2014학년도 인하대학교

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수시모집 2차 논술고사 (자연계열)

■【문제 1】(25점), 답안지의 [수학 1] 답란에 답안을 작성하시오.

<제시문>

지수함수 [eqn: f(x)=e ^{x} `]는 [eqn: x`]가 커짐에 따라 매우 빠르게 커진다. 특히, 임의의 실수 [eqn: k``(k GEQ 0)`]에 대하여

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {` {x ^{`k}} over {e ^{`x}} `=0`}]

이 성립한다.

(1-1) [eqn: y=x ^{3} `e ^{-x ^{2}} `]의 점근선, 대칭성, 극값, 변곡점을 기술하고, 그래프의 개형을 그리시오. (15점)

(1-2) [eqn: lim _{t` -> ` INF } {` int _{0} ^{t} {`x ^{3} `e ^{-x ^{2}} `dx} `}]의 값을 구하시오. (10점)

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수시모집 2차 논술고사 (자연계열)

■【문제 2】(25점), 답안지의 [수학 2] 답란에 답안을 작성하시오.

(※) 양의 정수 [eqn: n`]에 대하여 집합 [eqn: A _{n} `]을

[eqn: A _{n} = LEFT { `(x _{1} ,`x _{2} ,` CDOTS ,`x _{n} )```|```x _{i} ` IN LEFT { 1,`2,`3,`4 RIGHT } ,```x _{1} +x _{2} +` CDOTS `+x _{n} `은```5의```배수` RIGHT } `]

라 하고, [eqn: A _{n} `]의 원소의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. 예를 들면,

[eqn: A _{1} `= EMPTYSET](공집합),  [eqn: A _{2} `= LEFT { `(1,`4),`(2,`3),`(3,`2),`(4,`1)` RIGHT }]

이므로 [eqn: a _{1} =0,``a _{2} =4``]이다. 또한, [eqn: (1,`1,`3)` IN A _{3} `]이다.

(2-1) [eqn: a _{3} `]의 값을 구하시오. (5점)

(2-2) [eqn: n` GEQ 2]일 때, [eqn: a _{n} `]과 [eqn: a _{n-1} `]의 관계식을 구하시오. (10점)

(2-3) [eqn: a _{n} `]을 [eqn: n`]의 식으로 나타내시오. (10점)

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수시모집 2차 논술고사 (자연계열)

■【문제 3】(25점), 답안지의 [수학 3] 답란에 답안을 작성하시오.

<제시문>

(가) 중심이 원점이고 닮음비가 [eqn: k``(k != 0)`]인 닮음변환을 나타내는 행렬은 [eqn: {pmatrix{k&``0#0&``k}} `]이다. 또한 원점을 중심으로 각 [eqn: theta `]만큼 회전시키는 회전변환을 나타내는 행렬은 [eqn: {pmatrix{cos` theta &```-sin` theta #sin` theta &```````````cos` theta }} `]이다.

(나) 두 일차변환 [eqn: f,``g``]를 나타내는 행렬을 각각 [eqn: A,``B``]라 하면, 합성변환 [eqn: g` CIRC f``]도 일차변환이고 이를 나타내는 행렬은 [eqn: BA`]이다.

(다) 영행렬 및 닮음변환과 회전변환의 합성변환을 나타내는 모든 행렬의 집합을

[eqn: T``= LEFT { ``kP`````|````k`는``실수,``P``는```회전변환을```나타내는```행렬` RIGHT } `]

이라 하자. 이때, [eqn: A,`B`` IN T``]이면 [eqn: AB`` IN T``]이고, [eqn: A+B`` IN T``]이다.

(※) 원점을 중심으로 각 [eqn: theta ``(0< theta < pi )`]만큼 회전시키는 회전변환을 나타내는 행렬을 [eqn: A`], 단위행렬을 [eqn: E``]라 하자.

(3-1) 행렬 [eqn: E+A`]는 닮음비가 [eqn: k>0`]인 닮음변환과 회전변환의 합성변환을 나타낸다. 이때, [eqn: k`]를 [eqn: theta `]로 나타내시오. (10점)

(3-2) 등식 [eqn: (E+cA) ^{6} =E``]를 만족하는 모든 양수 [eqn: c`]와 그에 대응되는 [eqn: cos` theta `]의 값을 구하시오. (15점)

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■【문제 4】(25점), 답안지의 [수학 4] 답란에 답안을 작성하시오.

<제시문>

(가) 자연로그 [eqn: ln`2`]와 [eqn: ln`5`]의 값은 각각 약 [eqn: 0.693,``1.609`]이다. 즉, [eqn: 0.69<ln2<0.70,````1.60<ln5<1.61]이다.

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 증가함수라는 것은 [eqn: a<b`]일 때, [eqn: f(a)<f(b)`]라는 뜻이다. 예를 들어 [eqn: f(x)=lnx`]는 증가함수이다.

(4-1) 부정적분 [eqn: int _{} ^{} {ln`x`dx} `]를 구하시오. (5점)

(4-2) 두 수 [eqn: 2 ^{1200`} `]과 [eqn: 200`!`] 중 어느 것이 더 큰지 판정하시오. (10점)

(4-3) 모든 양의 정수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n ^{t`n} ` GEQ `n`!``]이 성립하는 실수 [eqn: t`]의 최솟값을 구하시오. (10점)

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수시모집 2차 논술고사 연습장

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