수학 영역(B형)

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수학 영역(B형)

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2015학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(B형)

제 2 교시

5지선다형

12

1. [eqn: 4 ^{- {3} over {2}} TIMES 8 ^{{5} over {3}} `]의 값은? [2점]

①　[eqn: 1 over 2]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: 2]	④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 8]

2. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{1~&0#2~&0}}], [eqn: B= {pmatrix{1~&2#0~&0}} `]에 대하여 행렬 [eqn: AB``]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

3. [eqn: lim _{x` -> `0} {} {e ^{4x} -1} over {x} `]의 값은? [2점]

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①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3`]	④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 5]

4. 무리방정식 [eqn: sqrt {x ^{2} -4x} =x ^{2} -4x-2`]의 모든 실근의 곱은? [3점]

①　[eqn: -5]	②　[eqn: -4]	③　[eqn: -3]	④　[eqn: -2]	⑤　[eqn: -1]

5. [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: LEFT ( {matrix{`a``&`0#1&``a`}} RIGHT ) LEFT ( ` pile{x#y} ` RIGHT ) = LEFT ( {matrix{0&`````````1#0&`-2}} RIGHT ) LEFT ( ` pile{x#y} ` RIGHT ) `]가

[eqn: x=0], [eqn: y=0`] 이외의 해를 가질 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

6. 두 실수 [eqn: x], [eqn: y`]가 [eqn: 2 ^{`x} =3 ^{`y} =24`]를 만족시킬 때,

[eqn: (x-3)(y-1)`]의 값은? [3점]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]	④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 5]

7. [eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi `]일 때, 삼각방정식 [eqn: sin`2x=cos`x`]의 모든 해의 합은? [3점]

① [eqn: {3} over {2} pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]	④ [eqn: 3pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

8. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left(a _{n} - {5n ^{2} +1} over {2n +3}right)=4`]일 때,  [eqn: lim _{n `->` INF } {{2a _{n}} over {n+1}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

9. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여

[eqn: a _{3} =26], [eqn: a _{`9} =8]

일 때, 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합이 최대가 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

10. 좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 원 [eqn: x ^{2} +y ^{`2} =n ^{2} `]과        직선 [eqn: y= {1} over {n} x`]가 제[eqn: 1`]사분면에서 만나는 점을 중심으로 하고 [eqn: x`]축에 접하는 원의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} S _{n} `]의 값은?

[3점]

① [eqn: pi over4]	② [eqn: pi over2]	③ [eqn: {3} over4 pi`]	④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: 5over4 pi]

11. 컴퓨터 화면에서 마우스 커서()가 아이콘까지 이동하는 시간을 [eqn: T`](초), 현재 마우스 커서의 위치로부터 아이콘의 중심까지의 거리를 [eqn: D`](cm), 마우스 커서가 움직이는 방향으로 측정한 아이콘의 폭을 [eqn: W`](cm)라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. (단, [eqn: D>0])

[eqn: T`=a+ 1 over10 rm log`_2`LEFT(it D over{W ``}+1 RIGHT)] (단, [eqn: a`]는 상수)

그림과 같이 컴퓨터 화면에 두 개의 아이콘 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]가 있다.

현재 마우스 커서의 위치에서 아이콘 [eqn: rm A`]의 방향으로 측정한 아이콘 [eqn: rm A`]의 폭 [eqn: W_{rm A} `]와 아이콘 [eqn: rm B`]의 방향으로 측정한 아이콘 [eqn: rm B`]의 폭 [eqn: W_{rm B} `]는 모두 [eqn: 1]cm 로 같다. 현재 마우스 커서의 위치로부터 아이콘 [eqn: rm A`]의 중심까지의 거리와 아이콘 [eqn: rm B`]의 중심까지의 거리를 각각 [eqn: D_{rm A} `](cm), [eqn: D_{rm `B} `](cm)라 할 때, 마우스 커서가 아이콘 [eqn: rm A`]까지 이동하는 시간 [eqn: T_{rm A} `], 아이콘 [eqn: rm B`]까지 이동하는 시간 [eqn: T_{rm B} `]는 각각 [eqn: 0.71`]초, [eqn: 0.66`]초이다. [eqn: {D_{rm A} +1} over { D_{rm`B} +1 }`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2sqrt2]	⑤ [eqn: 4]

12. 그림과 같이 원점에서 [eqn: x`]축에 접하는 원 [eqn: C``]가 있다.

원 [eqn: C``]와 직선 [eqn: y= {2} over {3} x`]가 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 [eqn: rm P`]라 할 때, 원 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rm P`]에서의 접선의 기울기는? [3점]

① [eqn: {4} over {3}]	② [eqn: {8} over {5}]	③ [eqn: {28} over {15}]	④ [eqn: {32} over {15}]	⑤ [eqn: {12} over {5}]

[13 ~ 14] 그림과 같이 함수 [eqn: {bold{f(x)=log _{`2} ` LEFT ( x+ {1} over {2} RIGHT ) `}} `]의 그래프와 함수 [eqn: bold{g(x)=a ^{`x} `(a>1)`}]의 그래프가 있다. 곡선 [eqn: boldy=g(x)`]가 [eqn: {bold{y}} `]축과 만나는 점을 [eqn: {bold{rm A it}} `], 점 [eqn: {bold{rm A it}} `]를 지나고 [eqn: boldx`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: boldy=f(x)`]와 만나는 점 중 점 [eqn: {bold{rm A it}} `]가 아닌 점을 [eqn: bold {rm B`}], 점 [eqn: {bold{rm B` it}}]를 지나고 [eqn: boldy`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: boldy=g(x)`]와 만나는 점을 [eqn: rm bold C`]라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13. 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이가 [eqn: {21} over {4} `]일 때, [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 9 over2]	③ [eqn: 5`]	④ [eqn: 11 over2`]	⑤ [eqn: 6]

14. 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: rmC`]에서의 접선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm D`]라 하자. [eqn: rm {bar{AD}} = {bar{BD}} `]일 때, [eqn: g(2)`]의 값은? [4점]

① [eqn: e^{2 over3}]	② [eqn: e^{5 over3}]	③ [eqn: e^{8 over3}]	④ [eqn: e^{11 over3}]	⑤ [eqn: e^{14 over3}]

15. 두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: sum_k=1^n (a_k +b_k )= 1overn+1`] ([eqn: n GEQ 1])

(나) [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} n ^{2`} b _{n} =2]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} n ^{2`} a _{n} `]의 값은? [4점]

① [eqn: -3`]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1`]	④ [eqn: 0`]	⑤ [eqn: 1`]

16. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y`=`a ^{`x} `], [eqn: y`=`b ^{`x} `]([eqn: 1<a<b`])가        직선 [eqn: y`=`t`(`t>1)`]과 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: f(t)], [eqn: g(t)`]라 할 때, [eqn: 2`f(a)=3`g(a)`]가 성립한다. [eqn: f(c)=g(27)`]을 만족시키는       실수 [eqn: c`]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 9`]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

17. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가

[eqn: A ^{2} +AB=2E`], [eqn: A ^{2} -2A=B ^{`2} +2B]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: AB``=`-BA] ㄷ. [eqn: B ^{`2} =5E-3A]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 그림과 같이 원점에 대하여 대칭인 삼차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 [eqn: y`]축에 대하여 대칭인 사차함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 네 점에서 만나고 그 네 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: -5], [eqn: -2], [eqn: 1], [eqn: 4`]이다.

방정식 [eqn: {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} - LEFT { g(x) RIGHT } ^{2}} over {x ^{2} -4} `=0`]의 모든 실근의 곱은? [4점]

① [eqn: -400]	② [eqn: -200]	③ [eqn: -100]	④ [eqn: -50]	⑤ [eqn: -25]

19. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{1} =1`], [eqn: a _{2} =5`]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n+2} = {cases{a _{n+1} -2a _{n}&~(`n`이~홀수)#6a _{n+1} -a _{n}&~(`n`이~짝수)}}]

를 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n} `]을 구하는 과정이다.

주어진 식에서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{2n+1} =a _{2n} -2a _{2n-1}]     … ㉠

[eqn: a _{2n+2} =6a _{2n+1} -a _{2n}]     … ㉡

[eqn: a _{2n+3} =a _{2n+2} -2a _{2n+1}`]  … ㉢

이므로 ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 정리하면

[eqn: a _{2n+3} -a _{2n+1} =2(a _{2n+1} -a _{2n-1} )]

이고, ㉠에서 [eqn: n=1`]일 때 [eqn: a _{3} =3`]이므로

[eqn: a _{2n+1} -a _{2n-1} =` {BOX{``(가)``}] ([eqn: n GEQ 1`])

이다. 따라서

[eqn: a _{2n-1} =` {BOX{``(나)``}}] ([eqn: n GEQ 1`])

이고, ㉠으로부터

[eqn: a _{2n} =a _{2n+1} +2a _{2n-1}]

이므로

[eqn: a _{2n} =` {BOX{``(다)``}}] ([eqn: n GEQ 1`])

이다. 그러므로 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{2n-1} =` {BOX{``(나)``}}], [eqn: a _{2n} =` {BOX{``(다)``}}]

이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g(n)], (다)에 알맞은 식을 [eqn: h(n)`]이라 할 때, [eqn: {f(5)g(10)} over {h(10) -1} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 4`]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

20. 그림과 같이 [eqn: rm bar OP =1`]인 제[eqn: 1`]사분면 위의 점 [eqn: rm P`]를 중심으로 하고 원점을 지나는 원 [eqn: C_1``]이 [eqn: x `]축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. [eqn: bar\OR =2`]이고 [eqn: ANGLE rm ROQ= {1} over {2} ANGLE POQ`]인 제[eqn: 4`]사분면 위의 점 [eqn: \R`]를 중심으로 하고 원점을 지나는 원 [eqn: C_2`]가 [eqn: x `]축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 [eqn: rm S`]라 하자.

[eqn: ANGLErmPOQ=it theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm OQP`]와 삼각형 [eqn: rm ORS`]의 넓이의 합이 [eqn: `]최대가 되도록 하는 [eqn: theta `]에 대하여 [eqn: cos`` theta `]의 값은?

(단, [eqn: rm O`]는 원점이고, [eqn: LEFT . 0<` theta `<` {pi } over {2} ` RIGHT .]이다.) [4점]

① [eqn: {-3+2 sqrt {3}} over {4} `]	② [eqn: {2- sqrt {3}} over {2} `]	③ [eqn: {-1+ sqrt {3}} over {4} `]

④ [eqn: {-3+2 sqrt {3}} over {2} `]	⑤ [eqn: {-1 + sqrt3}over2`]

21. 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수

[eqn: f(x)=sin ^{2} x+`a`cosx`],  [eqn: g(x)`=` {cases{`0&``` LEFT ( x<`- {pi } over {2} RIGHT )#`x&``` LEFT ( - {pi } over {2} LEQ x`< pi RIGHT )#`bx&```(x` GEQ ` pi )}}]

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 실수이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `- {pi } over {2} -0} {g(x)} `=0`] ㄴ. [eqn: a=2`]이면 합성함수 [eqn: (f CIRC g)(x)`]는 [eqn: x=`- {pi } over {2} `]에서 연속이다. ㄷ. [eqn: a`]의 값에 관계없이 합성함수 [eqn: (f CIRC g)(x)`]가 [eqn: x=pi`]에서 연속이면 [eqn: b`=`2n-1`]([eqn: n`]은 정수)이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

22. 함수 [eqn: f(x)=20x ^{2`} lnx`]에 대하여 [eqn: f` prime (1)`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

24. 함수 [eqn: y=2sinx+cosx-1`]은 [eqn: x= alpha `]에서 최댓값을 가질 때, [eqn: 30sin2 alpha `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 연립부등식

[eqn: {cases{{(x-4)(x-7)} over {x-9} GEQ 0#{x-k} over {x-2} LEQ 0}}]

을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 7`]이 되도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최솟값을 구하시오. [3점]

26. 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`x`]의 가수를 [eqn: f(x)`]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} f(2 ^{k} )=`m`log`2-n`]이다. 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 [eqn: m+n`]의 값을 구하시오. [4점]

27. 모든 항이 양의 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 하자. [eqn: S _{3} =7a _{3} `]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{8} {S _{n}} over {a _{n}} `]의 값을 구하시오. [4점]

28. 삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -x ^{2} -9x+1`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

[eqn: g(x)= {cases{f(x)&`````(x GEQ k)#f(2k-x)&`````(x<k`)}}]

라 하자. 함수 [eqn: g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합을 [eqn: {q} over {p} `]라 할 때, [eqn: p ^{2} +q ^{`2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

29. 그림과 같이 중심이 [eqn: rmA(3,~0)`]이고 점 [eqn: rm B(6,~0)`]을 지나는 원이 있다. 이 원 위의 점 [eqn: rmP`]를 지나는 두 직선 [eqn: rm AP], [eqn: rmBP`]가 [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm Q], [eqn: rmR`]라 하자. [eqn: rm ANGLE PBA= theta `]라 하고,
삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이를 [eqn: S( theta )`]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` -> +0} {{S( theta )} over {theta ^{`5}}} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}]) [4점]

30. 함수 [eqn: f(x)]가 닫힌 구간 [eqn: [0,~2]]에서 [eqn: f(x)=|`x-1`|`]이고,
모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+2)`]를 만족시킬 때,
함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)=x+f(x)]

라 하자. 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 [eqn: a,``b`]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)`]의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{15} a _{n} `]의 값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: n le a le n+2`]

(나) [eqn: 0`<b` LEQ `g(a)]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

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