn: -log _{`2`} 3]

9. 첫째항이 [eqn: 1`]이고 공차가 [eqn: 3`]인 등차수열 [eqn: left{ a_n ` right} `]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {a _{`2n-1} `a _{`2n+1}} `]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {10} over {61}]                ② [eqn: {12} over {61}]                ③ [eqn: {14} over {61}]

④ [eqn: {16} over {61}]                ⑤ [eqn: {18} over {61}]

10. 연립부등식

[eqn: LEFT { eqalign{`log` _{{1} over {2}} `|`x-5`|`>`-3# `log _{`3} `x`+log _{`3} (x+2)` GEQ 1} RIGHT .]

를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 5]        ② [eqn: 7]       ③ [eqn: 9]        ④ [eqn: 11]        ⑤ [eqn: 13]

11. 어느 해상에서 태풍의 최대 풍속은 중심 기압에 따라 변한다. 태풍의 중심 기압이 [eqn: P``]([eqn: rm hPa])일 때 최대 풍속 [eqn: V`]([eqn: rm m/]초)는 다음 식을 만족시킨다고 한다.

[eqn: V``=`4.86`(1010`-`P) ^{0.5} ``]

이 해상에서 태풍의 중심 기압이 [eqn: 900]([eqn: rmhPa])과 [eqn: 960]([eqn: rmhPa])일 때, 최대 풍속이 각각 [eqn: V _{A it}]([eqn: rm m/]초), [eqn: V_{B}`]([eqn: rm m/]초)이었다. [eqn: {V _{ A it}} over {V _{B}} `]의 값은? (단, [eqn: log`1.1=0.0414`], [eqn: log1.472=0.1679], [eqn: log`1.483=0.1712], [eqn: log`2=0.3010`]으로 계산한다.) [[eqn: 3]점]

① [eqn: 1.301]              ② [eqn: 1.414]              ③ [eqn: 1.472]

④ [eqn: 1.483]              ⑤ [eqn: 1.679]

12. 첫째항이 [eqn: 1`]인 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: a _{n+1} >a _{n} `] (나) [eqn: (`a _{n} +a _{n+1} ) ^{2} =4a _{n} a _{n+1} +4 ^{n} `]

[eqn: a _{10} `]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 1021]    ② [eqn: 1022]    ③ [eqn: 1023]    ④ [eqn: 1024]    ⑤ [eqn: 1025]

[13~14] 두 곡선 [eqn: boldy=2 ^{x}], [eqn: boldy=4 ^{x`}]이 직선 [eqn: {bold{x=k`}}]와 만나는 점을 각각 [eqn: bold{rmA]와 [eqn: {bold{rm B it}}], 직선 [eqn: {bold{y=m`(0<m<1)`}}]과 만나는 점을 각각 [eqn: bold{rmC]와 [eqn: bold{rmD]라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13. [eqn: k=log` _{2`} 3`]이고 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{CD}} `]일 때, [eqn: m]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {1} over {2 ^{4}}]      ② [eqn: {1} over {2 ^{6}}]      ③ [eqn: {1} over {2 ^{8}}]      ④ [eqn: {1} over {2 ^{10}}]      ⑤ [eqn: {1} over {2 ^{12}}]

14.  [eqn: k`]가 자연수일 때 선분 [eqn: rmAB]의 길이를 [eqn: l _{k`}]라 하자.

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} `l _{k} `]라 할 때, [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {} {S _{n}} over {4 ^{n+1}}]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 1 over 3]        ② [eqn: 2 over 3]        ③ [eqn: 1]        ④ [eqn: 4over 3]        ⑤ [eqn: 5 over 3]

15. [eqn: 1<k<128`]인 실수 [eqn: k`]에 대하여 직선 [eqn: x=k`]가 두 로그함수 [eqn: y=log` _{2`} x], [eqn: y=log _{{1} over {4}} x`]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rm`A], [eqn: rm B`]라 하자. 선분 [eqn: rmAB`]의 길이가 자연수가 되도록 하는 모든 [eqn: k`]의 값의 곱을 [eqn: M`]이라 할 때, [eqn: 3`log _{`2} `M`]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 80]      ② [eqn: 90]      ③ [eqn: 100]      ④ [eqn: 110]      ⑤ [eqn: 120]

16. 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2 ^{n-1} ` LEQ `n!`]임을 이용하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {3 ^{k-1} +1} over {2·k!} LEQ {3 ^{n} -1} over {2 ^{n}}] …… (★)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

	<증명> (ⅰ) [eqn: n=1``]일 때, (좌변)[eqn: = {BOX{`````````㈎`````````}}] 이고 (우변)[eqn: =1`]이므로 (★)이 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=m]일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 [eqn: sum _{k=1} ^{m} {3 ^{k-1} +1} over {2·k!} LEQ {3 ^{m} -1} over {2 ^{m}}]이다. [eqn: n=m+1`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{m+1} {3 ^{k-1} +1} over {2·k!} & = sum _{k=1} ^{m} {3 ^{k-1} +1} over {2·k!} `+`` {BOX{`````````㈏`````````}} `# ``````````````````````````````````````````` & LEQ ` {3 ^{m} -1} over {2 ^{m}} `+`` {BOX{`````````㈏`````````}} ````````] 한편, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2 ^{n-1} ` LEQ `n!`]이 성립하므로 [eqn: sum _{k=1} ^{m+1} {3 ^{k-1} +1} over {2·k!}][eqn: LEQ ` {3 ^{m} -1} over {2 ^{m}} `+`` {BOX{`````````㈏`````````}} `] [eqn: LEQ {3 ^{m} -1} over {2 ^{m}} + {3 ^{m} +1} over {{BOX{`````````㈐`````````}} `} = {3 ^{m+1} -1} over {{BOX{`````````㈐`````````}}} `] 이 성립한다. 따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 (★)이 성립한다. 그러므로 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (★)이 성립한다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p`], (나), (다)에 알맞은 식을각각 [eqn: f(m)`,```g(m)`]이라 할 때, [eqn: f(p) TIMES `g(p)`]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 2]        ② [eqn: 4]        ③ [eqn: 8]        ④ [eqn: 16]        ⑤ [eqn: 32]

17. 그림과 같이 좌표평면 위에 원점 [eqn: rm O], [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rmA`], 제[eqn: 1`]사분면 위의 점 [eqn: rmB]를 세 꼭짓점으로 하는 정삼각형 [eqn: rm rmOAB]가 있다.

[eqn: rmO]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: x]

[eqn: y]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 정삼각형 [eqn: rm rmOAB]를 좌표평면에서 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 [eqn: {n`pi} over {3}]만큼 회전시킨 정삼각형과 직선 [eqn: y=nx]가 만나는 점의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. 이때 [eqn: sum _{n=1} ^{100} a _{n}]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 133]      ② [eqn: 135]      ③ [eqn: 137]      ④ [eqn: 139]      ⑤ [eqn: 141]

18. 부등식 [eqn: (`x-4) ^{2} +(y-1) ^{2} ` LEQ 4`]를 만족시키는 좌표평면 위의 점 [eqn: rmP(`itx`,```y)]에 대하여 행렬 [eqn: A`]를 [eqn: A= {pmatrix{```3&````y`#``4&````x-1`}} `]이라 하자. 행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하지 않을 때, 점 [eqn: rmP(`itx`,```y)]가 나타내는 도형의 길이는? [[eqn: 4]점]

① [eqn: sqrt {3}]      ② [eqn: sqrt {6}]      ③ [eqn: 3]       ④ [eqn: 2 sqrt {3}]      ⑤ [eqn: sqrt {15}]

19. 곡선 [eqn: y=log _{`2} `x] 위의 점 [eqn: rm A(`4`,```2`)]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y=4 ^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rm C( it x _{1} `,```y _{1} `)]이라 하고, 곡선 [eqn: y=log _{`2} `x] 위의 점 [eqn: rm B LEFT ( {1} over {2} `,```-1 RIGHT )]을 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y=4 ^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rm D( it x _{2} `,```y _{2} `)]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4]점]

[eqn: y=log _{`2} `x]

[eqn: y=4 ^{x}]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: `x _{1} +x _{2} >`0] ㄴ. [eqn: y _{1} `y _{2} >1] ㄷ. [eqn: {y _{1} -y _{2}} over {x _{1} -x _{2}} > {7} over {6}]

① ㄱ                  ② ㄷ                   ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ              ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정육각형 [eqn: A_1`]이 있다. 그림과 같이 [eqn: A_1]의 내부에 반지름의 길이가 같은 원 [eqn: 6`]개를 서로 외접하면서 [eqn: A_1`]의 각 변의 중점에 접하도록 그리고 [eqn: A_1`]의 내부와 [eqn: 6`]개의 원의 외부로 이루어진 영역 중 [eqn: A_1`]의 각 변과 원으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1 `]이라 하자.
그림 [eqn: R_1 `]에 그려진 [eqn: 6`]개의 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 [eqn: A_2 `]라 하자. 그림 [eqn: R_1 `]에 [eqn: R_1`]을 얻은 것과 같은 방법으로 [eqn: A_2 `]의 내부에 반지름의 길이가 같은 원 [eqn: 6`]개를 서로 외접하면서 [eqn: A_2`]의 각 변의 중점에 접하도록 그리고 [eqn: A_2`]의 내부와 [eqn: A _{2} `]의 내부에 그린 [eqn: 6`]개의 원의 외부로 이루어진 영역 중 [eqn: A_2`]의 각 변과 원으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2 `]라 하자.
그림 [eqn: R_2 `]에 새로 그려진 [eqn: 6`]개의 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 [eqn: A_3 `]이라 하자. 그림 [eqn: R _{2} `]에 [eqn: R_1`]을 얻은 것과 같은 방법으로 [eqn: A_3 `]의 내부에 반지름의 길이가 같은 원 [eqn: 6`]개를 서로 외접하면서 [eqn: A_3`]의 각 변의 중점에 접하도록 그리고 [eqn: A_3`]의 내부와 [eqn: A_3`]의 내부에 그린 [eqn: 6`]개의 원의 외부로 이루어진 영역 중 [eqn: A_3`]의 각 변과 원으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3 `]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_n `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{ n``->``inf} { S_n}`]의 값은? [[eqn: 4]점]

[eqn: R _{1} `]

[eqn: R _{2} `]

[eqn: R _{3}]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

① [eqn: 4 sqrt {3} -pi]           ② [eqn: 6 sqrt {3} -2 pi]        ③ [eqn: 4 sqrt {3} - {pi } over {2}]

④ [eqn: 6 sqrt {3} - pi]           ⑤ [eqn: 8 sqrt {3} -2 pi]

21. [eqn: 3`]행 [eqn: 3`]열로 이루어진 바닥에 고정된 숫자판이 있다. [그림]과 같이 이 숫자판에서 이웃한 두 행과 이웃한 두 열이 교차하여 만들어지는 오른쪽 위, 오른쪽 아래, 왼쪽 아래, 왼쪽 위에 있는 두 행과 두 열의 네 칸으로 이루어진 영역을 각각 [eqn: A _{1}], [eqn: A _{2}], [eqn: A _{3}], [eqn: A _{0}]이라 하자.

[eqn: A _{1}]

[eqn: A _{2}]

[eqn: A _{3}]

[eqn: A _{0}]

제[eqn: 1]행

제[eqn: 2]행

제[eqn: 3]행

제

[eqn: 1]

열

제

[eqn: 2]

열

제

[eqn: 3]

열

[그림]

[eqn: 0] 이상의 정수 [eqn: n`]에 대하여 숫자판 [eqn: T _{n`}]을 다음과 같은 규칙에 따라 만든다.

	(가) 모든 칸에 [eqn: 0`]을 써 만든 숫자판이 [eqn: T_0 `]이다. [eqn: T _{0}] (나) [eqn: n GEQ 1`], [eqn: m=(][eqn: n`]을 [eqn: 4`]로 나눈 나머지)일 때, 숫자판 [eqn: T _{n-1`}]에서 영역 [eqn: A _{m`}]의 네 칸에만 각각 [eqn: n`]을 더하여 만든 숫자판이 [eqn: T _{n} `]이다. [eqn: T _{1}] [eqn: T _{2}] [eqn: T _{3}] [eqn: T _{4}] [eqn: T _{5}] [eqn: cdots] [eqn: cdots]

숫자판 [eqn: T _{n} ``]에서 제[eqn: 2`]행에 있는 세 수를 왼쪽부터 차례대로 [eqn: a_n `], [eqn: b_n `], [eqn: c_n `]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a _{5} =7], [eqn: b _{5} =15], [eqn: c _{5} =8`]이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: b _{8} =36`] ㄴ. [eqn: c _{4n} = sum _{k=1} ^{n} (8k-5)] ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{4n} =1505`]

① ㄱ                  ② ㄷ                  ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ              ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

22. 행렬 [eqn: {pmatrix{``2````&`1`#``7````&`3`}}]의 역행렬의 모든 성분의 곱을 구하시오. [[eqn: 3]점]

23. [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} =4`], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} =`-3`]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{inf} (5a _{n} -2b _{n} )`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

24. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``1`````&`2``#``0`````&`2``}} `]에 대하여 [eqn: A ^{9} = {pmatrix{``1```&```a`#``0```&```b`}} `]일 때, [eqn: a-b`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

25. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S_n `]이

[eqn: S_n = (n+1)^ 2`]일 때 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {10a _{n}} over {n}]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

26. 지수방정식 [eqn: 2` ^{x} -2 ^{-x+2} =2 sqrt {5}]를 만족시키는 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: left( sqrt {2} right) ^{x}]의 값을 [eqn: {sqrt {a} + sqrt {b}} over {2}]라 하자. 이때 두 자연수 [eqn: a`,```b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

27. 다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: A]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

시  작

[eqn: N`` larrow ``0# A`` larrow ``3]

[eqn: N`` larrow ``N+1]

[eqn: A`` larrow ``A+2N+3]

[eqn: N=10`?]

[eqn: A`]를 인쇄

끝

아니요

예

28. [eqn: log _{`2} `65]의 소수 부분을 [eqn: a`], [eqn: log _{`5} `72]의 소수 부분을 [eqn: b`]라 하자. 두 자연수 [eqn: p`]와 [eqn: q`]에 대하여 [eqn: 2` ^{p+a} `times5` ^{q`+b} `]의 값이 [eqn: 100`]의 배수가 될 때, [eqn: p+q`]의 최솟값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

29. 첫째항과 공비가 모두 [eqn: 0]이 아닌 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} +m sum _{n=2} ^{INF } a _{n} =0`]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 최솟값을 [eqn: N`]이라 할 때, [eqn: 10N`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

30. [eqn: 1`]보다 큰 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log `x `]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f(x) `], [eqn: g(x)`]라 하자. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: f` LEFT ( ` {10 ^{`n}} over {x} RIGHT ) =g` LEFT ( ` {10 ^{`n}} over {x} RIGHT ) (`n-1)`]

을 만족시키는 모든 [eqn: x`]의 값의 곱을 [eqn: a_n `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=2} ^{10} log`a _{n}]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.