2016학년도 수시모집 논술전형 논술고사 출제 영역 및 모범답안

시험유형	인문․사회계	자연계	의학계
	□	□	☑

1. 출제의도 및 문제해설

[출제의도]

2016학년도 수시모집 의학계 논술전형 문항은 수학적 기초지식, 문제해결 능력, 계산능력을 측정할 뿐만 아니라, 개념의 확실한 이해정도를 평가하고 새로운 문제에 대하여도 개념과 지식을 확대 적용하여 응용하는 능력을 측정하고, 또한 이 과정에서 제시된 조건들로부터 논리적인 분석 및 추론을 통하여 주어진 문제를 해결할 수 있는 통합적 사고능력을 평가하고자 하였다.

[문제해설]

본 문항은 고등학교 교육과정의 수열, 수열의 극한, 함수의 극한, 미분, 공간도형 등에 관한 단원과 연계하여 출제하였으며 문항별 분석은 다음과 같다.

[문항 1]

제시문에서 고등학교 기하와 벡터 교과서에서 다루는 삼수선의 정리를 이해하고 이를 활용하여 공간도형에서의 기본적인 성질과 문제해결능력을 알아보고자 하였다.

[1-1]

공간상에 있는 직각삼각형의 성질을 이해하여 기본적인 개념을 적용 할 수 있는지 또는 원에 내접하는 직각삼각형의 성질을 이해하고 이를 활용하여 문제를 해결 할 수 있는지를 알아보고자 한다.

[1-2]

삼수선의 정리를 잘 이해하여 이를 응용하여 문제에 적용시키고, 공간도형에서 두 평면들의 위치관계를 파악하여 문제를 해결할 수 있는지를 알아보고자 한다.

[문항 2]

본 문항은 고등학교 교육과정의 도함수의 활용, 함수의 극한 등에 관한 단원과 연계하여 출제하였으며 문항별 분석은 다음과 같다.

[2-1]

본 문항은 제시문(가)의 정의를 이용하여, 함수의 그래프가 위로 볼록한 함수의 기본적인 성질을 설명할 수 있는 부등식을 보이는 것이다. 이 과정에서 미분가능성의 정의를 정확히 알고, 제시문 (나)에서 제시한 극한의 성질을 정확히 이용하여 원하는 부등식을 논리적으로 설명할 수 있는 능력을 평가한다.

[2-2]

본 문항에서는 위로 볼록한 함수의 성질에 관한 명제를 증명하기 위해서 문항 [2-1]의 결과가 의미하는 위로 볼록한 함수의 기하학적 의미를 파악하고 이를 이용하여 창의적이고 논리적으로 문제를 해결할 수 있는 능력을 평가한다.

[문항 3]

본 문항은 수학 교육과정에서 중요한 학습내용 중 하나인 패턴의 규칙성 개념을 이용하여 주어진 문제에서 그 규칙성을 수학적으로 표현 할 수 있는 지를 확인하고 제시문에 제시된 수식으로부터 일반항을 구하고 그 극한값을 구하는 능력을 알아보고자 한다.

[3-1]

제시문을 이용하여 규칙성을 파악하고 파악된 사실로부터 수열의 문제임을 이해하여 구체적으로 주어진 항에 대한 값을 구할 수 있는지 알아보고자 한다.

[3-2]

문항 [3-1]에서 추론한 규칙성 및 귀납적 정의를 이용하여 점화관계를 구한 후 수열의 극한을 구할 수 있는지 알아보고자 한다.

2. 종합평가 기준

문항	문항정보 필수항목
	교과 목명	평가 영역	평가내용	적용교육과정	난이도	배점
1-1	기하와벡터	공간도형	사면체의 넓이와 변의 관계증명하기	07개정 교육과정	하	10
1-2	기하와벡터	공간도형	두 사면체 부피 비교하기	07개정 교육과정	상	25
2-1	수학Ⅱ	도함수의 활용 함수의 극한	볼록함수성질을 이용하여 부등식 증명하기	07개정 교육과정	중	15
2-2	수학Ⅱ	도함수의 활용	볼록함수 성질을 이용하여 부등식 증명하기	07개정 교육과정	중	15
3-1	수학Ⅰ	수열	귀납적 정의를 이용하여 수열의 특정 항 구하기	07개정 교육과정	중	15
	수학Ⅱ	함수의 극한
3-2	수학Ⅰ	수열의 극한	귀납적 정의를 이용하여 수열의 극한 구하기	07개정 교육과정	상	20

모 범 답 안

【문항 1】

1-1.

[eqn: rmTRIANGLEABC``]가 직각삼각형이므로 [eqn: rmbarAC]의 중점을 [eqn: rmM`], 점 [eqn: rmB``]에서 [eqn: rmbarAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면

점 [eqn: rmM`]은 [eqn: rmTRIANGLEABC]의 외심이므로 [eqn: rmbarBH` LEQ`barBM`=`barAM`]이 된다.

그러므로 [eqn: rmS`=` { 1} over {2 }barAC` BULLETbarBH`` LEQ` { 1} over { 2}barAC` BULLETbarBM`]이고, [eqn: rmbarBM`=` { 1} over { 2}barAC``]이므로 대입하면

[eqn: rmS` LEQ ` { 1} over { 2}barAC` BULLET { 1} over { 2}barAC`]가 되고 따라서 [eqn: rmS` LEQ ` { 1} over { 4}{barAC`}^2`]이다.

1-2.

[eqn: rmbarAC``]의 중점을 [eqn: rmM`]이라 하면 사면체 [eqn: rmPABC`]에서

[eqn: rmbar{PA}`=bar{PB}`=bar{PC}`], [eqn: rmTRIANGLEABC]가 직각삼각형이므로 [그림1]와 같이 생각할 수 있다.

[eqn: rmTRIANGLE PAM`,``` TRIANGLE PBM`,```TRIANGLE PCM``]에서

점 [eqn: rmM`]은 [eqn: rmTRIANGLEABC]의 외심이므로 [eqn: rmbar{AM}`=bar{BM}`=bar{CM}`]이고, [eqn: rmbarPM`]은 공통이다.

따라서 [eqn: rmTRIANGLE PAM` ==` TRIANGLE PBM` ==` TRIANGLE PCM`]이 된다. 그러므로 [eqn: ANGLErmPMB`=` { pi } over { 2}]이다.

[eqn: bar{rmPM}` BOT`bar{rmAM}`], [eqn: bar{rmPM}` BOT`bar{rmBM}`]이므로 [eqn: bar{rmPM}` BOT`(평면``rmABC)}`]이다.

그러므로 [eqn: bar{rmPM}`]은 사면체 [eqn: rmPABC`]의 높이이다.

주어진 육면체의 성질(5)에서 평면 [eqn: rmABC]와 평면 [eqn: rm ACD]가 평면 [eqn: alpha `]와 이루는 이면각이

각각 [eqn: { pi } over {6 }]와 [eqn: { pi } over {12 }]이므로 평면 [eqn: rm PAC]와 평면 [eqn: rm DAC]가 이루는 이면각은 [eqn: { pi } over { 4}]이다.

주어진 제시문의 삼수선정리 (2)를 활용하면

[eqn: bar{rmPM}` BOT`bar{rmAC}`], [eqn: bar{rmPD}` BOT` (평면rmACD)`]이므로 [eqn: rmANGLECMD`=` { pi } over {2 }]이다.

[eqn: rmANGLEPMD`=` { pi } over {4 } `]이므로 [eqn: rmTRIANGLE PMD]는 [eqn: rmbarPD`=`barMD`]인 직각이등변삼각형임을 알 수 있다.

[그림2]에서 [eqn: rmbarPM`=`ity`]이므로 [eqn: rmbarPD`=`barMD`=` { 1} over { sqrt { 2} }ity`]이다.

사면체 [eqn: rmPABC`]의 부피를 [eqn: rmV_{ 1}`], 사면체 [eqn: rmPACD`]의 부피를 [eqn: rmV_{ 2}`]라 두면

[eqn: rmV_{ 1}`=` { 1} over { 3} LEFT ( { 1} over { 2}` BULLET barAC` BULLETit x RIGHT ) y`], [eqn: rmV_{ 2}`=` { 1} over { 3} LEFT ( { 1} over { 2}` BULLET barAC` BULLET { 1} over { sqrt { 2} }ity` RIGHT ) { 1} over { sqrt { 2} }y``]이고,

[eqn: rmV_{ 1}`=`V _{ 2}`]이므로

구하는 [eqn: x,``y`]의 관계식은 [eqn: 2x`-`y`=`0`]이다.

【문항 2】

2-1.

함수 [eqn: y=f(x)]가 위로 볼록하므로, 제시문 (가)에 의하면 [eqn: (a,b)]에 속하는 [eqn: r<t]일 때, [eqn: r<s<t]인 임의의 [eqn: s]에 대하여,

[eqn: f(s) GEQ {f(t)-f(r)} over {t-r} (s-r)`+f(r)]...........................(1)

가 성립한다.  (1)를 이항하여 정리하면,

[eqn: {f(t)-f(r)} over {t-r} LEQ {f(s)-f(r)} over {s-r}]

가 성립하고,

비슷한 방법으로,  제시문 (가)에 의하여 [eqn: (a,b)]에 속하는 [eqn: r<t]일 때, [eqn: r<s<t]인 임의의 [eqn: s]에 대하여,

[eqn: f(s) GEQ {f(t)-f(r)} over {t-r} (s-t)`+f(t)]...........................(2)

가 성립한다.  (2)를 이항하여 정리하면,

[eqn: {f(t)-f(s)} over {t-s} LEQ {f(t)-f(r)} over {t-r}]

가 성립한다. 그러므로, (1), (2)에 의하면,

[eqn: {f(t)-f(s)} over {t-s} LEQ {f(t)-f(r)} over {t-r} LEQ {f(s)-f(r)} over {s-r}] .........(*)

가 성립한다.

[eqn: f]가 [eqn: r]과 [eqn: t]에서 미분가능하므로

[eqn: f`'(t) = lim _{s -> t-0} {} {f(s)-f(t)} over {s-t}] 와 [eqn: f`'(r) = lim _{s -> r+0} {} {f(s)-f(r)} over {s-r}] 이 존재하고, (*)와 제시문 (나)에 의하면,

[eqn: f` prime (t)= lim _{s -> t -0} {} {f(s)-f(t)} over {s-t} LEQ {f(t)-f(r)} over {t-r}] 이고

[eqn: {f(t)-f(r)} over {t-r} LEQ lim _{s -> r+0} {} {f(s)-f(r)} over {s-r} =f` prime (r)] 이다.

2-2.

[문항 2-1]에 의하면, 임의의 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: 0<f` prime (k+1) LEQ f(k+1)-f(k) LEQ f` prime (k) LEQ f(k)-f(k-1)]    ............................ (1)

가 성립한다.

제시문(가)에 의하면 구간 [eqn: [k,k+1]]에서

곡선 [eqn: y=f(x)]은 점[eqn: (k,f(k))]과 점[eqn: (k+1 ,f(k+1))]을 지나는 직선보다 위에 있고,       ..............(2)

[문항 2-1]에 의하면 [eqn: f(x) LEQ f`' (k+1) (x-(k+1)) +f(k+1)] 이므로, [eqn: [k,k+1]]에서

곡선 [eqn: y=f(x)]은 점[eqn: (k+1, f(k+1))]에서의 [eqn: y=f(x)]의 접선 아래에 있고,       ........................(3)

(1)에 의하면

[eqn: f`' (k+1 ) (x-(k+1)) +f(k+1) LEQ (f(k+2)-f(k+1))(x-(k+1)) +f(k+1)] 이므로,

점[eqn: (k+1, f(k+1))]에서의 [eqn: y=f(x)]의 접선은

점[eqn: (k+1,`f(k+1))]과 점[eqn: (k+2 , `f(k+2))]을 지나는 직선보다 아래에 있다.       ...............................(4)

함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 위로 볼록하므로 (2),(3),(4)에 의하면

[eqn: S_k]는 점[eqn: (k,f(k))], 점[eqn: (k,2f(k+1)-f(k+2))]과 점[eqn: (k+1 ,f(k+1))]을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이 보다 작다. .....(5)

한편, 점[eqn: (k,f(k))]과 점[eqn: (k+1 ,f(k+1))]을 지나는 직선과 평행하고 점[eqn: C(2, f(2))]를 지나는

직선을 [eqn: l_k] 라 하면 [eqn: l_k]의 방정식은 [eqn: y= (f(k+1) -f(k))(x-2) +f(2)]이다.

직선 [eqn: l_k] 와 선분 [eqn: AB]와 만나는 점을 [eqn: A_k]라 하자. [eqn: (A_1 =A )],

(1)에 의하면 [eqn: l_k]의 기울기 [eqn: f(k+1)-f(k)]는 감소한다.

그러므로, 점[eqn: A_k][eqn: (1, y_k )]의 [eqn: y_k = f(2)-(f(k+1) -f(k))]는 증가하고,

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여, [eqn: f(1) = y _{1} LEQ y _{2} LEQ CDOTS LEQy _{n} <f(2)]이다. 그러므로,

[eqn: sum _{k=1} ^{n} TRIANGLE A _{k} A _{k+1} C``의넓이 < TRIANGLE ABC``의넓이=M]  ..........................(6)

이다.

그런데, 점[eqn: (k,f(k))], 점[eqn: (k,2f(k+1)-f(k+2))]과 점[eqn: (k+1 ,f(k+1))]을 꼭지점으로 하는 삼각형과 삼각형 [eqn: A_k A_k+1 C] 는 합동이므로          ..........................................(7)

(5),(7)에 의하면, 위 그림과 같이 [eqn: S_k LEQ TRIANGLE A_k A_k+1 C] 의 넓이가 성립한다.

그러므로, (6)에 의하면, [eqn: sum _{ k=1} ^{n } S_k LEQ sum _{ k=1} ^{n } TRIANGLE A_k A_k+1 C의 넓이 <M]

이다.

【문항 3】

3-1.

[eqn: ``c _{`2}`]와 [eqn: c _{`3}`]를 구하기 위하여 [eqn: f _{2} (x),``f _{3} (x)]을 구하여보자.

제시문 (다)에서 [eqn: n=1,`` alpha =0,``` beta =1]을 대입하면

[eqn: f _{2} (x)= {cases{0&`````(x=0)#{x ^{2}} over {2} LEFT [ `- {1} over {2} +`ln`x` RIGHT ]&`````(x>0)`````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````(식1)}}]

가 된다. 그러므로 [eqn: c _{2} =-f _{2} (1)=- LEFT ( 0- {1} over {2 ^{2}} RIGHT ) = {1} over {4}]이다.

[eqn: (식1)]의 결과로부터 제시문 (다)에서 [eqn: n=2,`` alpha =- {1} over {4} ,``` beta = {1} over {2}]을 대입하면

[eqn: f _{2} (x)= {cases{0&`````(x=0)#{x ^{3}} over {3} LEFT [ `- {1} over {4} - {1} over {3} BULLET {1} over {2} +` {1} over {2} `ln`x` RIGHT ]&`````(x>0)``}}]

가 된다. 그러므로 [eqn: `c _{3} =-f _{3} (1)= {1} over {4} {1} over {3} + {1} over {3 ^{2}} {1} over {2!} = {5} over {36}]이다.

3-2.

자연수 [eqn: n``(n=1,2,3 CDOTS )]에 대하여

[eqn: f _{n} (x)= {cases{0&``````(x=0)#x ^{n} (a _{n} +b _{n} `ln`x),`````a _{1} =0,````b _{1} =1&`````(x>0)````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````(식2)}}]

라 하자. 제시문 (다)에 의해

[eqn: f _{n+1} (x)= {cases{0&`````(x=0)#x ^{n+1} LEFT ( {(n+1)a _{n} -b _{n}} over {(n+1) ^{2}} `+ LEFT ( {b _{n}} over {n+1} RIGHT ) lnx RIGHT )&`````(x>0)```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````(식3)}}]

가 된다. [eqn: (식2)]의 [eqn: n+1]항은

[eqn: f _{n+1} (x)= {cases{0&```````(x=0)#x ^{n+1} (a _{n+1} +b _{n+1} `ln`x)&```````(x>0)```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````(식4)}}]

이다. [eqn: (식3)]와 [eqn: (식4)]으로부터 [eqn: x ^{n+1}], [eqn: x ^{n+1} lnx]의 계수를 비교하여

[eqn: b _{n+1} = {b _{n}} over {n+1}], [eqn: `b _{1} =1],

[eqn: a _{n+1} = {(n+1)a _{n} -b _{n}} over {(n+1) ^{2}} `=` {a _{n}} over {n+1} - {b _{n}} over {(n+1) ^{2}}],   [eqn: a _{1} =0]

인 수열을 얻는다. 먼저 제시문 (나)에 설명한 귀납적 정의로 주어진 수열 [eqn: b _{n}]의 일반항을 구하면

[eqn: b _{n} = {1} over {n!}]

이 되고

[eqn: a _{n+1} =` {a _{n}} over {n+1} - {b _{n}} over {(n+1) ^{2}} = {a _{n}} over {n+1} - {1} over {(n+1) ^{2} TIMES n!} ,````a _{1} =0]

이 된다. 따라서

[eqn: c _{n+1} =-a _{n+1} = {-a _{n}} over {n+1} + {1} over {(n+1) ^{2} TIMES n!}# ````````````````= {c _{n}} over {n+1} + {1} over {(n+1) ^{2} TIMES n!} ,``````````````````````````````````c _{1} =0```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````(식5)]

이 된다. [eqn: {(n!)c _{n}} over {ln`n}]을 계산하기 위하여 우선 [eqn: (n!)c _{n}]을 편의상 [eqn: d _{n} =(n!)c _{n}]라 하자.

문항 3-1 로부터 얻은 [eqn: (식5)]의 [eqn: c _{n+1} = {c _{n}} over {n+1} + {1} over {(n+1) ^{2} TIMES n!}]의 양변에 [eqn: (n+1)!]을 곱하면

[eqn: d _{n+1} =d _{n} + {1} over {n+1}],   [eqn: d _{1} =(n!)c _{1} =0]

를 얻는다. 이는 제시문 (가)에 설명한 계차수열이 되고 이 계차수열의 일반항은

[eqn: d _{1} =0,````# d _{n+1} = {1} over {n+1} +d _{n} = {1} over {n+1} + {1} over {n} +d _{n-1}# ~~~~= {1} over {n+1} + {1} over {n} + CDOTS + {1} over {1+1} +d _{1}# ~~~~= {1} over {n+1} + {1} over {n} + CDOTS + {1} over {2}# ~~~~= sum _{m=1} ^{n} {1} over {m+1} ~~~~~~~~~~~~~~~~~(`n=1,`2,`3,` CDOTS `)]

이다.  따라서

[eqn: lim _{n -> INF } {{(n!)c _{n}} over {ln`n}} `=` lim _{n -> INF } {{d _{n}} over {ln`n}} =` lim _{n -> INF } {{d _{n+1}} over {ln`(n+1)}}# `````````````````````````````````````# `````````````````````````````````````= lim _{n -> INF } {{1} over {ln`(n+1)} LEFT ( sum _{m=1} ^{n} {1} over {m+1} RIGHT )}]

이다. 제시문 (라)에 의하여 [eqn: lim _{n``` -> ``` INF } {} {ln(n+1)} over {sum _{m=1} ^{n} {1} over {m+1} `} `=1]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{(n!)c _{n}} over {ln`n}} `=` lim _{n -> INF } {{1} over {ln`(n+1)} LEFT ( sum _{m=1} ^{n} {1} over {m+1} RIGHT )}# # ```````````````````````````````````````= lim _{n -> INF } {} {1`} over {{ln(n+1)} over {sum _{m=1} ^{n} {1} over {m+1}} `} = {1} over {1}# # ````````````````````````````````````````=1]

이다.