수학 영역(나형)

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2016학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

5지선다형

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1. [eqn: left(4 ^{` {3} over {4}} right) ^{`{2} over {3}}`]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 1over2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

2. [eqn: lim _{n -> INF } {} sqrt{4n ^{2} +4n+3}over{n}`]의 값은? [2점]

① [eqn: sqrt2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2sqrt2]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4sqrt2]

3. 등비수열 [eqn: left{ a_{`n} right} `]에 대하여 [eqn: a_{`2} = 4`], [eqn: a_{`4} = 8`]일 때, [eqn: a_{`6}`]의 값은?

[2점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

4. 전체집합 [eqn: U`=left{`x`|`x`는 ~10~이하의~자연수right}`]의 두 부분집합 [eqn: A`=` LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7 RIGHT }`], [eqn: B`= LEFT { 1,~3,~5,~7,~9 RIGHT } `]에 대하여
집합 [eqn: A^{C} capB^{`C} `]의 원소의 개수는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

5. 양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: {log _{`2} `a over 4} = b`]일 때, [eqn: 2^{`b} over a `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 16]	② [eqn: 1 over 8]	③ [eqn: 1 over 4]	④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 1]

6. 두 집합 [eqn: X = left{ 1,~2,~3 right}`], [eqn: Y = left{ 1,~2,~3,~4 right}`]에 대하여
집합 [eqn: X`]에서 집합 [eqn: Y`]로의 일대일함수를 [eqn: f(x)`]라 하자. [eqn: f(2)=4]일 때, [eqn: f(1)+f(3)`]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

7. 어느 고등학교 [eqn: 3`]학년 [eqn: 1`]반 학생 [eqn: 33`]명을 대상으로 책 [eqn: rm A],
책 [eqn: rm B`]를 읽었는지 조사하였다. 책 [eqn: rm A`]를 읽지 않고 책 [eqn: rm B`]만 읽은 학생이 [eqn: 15`]명일 때, 책 [eqn: rm A]와 책 [eqn: rm B`]를 모두 읽은 학생 수의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

8. [eqn: 1`]이 아닌 두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 7` log `a = 2` log `b`]일 때, [eqn: 8 over 21` log _{`a} `b `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 3]

9. 유리함수 [eqn: y= 5 over {x-p} +2 `]의 그래프가 제[eqn: 3`]사분면을 지나지 않도록 하는 정수 [eqn: p`]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

10. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: n x^{`2} - (2n^{`2} -n )x -5 = 0 `]의
두 근의 합을 [eqn: a`_n`]([eqn: n`]은 자연수)라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{10} {a _{`k}}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 88]	② [eqn: 91]	③ [eqn: 94]	④ [eqn: 97]	⑤ [eqn: 100]

11. 두 집합 [eqn: A= LEFT { `x`|`x는~자연수 RIGHT } `], [eqn: B = left{ 0,~1,~2,~3 right}`]에 대하여 두 함수 [eqn: f`:`A``` -> ```A`], [eqn: g`:`A``` -> ```B`]가

[eqn: f(x)=m`x`]

[eqn: g(x)=(`x]를 [eqn: 4`]로 나눈 나머지[eqn: )]

이다. 합성함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) (x)`]의 치역의 원소의 개수가 [eqn: 1`]이 되도록 하는 자연수 [eqn: m`]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

12. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=g(x)]가 원점과
점 [eqn: (3,`3)`]에서 만난다.	[eqn: h(x) = lim _{n->inf} {{left{f(x)right} `^{n+1} +5left{g(x)right}` ^{n}} over {left{f(x)right} ` ^{n} +left{g(x)right} ` ^{n}}}]
일 때, [eqn: h(2)+h(3)]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[13 ~ 14] 자연수 [eqn: bold{n}`]에 대하여 좌표가 [eqn: bold{(0,``3n+1)}`]인 점을 [eqn: bold{rmP_{`it n}}`], 함수 [eqn: bold{f(x)=x ` ^{2} (x ge 0)`}`]이라 하자. 점 [eqn: bold{rmP_{`it n}}`]을 지나고 [eqn: bold{x`}`]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: boldy=f(x)`]와 만나는 점을 [eqn: bold{rm Q_{` it n } }`]이라 할 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13. 점 [eqn: rm Q_{`it n}`]의 [eqn: y`]좌표를 [eqn: a _{`n} `]이라 할 때, [eqn: f ^{`-1} (a _{`2} )`cdot`f ^{`-1} (a _{`9} )`]의 값은?

[3점]

① [eqn: {7 root2 }over2]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 7 root2]	④ [eqn: 7 root3]	⑤ [eqn: 14]

14. 곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: rm R`_{it n}`]은 직선 [eqn: rm`P_{it n}R_{it n}`]의 기울기가 음수이고 [eqn: y`]좌표가 자연수인 점이다. 삼각형 [eqn: rm P _{it `n rm} OQ _{it `n }]의 넓이를 [eqn: S_n], 삼각형 [eqn: rm `P _{it `n rm} OR _{it `n }]의 넓이가 최대일 때 삼각형 [eqn: rm `P _{it `n rm} OR _{it `n }]의 넓이를 [eqn: T_n `]이라 하자. [eqn: lim _{n -> INF } {}{ S _{`n} -T _{n} }over{sqrtn}]의 값은?
(단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: sqrt {3} over4]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: root5 over 4]	④ [eqn: root6 over 4]	⑤ [eqn: root7 over 4]

15. 무리함수 [eqn: f(x)=root{x-k}`]에 대하여 좌표평면에 곡선 [eqn: y=f(x) `]와 세 점 [eqn: rm A (1,~6)`], [eqn: rm B(7,~1)`], [eqn: rm C(8,~9)`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x) `]와 함수 [eqn: f(x) `]의 역함수의 그래프가 삼각형 [eqn: rm ABC`]와 만나도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2]

16. 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( -1 RIGHT ) ` ^{k+1} `k` ^{2} `=` LEFT ( -1 RIGHT ) ` ^{n+1} CDOT {n` LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} `] …… (*)
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n`=`1`]일 때,

(좌변)[eqn: `=` LEFT ( -1 RIGHT ) `^{2} times1 ` ^{2} `=`1]

(우변)[eqn: `=` LEFT ( -1 RIGHT ) ` ^{2} times {1times2} over {2} `=`1]

따라서 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n`=`m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( -1 RIGHT ) `^{k+1} `k `^{2} `=` sum _{k=1} ^{m} LEFT ( -1 RIGHT ) ` ^{k+1} `k` ^{2} `+` {BOX{``(가)``}}]

[eqn: `=` {BOX{``(나)``}} +` {BOX{``(가)``}} `]

[eqn: =` LEFT ( -1 RIGHT ) ` ^{m+2} CDOT {` LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )} over {2} `]

이다.

따라서 [eqn: n`=`m+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(`m)`], [eqn: g(`m)`]이라 할 때, [eqn: {f(5)} over {g(2)}]의 값은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

17. 두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 한 변의 길이가 [eqn: a+b`]인 정사각형 [eqn: rmABCD`]의 네 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC], [eqn: rmDC], [eqn: rmDA`]를 각각 [eqn: a:b`]로 내분하는 점을 [eqn: rmE], [eqn: rmF], [eqn: rmG], [eqn: rmH`]라 하고, 선분 [eqn: rmFH`]의 중점을 [eqn: rmM`]이라 하자. 그림은 위의 설명과 같이 그린 한 예이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: rm {bar{`FM}} `=` {bar{` GM}}``] ㄴ. [eqn: rm triangle EFM` GEQ rm triangle FGM`] ㄷ. [eqn: rm bar FH =6root2`]일 때, 삼각형 [eqn: rm FGM`]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 9`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형이 있다. 그림과 같이 지름이 [eqn: 2`]인 두 원이 서로 한 점 [eqn: rm P_{`1}`]에서 만나고 정사각형의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 [eqn: rm Q_{`1} `]이라 하고, 선분 [eqn: rm P_{`1} Q_{`1}`]을 대각선으로 하는 정사각형 [eqn: R_{`1}`]을 그린다. 이때, [eqn: R_{`1}`]의 한 변의 길이를 [eqn: l_{`1}`]이라 하자.
지름이 [eqn: l_{`1} over 2 `]인 두 원이 서로 한 점 [eqn: rm P_{`2}`]에서 만나고 정사각형 [eqn: R_{`1}`]의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 [eqn: R_{`1}`]의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 [eqn: rm Q_{`2} `]라 하고, 선분 [eqn: rm P_{`2} Q_{`2}`]를 대각선으로 하는 정사각형 [eqn: R_{`2}`]를 그린다. 이때, [eqn: R_{`2}`]의 한 변의 길이를 [eqn: l_{`2}`]라 하자.
지름이 [eqn: l_{`2} over 2 `]인 두 원이 서로 한 점 [eqn: rm P_{`3}`]에서 만나고 정사각형 [eqn: R_{`2}`]의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 [eqn: R_{`2}`]의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 [eqn: rm Q_{`3} `]이라 하고, 선분 [eqn: rm P_{`3} Q_{`3}`]을 대각선으로 하는 정사각형 [eqn: R_{`3}`]을 그린다. 이때, [eqn: R_{`3}`]의 한 변의 길이를 [eqn: l_{`3}`]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 그린 정사각형 [eqn: R_{`n}`]의 한 변의 길이를 [eqn: l_{`n}`]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf } l_{`n} `]의 값은? [4점]

	…

① [eqn: {12( 3+ 4 root2 )} over 23]	② [eqn: {24(2+ root2 )} over 23]	③ [eqn: {12( 1+ 4 root2 )} over 23]

④ [eqn: {3( 3+ 2 root2 )} over 7]	⑤ [eqn: {3( 3+ root2 )} over 7]

19. 이차함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(0)=f(2)=0]

(나) 이차방정식 [eqn: f(x)-6(x-2)=0`]의 실근의 개수는 [eqn: 1`]이다.

방정식 [eqn: (`f CIRC f)(x)=`-3`]의 서로 다른 실근을 모두 곱한 값은?

[4점]

① [eqn: - 1 over 3]	② [eqn: - 2 over 3]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: - 4 over 3]	⑤ [eqn: - 5 over 3]

20. 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: LEFT | LEFT ( n+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} -m RIGHT | < {1} over {2}]
을 만족시키는 자연수 [eqn: m`]을 [eqn: a_{`n} `]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{`k} `]의 값은?

[4점]

① [eqn: 65]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 75]	④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 85]

21. 수열 [eqn: left{ a_{`n} right} `]에 대하여
집합 [eqn: A = left{`x `|` x^{`2} -1 < a < x^{`2}+2x,~ x`는~자연수 right}`]
가 공집합이 되도록 하는 자연수 [eqn: a`]를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n`]번째 수를 [eqn: a_{`n} `]이라 하자.
예를 들어, [eqn: a=3`]은 [eqn: x^2 -1 <a<x^2 +2x`]를 만족시키는 자연수 [eqn: x`]가 존재하지 않는 첫 번째 수이므로 [eqn: a_1 =3`]이다.
[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} { 1} over {a_{`n} }`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 3 over4]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 5 over 4]	⑤ [eqn: 3 over 2]

단답형

22. [eqn: log _{`4} `a=` {7} over {2} `]일 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 수열 [eqn: LEFT { a` _{n} RIGHT } `]이 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{`k} =2n-1`]을 만족시킬 때, [eqn: a _{`10} `]의 값을 구하시오. [3점]

24. [eqn: 100`] 이하의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: root 3 of {4^{`n} `]이 정수가 되도록 하는 [eqn: n`]의 개수를 구하시오. [3점]

25. 실수 전체의 집합 [eqn: R`]의 두 부분집합
[eqn: A = left{` x `|` x^2 -x -12 LEQ 0 right}`], [eqn: B `= left{ `x ` |` x<a ~또는~ x>b right}`]
가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A cup B `= R]

(나) [eqn: A-B` = left{ `x`|`-3 LEQ x LEQ 1 right}]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: b-a`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y= x^{`2} - left( 4 + 1overn right) x + 4 over n `]와 직선 [eqn: y = 1 over n x +1`]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm P_{it n} `], [eqn: rm Q_{`it n}`]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm OP_{it n} Q_{`it n}`]의 무게중심의 [eqn: y`]좌표를 [eqn: a_{`n}`]이라 할 때, [eqn: 30`lim _{n->inf} a_{`n}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O `]는 원점이다.) [4점]

27. 전체집합 [eqn: U `= left{` x` |`x`는~ 8~이하의~ 자연수 right}`]에 대하여 조건 ‘[eqn: p`:`x` ^{2} leq2x+8`]’의 진리집합을 [eqn: P`], 두 조건 [eqn: q`], [eqn: r`]의 진리집합을 각각 [eqn: Q`], [eqn: R`]라 하자. 두 명제	[eqn: p`` -> ``q`]와 [eqn: sim p `` -> ``r`]가 모두 참일
때, 두 집합 [eqn: Q`], [eqn: R`]의 순서쌍 [eqn: (Q,~ R)`]의 개수를 구하시오. [4점]

28. 두 함수
[eqn: f(x)= {cases{`x ^{2} +2ax+6&`(x<`0)#`x+6&`(x GEQ 0)}}`],  [eqn: g(x)=x+10`]
에 대하여 합성함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) (x)`]의 치역이 [eqn: LEFT { `y`|`y GEQ 0 RIGHT } `]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [4점]

29. 두 집합
[eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT }], [eqn: B`= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6,```7,```8 RIGHT } `]
에 대하여 집합 [eqn: P`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: n LEFT ( P SMALLINTER A RIGHT ) =2`]

(나) [eqn: P-B= EMPTYSET `]

(다) 집합 [eqn: P`]의 모든 원소의 합은 [eqn: 28`]이다.

집합 [eqn: P`-A`]의 모든 원소의 곱을 구하시오. [4점]

30. 유리함수 [eqn: f(x)= {8x} over {2x-15}`]와 수열 [eqn: left{ a_{`n} right}`]에 대하여
[eqn: a_{`n} = f(n)`]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{m} a` _{n} ` LEQ 73`]을 만족시키는 자연수 [eqn: m`]의 최댓값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.