• 2교시 수학 영역 •

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2015학년도 11월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

[가 형]

1	②	2	③	3	②	4	④	5	③
6	⑤	7	④	8	①	9	②	10	①
11	①	12	③	13	②	14	⑤	15	④
16	①	17	⑤	18	③	19	③	20	④
21	⑤	22	45	23	16	24	40	25	9
26	144	27	24	28	7	29	15	30	20

1. [출제의도] 지수방정식 계산하기

[eqn: 2 ^{2x+1} =2 ^{5}]이므로 [eqn: 2x+1=5]

따라서 [eqn: x=2]

2. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{5 TIMES 3 ^{n}} over {3 ^{n} +1}} = lim _{n` -> ` INF } {{5} over {1+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}} =5}]

3. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -f(1)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {2h} ` TIMES `2}]

[eqn: =2f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) `=`2` TIMES `2`=`4]

4. [출제의도] 호도법을 이용하여 계산하기

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

(부채꼴의 넓이)[eqn: = {1} over {2} r ^{2} ` TIMES `2=36]  [eqn: THEREFORE `r=6` LEFT ( r>0 RIGHT )]

따라서 (부채꼴의 호의 길이)[eqn: =6` TIMES `2`=`12]

5. [출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기

주어진 함수는 감소함수이므로

[eqn: x=2]일 때, 최댓값 [eqn: y=log _{{1} over {2}} 8=`-3]

6. [출제의도] 삼각함수의 미분 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =sinx+ LEFT ( x+ pi RIGHT ) cosx]

[eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =sin`0+ LEFT ( 0+ pi RIGHT ) cos`0= pi]

7. [출제의도] 다항함수의 극한 이해하기

주어진 조건에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 2]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +ax+b]라 하자.

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: 2-a+b=0] [eqn: THEREFORE `b=a-2]

[eqn: lim _{x` -> `-1} {{2x ^{2} +ax+a-2} over {x+1}}][eqn: = lim _{x` -> `-1} {{LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x+a-2 RIGHT )} over {x+1}}][eqn: = lim _{x` -> `-1} {` LEFT ( 2x+a-2 RIGHT )} `=`a-4`=3]   [eqn: THEREFORE `a=7], [eqn: b=5]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +7x+5]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =14]

8. [출제의도] 적분과 미분의 관계 이해하기

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면
[eqn: 0=1+a+1]  [eqn: THEREFORE `a=`-2]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -4x]

따라서 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =7]

9. [출제의도] 삼각방정식 이해하기

[eqn: 2cos ^{2} x+3sinx-3`=0`]에서

[eqn: 2 LEFT ( 1-sin ^{2} x RIGHT ) +3sinx-3=0]

[eqn: LEFT ( 2sinx-1 RIGHT ) LEFT ( sinx-1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `sinx= {1} over {2}] 또는 [eqn: sinx=1]

[eqn: x= {pi } over {6}] 또는 [eqn: x= {5} over {6} pi] 또는 [eqn: x= {pi } over {2}]

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: {3} over {2} pi`]

10. [출제의도] 함수의 극한 추론하기

두 점 [eqn: rm P], [eqn: rmQ]의 좌표가

[eqn: rm P LEFT ( it `t,``t ^{2} -t RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( it `t,`` sqrt {2t+1} -1 RIGHT )]이므로

[eqn: A` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} t LEFT | t ^{2} -t RIGHT |], [eqn: B` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} t LEFT | sqrt {2t+1} -1 RIGHT |]

[eqn: lim _{t` -> `0+} {{B` LEFT ( t RIGHT )} over {A` LEFT ( t RIGHT )}} `][eqn: =` lim _{t` -> `0+} {{{t} over {2} LEFT | sqrt {2t+1} -1 RIGHT |} over {{t} over {2} LEFT | t ^{2} -t RIGHT |}}]
[eqn: = lim _{t` -> `0+} {{sqrt {2t+1} -1} over {t LEFT ( 1-t RIGHT )}} `] ([eqn: BECAUSE `0<t`<1])
[eqn: = lim _{t` -> `0+} {{2t} over {t LEFT ( 1-t RIGHT ) LEFT ( sqrt {2t+1} +1 RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{t` -> `0+} {{2} over {LEFT ( 1-t RIGHT ) LEFT ( sqrt {2t+1} +1 RIGHT )}} =1]

11. [출제의도] 로그부등식 이해하기

진수의 조건에서 [eqn: x>0]이고 [eqn: log` _{2} `x>0]  [eqn: THEREFORE `x>1]

[eqn: log` _{4} LEFT ( log` _{2} `x RIGHT ) LEQ log _{`4} `4]

[eqn: `log _{`2} `x LEQ 4]  [eqn: THEREFORE `x LEQ 16]

[eqn: LEFT . A= LEFT { `x LEFT ∣ `1<x LEQ 16 _{{} _{}} RIGHT } RIGHT . RIGHT .]

[eqn: x ^{2} -5ax+4a ^{2} = LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-4a RIGHT ) <0]  [eqn: THEREFORE ``a<x<4a]

[eqn: LEFT . B= LEFT { `x LEFT ∣ `a`<`x`<`4a _{{} _{}} RIGHT } RIGHT . RIGHT .]

[eqn: A SMALLINTER B=B``]이면 [eqn: B SUBSET A]이므로

[eqn: a GEQ 1]이고 [eqn: 4a LEQ 16]  [eqn: THEREFORE `1 LEQ a LEQ 4]

자연수 [eqn: a]는 [eqn: 1],[eqn: 2],[eqn: 3],[eqn: 4]이므로 [eqn: 4]개

12. [출제의도] 로그함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: C _{c} = {0.5-0.3} over {log`6.4-log`3.2} = {0.2} over {log`2}]이므로

[eqn: {0.2} over {log`2} = {0.3-0.1} over {log`x-log`6.4} = {0.2} over {log` {x} over {6.4}}]

[eqn: log`` {x} over {6.4} =log`2], [eqn: {x} over {6.4} =2]

따라서 [eqn: x=12.8]

13. [출제의도] 정적분 이해하기

[eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]이므로

[eqn: int _{2} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx`+ int _{2} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}} =2 int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: =2 int _{0} ^{1} {x ^{3} dx}][eqn: =2 LEFT [ {1} over {4} x ^{4} RIGHT ] _{0} ^{1} = {1} over {2}]

14. [출제의도] 무한급수를 이용하여 추론하기

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {n} x]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

[eqn: y]

[eqn: rm`O]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

위 그림에서 [eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{2} =3], [eqn: a _{3} =4], [eqn: a _{4} =5], [eqn: cdots]

[eqn: THEREFORE `a _{n} =n+1]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2} over {a _{n} TIMES a _{n+2}} = sum _{n=1} ^{INF } {2} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+3 RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` sum _{k=1} ^{n} {2} over {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+3 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k+1} - {1} over {k+3} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { LEFT ( {1} over {2} - {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {4} - {1} over {6} RIGHT ) +` CDOTS ` RIGHT .}]

[eqn: LEFT . `+ LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {n+1} - {1} over {n+3} RIGHT ) ` RIGHT }]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {1} over {2} + {1} over {3} - {1} over {n+2} - {1} over {n+3} RIGHT ) `=`} {5} over {6}]

15. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +2x ^{2} +a]라 하자.

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( `t,``f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]에서의

접선의 기울기는 [eqn: f` prime LEFT ( t RIGHT ) =4t ^{3} +4t=8]

[eqn: 4 LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( t ^{2} +t+2 RIGHT ) =0]  [eqn: THEREFORE `t=1]

접점의 좌표가 [eqn: LEFT ( `1,``3+a RIGHT )]

접선의 방정식은 [eqn: y=8x-5+a]이므로

[eqn: -5+a=`2]

따라서 [eqn: a=7]

16. [출제의도] 구분구적법을 이용하여 추론하기

구간 [eqn: LEFT [ 0,``2 RIGHT ]]를 [eqn: n]등분하면 [eqn: k]번째 구간의 오른쪽 끝점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {2k} over {n}]

왼쪽에서 [eqn: k]번째 직사각형의 가로의 길이는 [eqn: {2} over {n}],

세로의 길이는 [eqn: g LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) =2 LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) - {1} over {2} LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: S _{k} = {2} over {n} LEFT ( {4k} over {n} - {2k ^{2}} over {n ^{2}} RIGHT ) `= {8k} over {n ^{2}} `-` {BOX{` {4} over {n ^{3}}}} ``k ^{2}]

[eqn: THEREFORE `p LEFT ( n RIGHT ) = {4} over {n ^{3}}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} S _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {8k} over {n ^{2}} - {4k ^{2}} over {n ^{3}} RIGHT )] [eqn: = {8} over {n ^{2}} TIMES {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} - {4} over {n ^{3}} TIMES {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6}]  [eqn: = {4 LEFT ( n+1 RIGHT )} over {n} -` {BOX{{2 LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {3n ^{2}}}}]

[eqn: THEREFORE `q LEFT ( n RIGHT ) = {2 LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {3n ^{2}}]

따라서 [eqn: p LEFT ( 2 RIGHT ) TIMES q LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =` {4} over {2 ^{3}} TIMES ` {2 TIMES 4 TIMES 7} over {3 TIMES 3 ^{2}}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {56} over {27} = {28} over {27}]

17. [출제의도] 함수의 연속성 추론하기

ㄱ. [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =`-f LEFT ( 1 RIGHT ) =`-1]  [eqn: therefore`](참)

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `1+} {g(x)} `=` lim _{x` -> `1+} {f(x)} `=`1] [eqn: therefore`](참)

ㄷ. 구간 [eqn: LEFT ( -3`,``2 RIGHT )]의 [eqn: x=`-2], [eqn: -1], [eqn: 1]을 제외한 점에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 연속이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]도 연속이다.

ⅰ) [eqn: x=`-2]일 때, [eqn: g LEFT ( -2 RIGHT ) =f LEFT ( -2 RIGHT ) =1]이고
[eqn: lim _{x` -> `-2+`} {g LEFT ( x RIGHT )} =` lim _{x` -> `-2+`} {f LEFT ( x RIGHT )} =1]
[eqn: lim _{x` -> `-2-`} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `-2-`} {f LEFT ( x RIGHT )} =0]  [eqn: therefore`]불연속

ⅱ) [eqn: x=`-1]일 때, [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) =`-f LEFT ( -1 RIGHT ) =0]이고
[eqn: lim _{x` -> `-`1+`} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `-1+`} {LEFT { -f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} =0]
[eqn: lim _{x` -> `-1-`} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `-1-`} {f LEFT ( x RIGHT )} =0]  [eqn: therefore`]연속

ⅲ) [eqn: x=1]일 때, [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =`-f LEFT ( 1 RIGHT ) =`-1]이고
[eqn: lim _{x` -> `1+`} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =1]
[eqn: lim _{x` -> `1-`} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `1-`} {LEFT { -f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} =`-1] [eqn: therefore`]불연속

불연속인 점은 [eqn: 2]개다. [eqn: therefore`](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[참고]

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: rmO]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: x]

[eqn: -3]

[eqn: -1]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

18. [출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

그림 [eqn: R _{n}]에서 새로 그려진 [eqn: 6`]개의 원의 넓이의 합을 [eqn: a _{n}]이라 하자.

정육각형 [eqn: H _{1}]의 한 변의 길이가 [eqn: 6]이므로 그림 [eqn: R _{1}]의
원의 반지름의 길이는 [eqn: 1]이고 [eqn: a _{1} =6 pi]이다.

정육각형 [eqn: H _{n}]의 가장 긴 대각선들이 만나는 점을 [eqn: rmO]라
하자.

정육각형 [eqn: H _{n}]의 한 꼭짓점을 [eqn: rmA _{itn}]이라 하고, 정육각형 [eqn: H _{n}]의 변 중 점 [eqn: rmA _{itn}]을 끝점으로 하는 한 변을

삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 [eqn: C _{it n rm }], 중심을 [eqn: rm O _{it n rm}]이라 하자.

정육각형 [eqn: H _{n+1}]과 원 [eqn: C _{it n rm }]이 만나는 점을 [eqn: rmA _{itn+1}]이라 하고, 정육각형 [eqn: H _{n+1}]의 각 변을 삼등분하는 점을

지름의 양 끝점으로 하는 원 중 선분 [eqn: rmOA _{itn}]과 만나는 원을 [eqn: C _{it n rm +1 it}], 중심을 [eqn: rmO _{itn+1}]이라 하자.

두 원 [eqn: C _{n}], [eqn: C _{n+1}]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r _{n}], [eqn: r _{n+1}]이라 하자.

다음은 그림 [eqn: R _{n+1}]의 일부이다.

[eqn: rm O _{it n rm}]

[eqn: r _{it n rm}]

[eqn: rm A _{it n rm}]

[eqn: r _{it n rm +1}]

[eqn: rm O _{it n rm +1}]

[eqn: rm A _{it n rm +1}]

[eqn: rm O]

[eqn: C _{it n rm}]

[eqn: C _{it n rm +1}]

삼각형 [eqn: rm OA _{it n rm} O _{it n rm}]은 [eqn: ANGLE rm OO _{it n rm} A _{it n rm} it =90 DEG], [eqn: ANGLE rm OA _{it n rm} O _{it n rm} it =60 DEG]인 직각삼각형이고, [eqn: {bar{rm O _{it n rm} A _{it n rm} it}} =3 it r _{n}], [eqn: {bar{rm OO _{it n rm} it}} =3 sqrt {3} r _{n}]이다.

삼각형 [eqn: rm OA _{it n+1 rm} O _{it n+1 rm}]은 [eqn: ANGLE rm OO _{it n+1 rm} A _{it n rm +1} it =90 DEG],
[eqn: ANGLE rm OA _{it n+1 rm} O _{it n rm +1} it =60 DEG]인 직각삼각형이고,
[eqn: {bar{rm OA _{it n+1 rm} it}} = LEFT ( 3 sqrt {3} -1 RIGHT ) r _{n}]

[eqn: {bar{rm O _{it n+1 rm} A _{it n+1 rm} it}} = {3 sqrt {3} -1} over {2} r _{n}]이다.

[eqn: r _{n+1} = {1} over {3} {bar{rm O it rm _{it n+1} ` rm A it _{it n+1}}} = {3 sqrt {3} -1} over {6} r _{n}]

그러므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 6pi]이고 공비가
[eqn: LEFT ( {3 sqrt {3} -1} over {6} RIGHT ) ^{2} = {14-3 sqrt {3}} over {18}]인 등비수열이다.

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`S _{n} = {6 pi } over {1- {14-3 sqrt {3}} over {18}} = {108} over {11} LEFT ( 3 sqrt {3} -4 RIGHT ) pi }]

따라서 [eqn: k= {108} over {11}], [eqn: m=4]이고 [eqn: 11k+m=112]

19. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

ⅰ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ g LEFT ( x RIGHT )]일 때
[eqn: x ^{2} -6x+10 GEQ x]
[eqn: x LEQ 2] 또는 [eqn: x GEQ 5]
[eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]이므로
[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | +f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )} over {2} =f LEFT ( x RIGHT )]

ⅱ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <g LEFT ( x RIGHT )]일 때
[eqn: x ^{2} -6x+10<x]
[eqn: 2<x<5]
[eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =`-f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )]이므로
[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | +f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )} over {2} =g LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: THEREFORE `h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x ^{2} -6x+10 _{{} _{{} _{}}}&`````` LEFT ( x` LEQ `2````또는````x GEQ 5 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}#```````````````````x ^{{} ^{{} ^{}}}&``````` LEFT ( 2<x<5 RIGHT ) ^{{} ^{{} ^{}}}}}]

구하는 넓이는

[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT ( x ^{2} -6x+10 RIGHT ) dx} + int _{2} ^{4} {xdx} `]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -3x ^{2} +10x RIGHT ] _{0} ^{2} `+` LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{2} ^{4} = {50} over {3}]

20. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: h` prime LEFT ( x RIGHT ) =f` prime LEFT ( x RIGHT ) +2]

[eqn: h` prime LEFT ( alpha RIGHT ) =f` prime LEFT ( alpha RIGHT ) +2>0]  [eqn: therefore](참)

ㄴ. 구간 [eqn: LEFT ( `0,`` alpha RIGHT )]에서 [eqn: -2<f` prime LEFT ( x RIGHT ) <0]
[eqn: 0<h` prime LEFT ( x RIGHT ) <2]이므로 함수 [eqn: h(x)]는 증가한다.
[eqn: therefore](거짓)

ㄷ. [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) +2 TIMES 0=0]
[eqn: h` prime LEFT ( x RIGHT ) =f` prime LEFT ( x RIGHT ) +2=0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값을 [eqn: beta]라 하자. 함수 [eqn: h(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: beta `]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]
[eqn: h` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: rm`O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: beta]

[eqn: h LEFT ( beta RIGHT )]

[eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]

방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. [eqn: therefore](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

21. [출제의도] 로그함수의 극한 문제해결하기

두 곡선 [eqn: y=ln LEFT ( x+1 RIGHT )], [eqn: y=e ^{x} -1]은 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이고, 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]는 기울기가 [eqn: -1]인 직선 위의 점이므로 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

두 점 [eqn: rm P( it `a,``b)], [eqn: rm Q( it `b,``a)]에 대하여

선분 [eqn: rm PQ]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하면 [eqn: rm M LEFT ( it ` {a+b} over {2} ,~ {a+b} over {2} RIGHT )]

[eqn: {bar{rm PM it}} = {sqrt {2}} over {2} LEFT ( a-b RIGHT )] [eqn: LEFT ( BECAUSE `a>b RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `S`(a)= {pi } over {2} LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2}]

[eqn: {1} over {2} {bar{rm OM it}} = {sqrt {2}} over {4} LEFT ( a+b RIGHT )]

[eqn: THEREFORE T`(a)= {pi } over {8} LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2}]

[eqn: 4T`(a)-S`(a)][eqn: =2 pi ab]
[eqn: =2 pi a ln(a+1)]

따라서 [eqn: lim _{a` -> `0+} {{4T` LEFT ( a RIGHT ) -S` LEFT ( a RIGHT )} over {pi a ^{2}}} `= lim _{a` -> `0+} {{2ln LEFT ( a+1 RIGHT )} over {a}} =2]

22. [출제의도] 다항함수의 미분법 이해하기

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =8x-3]

따라서 [eqn: f` prime LEFT ( 6 RIGHT ) =45]

23. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기

[eqn: 2sin LEFT ( theta - {pi } over {3} RIGHT ) + sqrt {3} `cos theta]

[eqn: =2 LEFT ( sin theta `cos {pi } over {3} -cos theta `sin {pi } over {3} RIGHT ) + sqrt {3} `cos theta]

[eqn: =sin theta - sqrt {3} `cos theta + sqrt {3} `cos theta]

[eqn: =sin theta]

따라서 [eqn: p= {4} over {5}]이고 [eqn: 20`p=16]

24. [출제의도] 지수함수의 미분법 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =5e ^{x} + LEFT ( 5x+3 RIGHT ) e ^{x}]
[eqn: = LEFT ( 5x+8 RIGHT ) e ^{x}]

따라서 [eqn: a=5], [eqn: b=8]이고 [eqn: ab=40]

25. [출제의도] 함수의 연속성 이해하기

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` -> `3} {{x LEFT ( x ^{2} +a RIGHT )} over {x-3}} =b]

[eqn: lim _{x` -> `3} {LEFT ( x-3 RIGHT ) =0}]이므로 [eqn: lim _{x` -> `3} {`x LEFT ( x ^{2} +a RIGHT ) =0}]
[eqn: therefore a=`-9]

[eqn: lim _{x` -> `3} {{x LEFT ( x ^{2} -9 RIGHT )} over {x-3}} = lim _{x` -> `3} {{x LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )} over {x-3}}]

[eqn: = lim _{x` -> `3} {`x LEFT ( x+3 RIGHT )} `=18]

[eqn: therefore b=18]

따라서 [eqn: a+b=9]

26. [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( na _{n} - {6n ^{2} +1} over {n+2} RIGHT )]이 수렴하므로
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( na _{n} - {6n ^{2} +1} over {n+2} RIGHT ) =0}]

[eqn: na _{n} - {6n ^{2} +1} over {n+2} =b _{n}]이라 하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`b _{n}} =0]

[eqn: a _{n} = {b _{n}} over {n} + {6n ^{2} +1} over {n LEFT ( n+2 RIGHT )}]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n}} = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { {b _{n}} over {n} + {6n ^{2} +1} over {n LEFT ( n+2 RIGHT )} RIGHT }} =6]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 2a _{n} RIGHT )} ^{2} =144]

27. [출제의도] 삼각함수의 그래프 추론하기

곡선 [eqn: y=4sin {1} over {4} LEFT ( x- pi RIGHT )]와 직선 [eqn: y=2]가

만나는 점을 구하면

[eqn: 4sin {1} over {4} LEFT ( x- pi RIGHT ) =2]에서

[eqn: - {pi } over {4} LEQ {x- pi } over {4} LEQ {9} over {4} pi]이므로

[eqn: {x- pi } over {4}]의 값은 [eqn: {pi } over {6}], [eqn: {5} over {6} pi], [eqn: {13`} over {6} pi]

[eqn: x= {5} over {3} pi] 또는 [eqn: x= {13} over {3} pi] 또는 [eqn: x= {29} over {3} pi]

그러므로 만나는 점은

[eqn: LEFT ( ` {5} over {3} pi ,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( ` {13} over {3} pi ,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( ` {29} over {3} pi ,``2 RIGHT )]

함수 [eqn: y=4sin {1} over {4} LEFT ( x- pi RIGHT )]의 치역이 [eqn: LEFT { y` LEFT ∣ -4 LEQ y LEQ 4 _{{} _{}} RIGHT } RIGHT .] 점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: y=2] 사이의 거리를 [eqn: h]라 하면

삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이 [eqn: S= {1} over {2} TIMES {bar{rm AB it}} TIMES h]에서

[eqn: {bar{rm AB it}}]의 최댓값은 [eqn: 8pi]이고 [eqn: 0<h LEQ 6]

[eqn: S]의 최댓값은 [eqn: {1} over {2} TIMES 8pi TIMES 6=24 pi]

따라서 [eqn: k=24]

28. [출제의도] 다항함수의 적분법을 활용하여 문제해결하기

시각 [eqn: t=6]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치가 원점이 되려면

[eqn: int _{0} ^{6} {v LEFT ( t RIGHT )} dt=0]이다.

[eqn: int _{0} ^{6} {v LEFT ( t RIGHT )} dt][eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT ( -3t ^{2} RIGHT )} dt+ int _{2} ^{6} {LEFT { a LEFT ( t-2 RIGHT ) -12 RIGHT }} dt]
[eqn: = LEFT [ -t ^{3} RIGHT ] _{0} ^{2} + LEFT [ {1} over {2} at ^{2} -2at-12t RIGHT ] _{2} ^{6}]
[eqn: =8a-56=0]

따라서 [eqn: a=7]

29. [출제의도] 삼각함수의 극한 문제해결하기

그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABD]의 내부의 반원의 중심을 [eqn: rmO _{1}], 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하고, 삼각형 [eqn: rm ADC]의 내부의 반원의 중심을 [eqn: rm O _{2}], 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하자.
두 반원이 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]와 접하는 점을 각각 [eqn: rmH _{1}], [eqn: rmH _{2}]라 하자.

[eqn: rmO _{1}]

[eqn: rm D]

[eqn: rm O _{2}]

[eqn: rmC]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: rm H _{1}]

[eqn: rm H _{2}]

[eqn: 2]

[eqn: theta]

[eqn: theta]

삼각형 [eqn: rm ADC]에서

[eqn: {bar{rm AH _{2} it}} = {bar{rm AD it}} =2sin theta], [eqn: {bar{rm CH _{2} it}} =2 LEFT ( 1-sin theta RIGHT )]이므로

[eqn: R=2`tan theta LEFT ( 1-sin theta RIGHT )]

[eqn: THEREFORE][eqn: T` LEFT ( theta RIGHT ) =2 pi LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} `tan ^{2} theta]

삼각형 [eqn: rmABD]에서

[eqn: {bar{rm AH _{1} it}} = {bar{rm AD it}} =2sin theta], [eqn: {bar{rm AB it}} =2`tan theta],

[eqn: {bar{rm BH _{1} it}} =2 LEFT ( tan theta -sin theta RIGHT )]

[eqn: ANGLE rm BO _{1} H _{1} it = theta]이므로

[eqn: r= {2 LEFT ( tan theta -sin theta RIGHT )} over {tan theta } =2 LEFT ( 1-cos theta RIGHT )]

[eqn: THEREFORE][eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) =2 pi LEFT ( 1-cos theta RIGHT ) ^{2}]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES T` LEFT ( theta RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {{2 pi LEFT ( 1-cos theta RIGHT ) ^{2}} over {theta ^{2} TIMES 2 pi LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} `tan ^{2} theta }}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {{LEFT ( 1-cos theta RIGHT ) ^{2} ` LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) ^{2}} over {theta ^{2} LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} `tan ^{2} theta ` LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) ^{2}}}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {LEFT { {sin ^{4} theta } over {theta ^{4}} TIMES {theta ^{2}} over {tan ^{2} theta } TIMES {1} over {LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} LEFT ( 1+cos theta RIGHT ) ^{2}} RIGHT }}]

[eqn: =1` TIMES `1` TIMES ` {1} over {4} = {1} over {4}]

따라서 [eqn: 60alpha=15]

30. [출제의도] 정적분 문제해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` -> `1-} {LEFT ( 3x ^{2} +ax+b RIGHT )} = lim _{x` -> `1+} {2x}]

[eqn: a+b=`-1]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) +g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( 3x ^{2} +ax+b RIGHT )} dx+ int _{1} ^{2} {2xdx}]
[eqn: = LEFT [ x ^{3} + {1} over {2} ax ^{2} +bx RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{2} `]
[eqn: =` {1} over {2} a+b+4= {7} over {2}]

[eqn: THEREFORE `a=`-1], [eqn: b=0]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = int _{t} ^{t+1} {f LEFT ( x RIGHT )} dx]에서

ⅰ) [eqn: t<0]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{t} ^{t+1} {LEFT ( 3x ^{2} -x RIGHT )} dx= LEFT [ x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{t} ^{t+1}]
[eqn: =3t ^{2} +2t+ {1} over {2}]

ⅱ) [eqn: 0 LEQ t<1]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{t} ^{1} {LEFT ( 3x ^{2} -x RIGHT )} dx+ int _{1} ^{t+1} {2x} dx]
[eqn: = LEFT [ x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{t} ^{1} + LEFT [ x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{t+1}]
[eqn: =`-t ^{3} + {3} over {2} t ^{2} +2t+ {1} over {2}]

ⅲ) [eqn: t GEQ 1]일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = int _{t} ^{t+1} {2x} dx= LEFT [ x ^{2} RIGHT ] _{t} ^{t+1} =2t+1]

[eqn: therefore][eqn: `g LEFT ( t RIGHT ) = {cases{```````````````3t ^{2} +2t+ {1} over {2 _{{} _{}}} `````````````````&LEFT ( t<0 RIGHT ) _{{} _{}}#-t ^{3} + {3} over {2} t ^{2} +2t+ {1} over {2 _{{} _{}}} ``````&LEFT ( 0 LEQ t<1 RIGHT ) _{{} _{}}#``````````````````````````2t+1```````` ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} `` _{{} _{}} ``````````````````&LEFT ( t GEQ 1 RIGHT ) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}]
[eqn: g` prime LEFT ( t RIGHT ) = {cases{`````````````````6t+2 _{{} _{{} _{}}} ``````````````````&LEFT ( t<0 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}#`-3t ^{2} +3t+2``` ^{{} ^{}} ` _{{} _{{} _{}}} ```&LEFT ( 0<t<1 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{}}#`````````````````````````2 ^{{} ^{{} ^{}}} ` _{{} _{{} _{}}} ````````````````````````&LEFT ( t>1 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}}}]

[eqn: g` prime LEFT ( t RIGHT ) =0]인 [eqn: t]의 값은 [eqn: - {1} over {3}]이다.

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - {1} over {3}]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g` prime LEFT ( t RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=`- {1} over {3}]에서 최솟값을 가지므로

따라서 [eqn: g LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) = {1} over {6}]이고 [eqn: 120k=20]

[나 형]

1	④	2	①	3	③	4	②	5	⑤
6	④	7	②	8	⑤	9	③	10	④
11	①	12	①	13	⑤	14	②	15	①
16	④	17	⑤	18	③	19	③	20	③
21	②	22	45	23	15	24	20	25	9
26	8	27	216	28	26	29	300	30	30

1. [출제의도] 집합의 연산을 활용하여 계산하기

[eqn: A CUP B= LEFT { `1,``2,``3,``4 RIGHT }]이므로 모든 원소의 합은 [eqn: 10]

2. [출제의도] 로그의 성질을 활용하여 계산하기

[eqn: log` _{6} `2+log _{`6} `3=log _{`6} `6=1]

3. [가형 2번과 동일]

4. [출제의도] 등비중항 이해하기

[eqn: a _{2} TIMES a _{4} = LEFT ( a _{3} RIGHT ) ^{2} =64]

모든 항이 양수이므로 [eqn: a _{3} =8]

5. [출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기

유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x+2} +a]의 그래프의 점근선의

방정식은 [eqn: x=`-2], [eqn: y=3]이므로

[eqn: a=3], [eqn: b=`-2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a-b=5]

6. [출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( 2x+5 RIGHT ) dx}]

[eqn: =x ^{2} +5x+C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =C=1]
[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +5x+1]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =15]

7. [출제의도] 명제의 대우 이해하기

주어진 명제가 참이므로

대우 명제 ‘[eqn: x=3]이면 [eqn: x ^{2} -ax+9=0]이다.’가 참이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 9-3a+9=0]

따라서 [eqn: a=6]

8. [출제의도] 등비급수의 수렴과 발산 이해하기

등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {x-4} over {3} RIGHT ) ^{n}]이 수렴하려면

[eqn: -1< {x-4} over {3} <1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 1<x<7]

[eqn: 1<x<7]을 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]

따라서 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 5]

9. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x]가 [eqn: x=t ^{3} -4t ^{2} -3t+4]
일 때 시각 [eqn: t]에서 점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: v]라 하면
[eqn: v= {dx} over {dt} =3t ^{2} -8t-3]

점 [eqn: rmP]가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는
[eqn: 0]이므로

[eqn: 3t ^{2} -8t-3=0]

[eqn: LEFT ( 3t+1 RIGHT ) LEFT ( t-3 RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: t=3] ([eqn: BECAUSE `t>0])

10. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =4x+5]

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 4+h RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT )} over {3h}} = {1} over {3} f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =7]

11. [출제의도] 수열의 합 이해하기

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의

일반항 [eqn: a _{n} =2 ^{n-1}]이다.

[eqn: a _{2k-1} =2 ^{2k-2} =4 ^{k-1}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{2k-1} = sum _{k=1} ^{5} 4 ^{k-1} = {1 TIMES LEFT ( 4 ^{5} -1 RIGHT )} over {4-1} =341]

12. [출제의도] 지수를 활용하여 문제해결하기

두 비행기 [eqn: A], [eqn: B`]의 필요마력을 각각 [eqn: P _{it A rm}] , [eqn: P _{it B rm}]

날개의 넓이를 각각 [eqn: S _{A}] , [eqn: S _{B}]라 하자.

[eqn: P _{it A rm } = {1} over {150} it kC` it LEFT ( V _{A} RIGHT ) ^{3} it S _{it A}]이고, [eqn: S _{B} =3S _{A}]이므로

[eqn: P _{it B rm } = {1} over {150} it k it C` LEFT ( V _{B} RIGHT ) ^{3} it S _{B} = {1} over {150} kC` it LEFT ( it V _{B} RIGHT ) ^{3} LEFT ( 3S _{A} RIGHT ) it]

[eqn: P _{it B rm} = sqrt { 3} P _{it A rm}]이므로

[eqn: {P _{A}} over {P _{B}} = {1} over {sqrt {3}} = {LEFT ( V _{A} RIGHT ) ^{3} S _{A}} over {LEFT ( V _{B} RIGHT ) ^{3} LEFT ( 3S _{A} RIGHT )} = {1} over {3} LEFT ( {V _{A}} over {V _{B}} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT ( {V _{it A}} over {V _{it B}} RIGHT ) ^{3} =3 ^{{1} over {2}}]

따라서 [eqn: {V _{it A}} over {V _{it B}} =3 ^{{1} over {6}}]

13. [출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =3]

14. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `2-} {f LEFT ( x RIGHT ) =3}]

[eqn: 1-x=t]라 하면
[eqn: lim _{x` -> `2-} {f LEFT ( 1-x RIGHT )} = lim _{t` -> `-1+} {f LEFT ( t RIGHT )} =`-1]

따라서 [eqn: lim _{x` -> `2-} {f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( 1-x RIGHT )} =3 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) =`-3]

15. [출제의도] 무리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 함수 [eqn: y= sqrt {x+4} +1]의 그래프는
함수 [eqn: y= sqrt {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -4]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이고
두 점 [eqn: rm A LEFT ( `0,``3 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `-4,``1 RIGHT )]을 지난다.
직선 [eqn: y=`- {1} over {4} x]는 원점 [eqn: rm O]와 점 [eqn: rm B]를 지난다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -4]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: y= sqrt {x+4} +1]

[eqn: y=`- {1} over {4} x]

[eqn: THEREFORE] [eqn: TRIANGLE rm OAB= {1} over {2} TIMES 3 TIMES 4=6]

16. [출제의도] 수학적 귀납법을 활용하여 추론하기

(1) [eqn: n=2]일 때, (*)에서

(좌변)[eqn: =a _{1} + {1} over {1} + {1} over {2} =1+ {1} over {1} + {1} over {2} = {BOX{```` {5} over {2} ````}}]

(우변)[eqn: =2a _{2} =2 TIMES LEFT ( 1+ {1} over {4} RIGHT ) = {BOX{```` {5} over {2} ````}}]

(좌변)[eqn: =](우변)이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m] ([eqn: m GEQ 2])일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m-1} + sum _{i=1} ^{m} {1} over {i} =ma _{m}]

이다.

[eqn: n=m+1]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{m} + sum _{i=1} ^{m+1} {1} over {i}]

[eqn: =a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{m-1} +a _{m} + sum _{i=1} ^{m} {1} over {i} + {1} over {m+1}]

[eqn: =ma _{m} +a _{m} + {1} over {m+1}]

[eqn: = {BOX{````` LEFT ( m+1 RIGHT ) _{`} ^{`} `````}} ` TIMES a _{m} + {1} over {m+1}]

[eqn: = LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT { a _{m+1} - {1} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2}} RIGHT } + {1} over {m+1}]

[eqn: = LEFT ( m+1 RIGHT ) a _{m+1}]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(1), (2)에 의하여

[eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: p= {5} over {2}], [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) =m+1]

따라서 [eqn: p TIMES f LEFT ( 3 RIGHT ) =10]

17. [출제의도] 필요조건과 충분조건을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: p`:`a ^{2} +b ^{2} =0````` LRARROW `````][eqn: a=0`], [eqn: `b=0]
[eqn: q`:`a=b]
[eqn: THEREFORE] [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다. (참)

ㄴ. [eqn: p`:`ab<0````` LRARROW `````]([eqn: a>0], [eqn: b<0]) 또는
([eqn: a<0], [eqn: b>0])
[eqn: q`:`a<0] 또는 [eqn: b<0````` LRARROW `````]([eqn: a>0], [eqn: b<0]) 또는
([eqn: a<0], [eqn: b>0]) 또는 ([eqn: a<0], [eqn: b<0])
[eqn: THEREFORE] [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다. (참)

ㄷ. [eqn: p`:`a ^{3} -b ^{3} = LEFT ( a-b RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +ab+b ^{2} RIGHT ) =0]에서

[eqn: a-b=0] 또는 [eqn: a ^{2} +ab+b ^{2} =0]

[eqn: a=b]

[eqn: q`:`a ^{2} -b ^{2} = LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( a-b RIGHT ) =0]이므로

[eqn: a=b] 또는 [eqn: a=`-b]
[eqn: THEREFORE] [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. [출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n ^{2}]과 곡선 [eqn: y= sqrt {x+n}]이 만나는
두 점은 [eqn: LEFT ( `-n,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `n-1,`` sqrt {2n-1} RIGHT )]이므로

두 점 사이의 거리 [eqn: a _{n} = sqrt {4n ^{2} -2n}]이고

원의 지름의 길이 [eqn: b _{n} =2n]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( b _{n} -a _{n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 2n- sqrt {4n ^{2} -2n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{LEFT ( 2n- sqrt {4n ^{2} -2n} RIGHT ) LEFT ( 2n+ sqrt {4n ^{2} -2n} RIGHT )} over {2n+ sqrt {4n ^{2} -2n}}}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{2n} over {2n+ sqrt {4n ^{2} -2n}}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{2} over {2+ sqrt {4 - 2overn}} `= 1over2]

19. [출제의도] 역함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3+a], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =4+a]이고

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수가 존재하므로 일대일대응이다.
그러므로 [eqn: a=`-1]

역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =3], [eqn: g LEFT ( 3 RIGHT ) =4], [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =2]이므로

[eqn: g ^{3} LEFT ( x RIGHT ) =g ^{6} LEFT ( x RIGHT ) =g ^{9} LEFT ( x RIGHT ) =x]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: g ^{10} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( g ^{9} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )],

[eqn: g ^{11} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( g ^{10} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =g(g LEFT ( x RIGHT ) )=g ^{2} LEFT ( x RIGHT )]

따라서 [eqn: a+g ^{10} LEFT ( 2 RIGHT ) +g ^{11} LEFT ( 2 RIGHT ) =a+g LEFT ( 2 RIGHT ) +g ^{2} LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: =`-1+3+4=6]

20. [가형 18번과 동일]

21. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

주어진 그림을 꼭짓점 [eqn: rmB]를 원점으로, 직선 [eqn: rmBC]를 [eqn: x]축,
직선 [eqn: rmBA]를 [eqn: y]축으로 하는 좌표평면 위에 나타내면
다음과 같다.

[eqn: y=a LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: rm B]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm F]

[eqn: rm P]

[eqn: rm C]

[eqn: rm Q]

[eqn: 2]

직선 [eqn: rmAF]의 방정식은 [eqn: y=`- {1} over {2} x+4]

포물선 [eqn: y=a LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}] ([eqn: a>0])은 점 [eqn: rm A(`0,``4)]를 지나므로
[eqn: 4=a TIMES LEFT ( 0-2 RIGHT ) ^{2}], [eqn: a=1]

포물선 [eqn: y= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]과 직선 [eqn: y=`- {1} over {2} x+4]가
만나는 점의 [eqn: x]의 좌표는 [eqn: x=0], [eqn: x= 7 over2]

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t`` LEFT ( 0<t< {7} over {2} RIGHT )]라 하면
점 [eqn: rm P LEFT ( it `t,``- {1} over {2} it t+4 RIGHT )], 점 [eqn: rm Q LEFT ( ` it t,`` it LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} RIGHT )]이고
삼각형 [eqn: rm AQP]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]라 하면

[eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} TIMES t TIMES LEFT { - {1} over {2} t+4- LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} RIGHT } =`- {1} over {4} LEFT ( 2t ^{3} -7t ^{2} RIGHT )]

[eqn: S`` prime LEFT ( t RIGHT ) =`- {1} over {4} LEFT ( 6t ^{2} -14t RIGHT ) =`- {1} over {2} t LEFT ( 3t-7 RIGHT )]

[eqn: S`` prime LEFT ( t RIGHT ) =0]에서 [eqn: t=0] 또는 [eqn: t= 7 over3]

[eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: cdots]	[eqn: 7 over3]	[eqn: cdots]	[eqn: LEFT ( {7} over {2} RIGHT )]
[eqn: S`` prime LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]		↗	[eqn: S`` LEFT ( {7} over {3} RIGHT )]	↘

따라서 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t= 7 over 3]에서 극대이면서 최대이므로
[eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]의 최댓값은
[eqn: - {1} over {4} times LEFT { 2 TIMES LEFT ( {7} over {3} RIGHT ) ^{3} -7 TIMES LEFT ( {7} over {3} RIGHT ) ^{2} RIGHT } `= {343} over {108}]

22. [가형 22번과 동일]

23. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: a _{5} =S _{5} -S _{4} =55-40=15]

24. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `2} {{x ^{2} +x-6} over {sqrt {x+2} -2}}][eqn: = lim _{x` -> `2} {{LEFT ( x ^{2} +x-6 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+2} +2 RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {x+2} -2 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+2} +2 RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{x` -> `2} {{LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+2} +2 RIGHT )} over {x-2}}]

[eqn: = LEFT ( 2+3 RIGHT ) LEFT ( sqrt {2+2} +2 RIGHT )]

[eqn: =20]

25. [가형 25번과 동일]

26. [출제의도] 집합의 개념 이해하기

[eqn: X= LEFT { `2,``3,``4,``5,``6,``7,``8,``9,``a+1,``a+3,``a+5 RIGHT }]이므로

[eqn: n LEFT ( X` RIGHT ) =10]이 되기 위해서는

([eqn: a+3<2], [eqn: a+5 GEQ 2])
또는 ([eqn: a+1 LEQ 9], [eqn: a+3>9])

[eqn: THEREFORE] [eqn: -3 LEQ a<`-1] 또는 [eqn: 6<a LEQ8]

그러므로 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 7], [eqn: 8]

따라서 자연수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 8]

27. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 2 ^{a} =3 ^{b}]에서 양변에 [eqn: 2 ^{b}]을 곱하면

[eqn: 2 ^{a} times2 ^{b} =3 ^{b} times2 ^{b}]

[eqn: 2 ^{a+b} =6 ^{b}]

[eqn: a+b= {4} over {3} ab]이므로 [eqn: 2 ^{{4} over {3} ab} =6 ^{b}]

[eqn: 2 ^{{4} over {3} a} =6], [eqn: 2 ^{a} =6 ^{{3} over {4}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 8 ^{a} TIMES 3 ^{b} = LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{3} TIMES 2 ^{a} = LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{4} =216]

28. [출제의도] 등차수열을 활용하여 문제해결하기

주어진 이차방정식의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha_n] , [eqn: beta_n]
이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha _{n} + beta _{n} =a _{n} +a _{n+2} =2a _{n+1}] , [eqn: alpha_n beta_n =`-a_n+1]

[eqn: sum_n=1^10 {left( alpha_n +1 right) left(beta_n +1 right) }][eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( alpha _{n} beta _{n} + alpha _{n} + beta _{n} +1 RIGHT )]                         [eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( -a _{n+1} +2a _{n+1} +1 RIGHT )]
[eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( a _{n+1} +1 RIGHT ) =180]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{2} +a _{3} +a _{4} +` CDOTS `+a _{11} +10=180] [eqn: CDOTS CDOTS㉠]

[eqn: ㉠]의 양변에 [eqn: a_1 `]을 더하면
[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +` CDOTS `+a _{11} +10=a _{1} +180]
[eqn: {11 TIMES LEFT ( a _{1} +a _{11} RIGHT )} over {2} = {11 TIMES LEFT ( 6+a _{11} RIGHT )} over {2} =6+170]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{11} =26]

29. [출제의도] 수열의 합 추론하기

함수 [eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]의 그래프는 함수 [eqn: y= sqrt {x} `]의
그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -n ^{2}]만큼 평행이동한 것이고,
함수 [eqn: y=`- sqrt {x} +n]의 그래프는 함수 [eqn: y=`- sqrt {x} `]의
그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동한 것이므로
두 함수의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 내부
또는 그 경계는 <그림1>과 같다.

[eqn: -n ^{2}]

[eqn: n ^{2}]

[eqn: n]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y=`- sqrt {x} +n]

[eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]

[eqn: y]

<그림1>

[eqn: -n ^{2}]

[eqn: n ^{2}]

[eqn: n]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y=`- sqrt {x} +n]

[eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]

[eqn: y]

[eqn: ㉠]

[eqn: ㉡]

[eqn: ㉢]

<그림2>

이 때, 함수 [eqn: y=`- sqrt {x} `+n]의 그래프는
함수 [eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한
후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: n ^{2}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼
평행이동한 것이므로 <그림2>와 같이
함수 [eqn: y= sqrt {x+n ^{2}}]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인
영역 [eqn: ㉠]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는

함수 [eqn: y=`- sqrt {x} `+n]의 그래프와 두 직선 [eqn: x=n ^{2}],
[eqn: y=n`]으로 둘러싸인 영역 [eqn: ㉢]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가
모두 정수인 점의 개수와 같다.

그러므로 영역 [eqn: ㉠]과 영역 [eqn: ㉡]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가
모두 정수인 점의 개수는 영역 [eqn: ㉡]과 영역 [eqn: ㉢]의 [eqn: x]좌표와
[eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.

[eqn: x]축 위의 정수인 점은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: CDOTS], [eqn: n ^{2}] 이므로 [eqn: LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )]개

[eqn: y]축 위의 정수인 점은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: cdots], [eqn: n] 이므로 [eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )]개

[eqn: therefore] [eqn: a _{n} = LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( n +1 RIGHT ) =n ^{3} +n ^{2} +n+1]

따라서
[eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} = sum _{n=1} ^{5} LEFT ( n ^{3} +n ^{2} +n+1 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( {5 TIMES 6} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {5 TIMES 6 TIMES 11} over {6} RIGHT ) + LEFT ( {5 TIMES 6} over {2} RIGHT ) +5]

[eqn: =300]

[다른 풀이]

<그림1>에서 [eqn: y]의 값에 대한 점의 개수는 아래의
표와 같다.

[eqn: n]	[eqn: y=0]	[eqn: y=1]	[eqn: y=2]	[eqn: y=3]	[eqn: y=4]	[eqn: y=5]	합
[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 1]					[eqn: 4]
[eqn: 2]	[eqn: 9]	[eqn: 5]	[eqn: 1]				[eqn: 15]
[eqn: 3]	[eqn: 19]	[eqn: 13]	[eqn: 7]	[eqn: 1]			[eqn: 40]
[eqn: 4]	[eqn: 33]	[eqn: 25]	[eqn: 17]	[eqn: 9]	[eqn: 1]		[eqn: 85]
[eqn: 5]	[eqn: 51]	[eqn: 41]	[eqn: 31]	[eqn: 21]	[eqn: 11]	[eqn: 1]	[eqn: 156]

[eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} =4+15+40+85+156=300]

30. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

(가)에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0], [eqn: x=6]에서 불연속이므로

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값은 [eqn: 0], 극댓값은 [eqn: 6]이고

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

[eqn: 6]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

(나)에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```f LEFT ( x RIGHT ) _{{} _{`}} ````````` LEFT ( x<0,``x>6 RIGHT )#`2f LEFT ( x RIGHT ) ` _{{} _{`}} `````` LEFT ( x=0,``x=6 RIGHT )#`3f LEFT ( x RIGHT ) ``````` LEFT ( 0<x<6 RIGHT )}}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는 모든 실수에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` -> `0} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) g LEFT ( 0 RIGHT )}], [eqn: lim _{x` -> `6} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 6 RIGHT ) g LEFT ( 6 RIGHT )}]

그러므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =0]이다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은
<그림1> 또는 <그림2> 중 하나이다.

[eqn: y=ax LEFT ( x-6 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: 6]

[eqn: y]

[eqn: 6]

<그림1>

[eqn: y=ax ^{2} LEFT ( x-6 RIGHT )]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: 6]

[eqn: y]

[eqn: 6]

<그림2>

이때 (다)에서 [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) f LEFT ( 7 RIGHT ) <0]이므로
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 <그림2>와 같다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} LEFT ( x-6 RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3ax LEFT ( x-4 RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=4]이므로
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=4]에서 극댓값을 갖는다.

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =`-32a=6], [eqn: a=`- {3} over {16}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =`- {3} over {16} x ^{2} LEFT ( x-6 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( -4 RIGHT ) =`- {3} over {16} TIMES LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT ( -4-6 RIGHT ) =30]